实验3 区间估计
实验目的 掌握利用Mathematica软件求一个正态总体的均值、方差的置信区间的方法;求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间的方法. 通过实验加深对统计推断的基本概念的和基本思想的理解.
基本命令
1.调用区间估计软件包的命令< < < 命令的基本格式为 MeanCI[样本观察值, 选项1, 选项2,…] 其中选项1用于选定置信度, 形式为ConfidenceLevel->,缺省默认值为ConfidenceLeve1 ->0.95. 选项2用于说明方差是已知还是未知, 其形式为knownVariance->None或, 缺省默认值为knownVariance->None. 也可以用说明标准差的选项knownStandardDeviation->None或来代替这个选项. 3. 求双正态总体求均值差的置信区间的命令MeanDifferenceCI 命令的基本格式为 MeanDifferenceCI[样本1的观察值, 样本2的观察值,选项1,选项2,选项3,…] 其中选项1用于选定置信度, 规定同2中的说明. 选项2用于说明两个总体的方差是已知还是未知, 其形式为knownVariance->或或None, 缺省默认值为knownVariance-> None. 选项3用于说明两个总体的方差是否相等, 形式为EqualVariance->False 或True. 缺省默认值为EqualVariance->False, 即默认方差不相等. 4. 求单正态总体方差的置信区间的命令VarianceCI 命令的基本格式为 VarianceCI[样本观察值, 选项] 其中选项1用于选定置信度, 规定同2中的说明. 5. 求双正态总体方差比的置信区间的命令VarianceRatioCI 命令的基本格式为 VarianceRatioCI[样本1的观察值,样本2的观察值,选项] 其中选项1用于选定置信度, 规定同2中的说明. 6. 当数据为概括数据时求置信区间的命令 (1) 求正态总体方差已知时总体均值的置信区间的命令 NormalCI[样本均值, 样本均值的标准差, 置信度选项] (2) 求正态总体方差未知时总体均值的置信区间的命令 StudentTCI[样本均值, 样本均值的标准差的估计, 自由度, 置信度选项] (3) 求总体方差的置信区间的命令 ChiSquareCI[样本方差, 自由度, 置信度选项] (4) 求方差比的置信区间的命令 FRatioCI[方差比的值, 分子自由度, 分母自由度,置信度选项] 实验举例 单正态总体的均值的置信区间(方差已知情形) 例3.1 (教材 例3.1) 某车间生产滚珠, 从长期实践中知道, 滚珠直径可以认为服从正态分布. 从某天产品中任取6个测得直径如下(单位:mm): 15.6 16.3 15.9 15.8 16.2 16.1 若已知直径的方差是0.06, 试求总体均值的置信度为0.95的置信区间与置信度为0.90的置信区间. 输入 < MeanCI[data1,KnownVariance->0.06] (*置信度采取缺省值*) 则输出 {15.7873,16.1793} 即均值的置信度为0.95的置信区间是(15.7063,16.2603). 为求出置信度为0.90的置信区间, 输入 MeanCI[data1,ConfidenceLevel->0.90,KnownVariance->0.06] 则输出 {15.8188,16.1478} 即均值的置信度为0.90的置信区间是(15.7873,16.1793). 比较两个不同置信度所对应的置信区间可以看出置信度越大所作出的置信区间也越大. 例3.2 (教材 例3.2) 某旅行社为调查当地旅游者的平均消费额, 随机访问了100名旅游者, 得知平均消费额元, 根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准差元, 求该地旅游者平均消费额的置信度为的置信区间. 输入 NormalCI[80,12/25] 输出为 {77.8,82.352} 单正态总体的均值的置信区间(方差未知情形) 例3.3 (教材 例3.3) 有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求置信度分别为0.95与0.90的总体均值的置信区间. 输入 data2={506,508,499,503,504,510,497,512,514,505,493,496,506,502,509,496}; MeanCI[data2] (*因为置信度是0.95, 省略选项ConfidenceLeve1->0.95; 又方差未知, 选项knownVariance->None也可以省略*) 则输出 {500.445,507.055} 即的置信度为0.95的置信区间是(500.445,507.055). 再输入 MeanCI[data2,ConfidenceLevel->0.90] 则输出 {501.032,506.468} 即的置信度为0.90的置信区间是(501.032,506.468). 例3.4 (教材 例3.4) 从一批袋装食品中抽取16袋, 重量的平均值为样本标准差为假设袋装重量近似服从正态分布, 求总体均值的置信区间(). 这里, 样本均值为503.75, 样本均值的标准差的估计为自由度为15, , 因此关于置信度的选项可省略. 输入 StudentTCI[503.75,6.2002/Sqrt[16],15] 则输出置信区间为 {500.446,507.054} 两个正态总体均值差的置信区间 例3.5 (教材 例3.5) A, B两个地区种植同一型号的小麦, 现抽取了19块面积相同的麦田, 其中9块属于地区A, 另外10块属于地区B, 测得它们的小麦产量(以kg计) 分别如下: 地区A: 100 105 110 125 110 98 105 116 112 地区B: 101 100 105 115 111 107 106 121 102 92 设地区A的小麦产量,地区B的小麦产量,均未知, 试求这两个地区小麦的平均产量之差的95%和90%的置信区间. 输入 list1={100,105,110,125,110,98,105,116,112}; list2={101,100,105,115,111,107,106,121,102,92}; MeanDifferenceCI[list1,list2] (*默认定方差相等*) 则输出 {-5.00755,11.0075} 即的置信度为95%的置信区间是(-5.00755, 11.0075). 输入 MeanDifferenceCI[list1,list2,EqualVariances->True] (*假定方差相等*) 则输出 {-4.99382,10.9938} 这时的置信度为0.95的置信区间是(-4.99382, 10.9938). 两种情况得到的结果基本一致. 输入 MeanDifferenceCI[list1,list2,ConfidenceLevel->0.90,EqualVariances->True] 则输出 {-3.59115, 9.59115} 即的置信度为90%的置信区间是(-3.59115, 9.59115). 这与教材结果是一致的. 例3.6 (教材 例3.6) 比较A、B两种灯泡的寿命, 从A种取80只作为样本,计算出样本均值样本标准差从B种取100只作为样本, 计算出样本均值样本标准差假设灯泡寿命服从正态分布, 方差相同且相互, 求均值差的置信区间(). 根据命令StudentTCI的使用格式, 第一项为两个正态总体的均值差; 第二项为两个正态总体的均值差的标准差的估计, 由方差相等的假定, 通常取为,其中 ; 第三项为自由度第四项为关于置信度的选项. 正确输入第二个和第三个对象是计算的关键. 输入 sp=Sqrt[(79*80^2+99*100^2)/(80+100-2)]; StudentTCI[2000-1900,sp*Sqrt[1/80+1/100],80+100-2] 则输出 {72.8669,127.133} 即所求均值差的置信区间为(72.8669,127.133). 单正态总体的方差的置信区间 例3.7 (教材 例3.7) 有一大批袋装糖果, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(单位:g)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求置信度分别为0.95与0.90的总体方差的置信区间. 输入 data7={506.0,508,499,503,504,510,497,512,514,505, 493,496,506, 502,509,496}; VarianceCI[data7] 则输出 {20.9907,92.1411} 即总体方差的置信度为0.95的置信区间是(20.9907,92.1411). 又输入 VarianceCI[data7,ConfidenceLevel->0.90] 则可以得到的置信度为0.90的置信区间(23.0839,79.4663). 例3.8 (教材 例3.8) 假设导线电阻近似服从正态分布, 取9根, 得样本标准差求电阻标准差的置信区间(). 输入 ChiSquareCI[0.007^2,8] 输出置信区间 {0.0000223559,0.000179839} 双正态总体方差比的置信区间 例3.9 (教材 例3.9) 设两个工厂生产的灯泡寿命近似服从正态分布和. 样本分别为 工厂甲: 1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800 工厂乙: 1460 1550 1600 1620 10 1660 1740 1820 设两样本相互, 且均未知, 求置信度分别为0.95与0.90的方差比的置信区间. 输入 Clear[list1,list2]; list1={1600,1610,1650,1680,1700,1720,1800}; list2={1460,1550,1600,1620,10,1660,1740,1820}; VarianceRatioCI[list1,list2] 则输出 {0.076522,2.23083} 这是置信度为0.95时方差比的置信区间. 为了求置信度为0.90时的置信区间, 输入 VarianceRatioCI[list1,list2,ConfidenceLevel->0.90] 则输出结果为 {0.101316,1.769}. 例3.10 (教材 例3.10) 某钢铁公司的管理人员为比较新旧两个电炉的温度状况, 他们抽取了新电炉的31个温度数据及旧电炉的25个温度数据, 并计算得样本方差分别为及. 设新电炉的温度, 旧电炉的温度.试求的95%的置信区间. 输入 FRatioCI[75/100,30,24] 则输出所求结果 {0.339524, 1.60191} 实验习题 1.对某种型号飞机的飞行速度进行15次试验, 测得最大飞行速度如下: 422.2 417.2 425.6 420.3 425.8 423.1 418.7 428.2 438.3 434.0 312.3 431.5 413.5 441.3 423.0 假设最大飞行速度服从正态分布, 试求总体均值(最大飞行速度的期望)的置信区间(与). 2.从自动机床加工的同类零件中抽取16件, 测得长度值(单位:mm)为 12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.06 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.01 求方差的置信区间(). 3.有一大批袋装化肥, 现从中随机地取出16袋, 称得重量(单位:kg)如下: 50.6 50.8 49.9 50.3 50.4 51.0 49.7 51.2 51.4 50.5 49.3 49.6 50.6 50.2 50.9 49.6 设袋装化肥的重量近似地服从正态分布, 试求总体均值的置信区间与总体方差的置信区间(分别在置信度为0.95与0.90两种情况下计算). 4.某种磁铁矿的磁化率近似服从正态分布. 从中取出容量为42的样本测试, 计算样本均值为0.132, 样本标准差为0.0728, 求磁化率的均值的区间估计(). 5.两台机床加工同一产品, 从甲机床加工的产品中抽取100件,测得样本均值为19.8, 标准差0.37. 从乙机床加工的产品中抽取80件, 测得样本均值20.0, 标准差0.40. 求均值差的置信区间(). 6.设某种电子管的寿命近似服从正态分布, 取15只进行试验, 得平均寿命为1950h, 标准差为300h, 以90%的可靠性对使用寿命的方差进行区间估计. 7.随机地从A批导线中抽取4根, 从B批导线中抽取5根, 测得电阻(单位:)为 A批导线: 0.143 0.142 0.143 0.137 B批导线: 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140 设测定数据分别来自分布和,且两样本相互. 又均未知, 求的置信度为0.95的置信区间. 8.研究由机器A和机器B生产的钢管的内径, 随机地抽取机器A生产的管子18只, 测得样本方差抽取机器B生产的管子13只, 测得样本方差设两样本相互, 且设两机器生产的管子的内径分别服从正态分布和, 这里均未知, 求方差比的置信度为0.90的置信区间.下载本文
