考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；
3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一、填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直
接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．函数的最小正周期为 ．
2．已知集合，，则 ．
3．若(为虚数单位)为纯虚数，则实数的值为 ．
4．若数列的通项公式为，则 ．
5．若双曲线的一条渐近线过点P(1, 2)，则b的值为_________．
6．已知，，则的值为
．
7．已知直线：和：，
则∥的充要条件是= ．
8．的展开式中的系数是 （用数字作答）．
9．执行右边的程序框图，若，则输出的S = ．
10．盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4
个，黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的
2个球颜色不同的概率等于 ．
11．已知，且函数有且仅有两个零点，则实数的取
值范围是 ．
12．已知函数(且)满足，若是的反函数，则关于
x的不等式的解集是 ．
13．已知抛物线上一点(m>0)到其焦点F的距离为5，该抛物线的顶
点在直线MF上的射影为点P，则点P的坐标为 ．
14．已知命题“若，，则集合”
是假命题，则实数的取值范围是 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．在四边形ABCD中，，且·＝0，则四边形ABCD是 （ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
16．已知且C，则（i为虚数单位）的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
17．若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数所构成的集合均为；
②四列中有且只有两列的上下两数是相同的．则这样的不同矩阵的个数为 （ ）
A．24 B．48 C．144 D．288
18．若是R上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是
偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增；
④在上单调递增．其中正确结论的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图所示，在棱长为2的正方体中，,分别为线段,的
中点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
在△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，且A, B, C成等差数列．
（1）若，且，求的值；
（2）若，求的取值范围．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
如图所示，是一个矩形花坛，其中AB= 6米，AD = 4米．现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求：B在上，D在上，对角线过C点， 且矩形的面积小于150平方米．
（1）设长为米，矩形的面积为平方米，试用解析式将表示成的函数，并写出该函数的定义域；
（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小?并求最小面积．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分．
给定椭圆：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的
“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）过椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点P作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，求的方程；
（3）若点是椭圆的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“P数对”．设函数的定义域为，且．
（1）若是的一个“P数对”，求；
（2）若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；
（3）若是增函数，且是的一个“P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．
①与；②与．
黄浦区2012学年度第一学期高三年级期终考试
数学试卷（文科）参
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．； 2．； 3．2； 4．； 5．4．； 7．3； ．36；
9．81； 10．； ． ．； 13．； 14．．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．A．D．C．B
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
解：（1）在正方体中，
∵是的中点，
∴， ………………3分
又平面，即平面，
故，
所以三棱锥的体积为．………………6分
（2）连，由、分别为线段、的中点，
可得∥，故即为异面直线与所成的角． ………………… 8分
∵平面，平面，∴，
在△中，，，
∴，∴．
所以异面直线EF与所成的角为． ………………………… 12分
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
解：（1）A、B、C成等差数列，∴
又，∴， …………………………2分
由得，，∴ ① ………………………4分
又由余弦定理得
∴，∴ ② ………………………6分
由①、②得， ……………………………………8分
（2）
……………………………………11分
由（1）得，∴，
由且，可得故，
所以，
即的取值范围为． …………………………14分
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．
解：（1）由△NDC∽△NAM，可得，
∴，即，……………………3分
故， ………………………5分
由且，可得，解得，
故所求函数的解析式为，定义域为． …………………………………8分
（2）令，则由，可得，
故 …………………………10分
， …………………………12分
当且仅当，即时．又，故当时，取最小值96．
故当的长为时，矩形的面积最小，最小面积为（平方米）…………14分
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
解：（1）由题意知，且，可得，
故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为． ………………4分
（2）由题意可得点坐标为，设直线过且与椭圆C只有一个交点，
则直线的方程可设为，将其代入椭圆方程可得 ………………6分
，即，
由，解得， ………………8分
所以直线的方程为，的方程为，
或直线的方程为，的方程为． ………………10分
（3）由题意，可设，则有，
又A点坐标为，故， ………………12分
故
,…………………………14分
又，故，
所以的取值范围是． …………………………16分
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分．
解：（1）由题意知恒成立，令，
可得，∴数列是公差为1的等差数列，
故，又，故． ………………………………3分
（2）当时，，令，可得，由
可得，即时，， …………………………………4分
可知在上的取值范围是．
又是的一个“P数对”，故恒成立，
当时，，
…， …………………………………6分
故当为奇数时，的取值范围是；
当为偶数时，的取值范围是． ……………………………8分
由此可得在上的最大值为，最小值为．………………10分
（3）由是的一个“P数对”，可知恒成立，
即恒成立，
令，可得， …………………12分
即，又，
∴是一个等比数列，∴，
所以． …………………………………15分
当时，由是增函数，故，
又，故有．…………………………………18分下载本文
