2015-2016学年广东省中山市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列四个图形中，是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（ ）
A．x1=0，x2=﹣2 ．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 ．x1=0，x2=2
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．地球绕着太阳转 ．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨 ．打开电视，正在播放新闻
4．⊙O的半径为7cm，点P到圆心O的距离OP=10cm，则点P与圆O的位置关系为（ ）
A．点P在圆上 ．点P在圆内 ．点P在圆外 ．无法确定
5．反比例函数y=﹣的图象位于（ ）
A．第一、三象限 ．第二、四象限 ．第一、四象限 ．第二、三象限
6．若一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤1 ．a≤4 C．a＜1 ．a≥1
7．在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（ ）
A．3 ．6 C．7 ．14
8．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B的度数为（ ）
A．30° ．35° ．40° ．45°
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为2，则六边形的边心距OM的长为（ ）
A．2 ．2 C．4 ．
10．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数的对称轴是直线x=1
B．当x＜2时，y随x的增大而减小
C．函数的开口方向向上
D．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．从分别标有数﹣5，﹣2，﹣1，0，1，3，4的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 ．
12．如果将抛物线y=2x2+5x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的解析式为 ．
13．已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ．
14．如图，在△ABC中，∠CAB=62°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为 ．
15．如图，直线y=x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A，连接OA．若S△AOB：S△BOC=1：2，则k的值为 ．
16．如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
三、解答题（共9小题，满分66分）
17．用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知，CD=8，AE=2，求⊙O的半径．
19．如图，二次函数y=﹣x2+2x+8图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（4，0）．
（1）求此二次函数的顶点坐标；
（2）根据函数的图象，直接写出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围．
20．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
21．如图，在平面直角坐标系内，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1），将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′．
（1）画出△AB′C′；
（2）写出点A，B关于原点O的对称点A″，B″的坐标；
（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．
22．如图，一次函数y=﹣x+5的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
23．某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．
（1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
（2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？
24．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，以AD为直径的⊙O与AE交于点F．
（1）求证：四边形AOCE为平行四边形；
（2）求证：CF与⊙O相切；
（3）若F为AE的中点，求∠ADF的大小．
25．如图，已知一次函数y=﹣x+2的图象分别交x轴，y轴于B点、A点，抛物线y=ax2+x+c的图象经过A、B两点，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若G为线段DE上一点，F为线段DG的中点，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与y轴相切时，求点D的坐标；
（3）设点D的横坐标为m，以A，B，D为顶点的三角形面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
2015-2016学年广东省中山市九年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列四个图形中，是中心对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】由中心对称图形的定义，即可求得答案．
【解答】解：中心对称图形的有：；轴对称图形的有： ．
故选C．
【点评】此题考查了中心对称图形的定义．注意理解中心对称图形的定义是关键．
2．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（ ）
A．x1=0，x2=﹣2 ．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 ．x1=0，x2=2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0，x﹣2=0，
x1=0，x2=2，
故选D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．地球绕着太阳转 ．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨 ．打开电视，正在播放新闻
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：A、地球绕着太阳转是必然事件，故A符合题意；
B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故B不符合题意；
C、明天会下雨是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放新闻是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．⊙O的半径为7cm，点P到圆心O的距离OP=10cm，则点P与圆O的位置关系为（ ）
A．点P在圆上 ．点P在圆内 ．点P在圆外 ．无法确定
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：PO＞r=5，P在圆外．
故选：C．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
5．反比例函数y=﹣的图象位于（ ）
A．第一、三象限 ．第二、四象限 ．第一、四象限 ．第二、三象限
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数图象的性质，k=﹣5，反比例函数图象位于第二、四象限进行解答．
【解答】解：∵k=﹣5＜0，
∴反比例函数图象位于第二、四象限．
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
6．若一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a≤1 ．a≤4 C．a＜1 ．a≥1
【考点】根的判别式．
【分析】首先得出根的判别式△=b2﹣4ac=4﹣4a≥0，进一步求得不等式的解集得出答案即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，
∴△≥0，即△=4﹣4a≥0，
∴a≤1．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
7．在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.3，由此可估计盒中红球的个数约为（ ）
A．3 ．6 C．7 ．14
【考点】利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得：，
解得：x=6，
故选B
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
8．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠AOC=80°，则∠B的度数为（ ）
A．30° ．35° ．40° ．45°
【考点】圆周角定理．
【分析】根据圆周角定理直接来求∠B的度数．
【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，∠AOC=80°，
∴∠B=∠AOC=40°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O半径为2，则六边形的边心距OM的长为（ ）
A．2 ．2 C．4 ．
【考点】正多边形和圆．
【分析】连接OB、OC，证明△OBC是等边三角形，得出BC=OB=2，由垂径定理求出BM，再由勾股定理求出OM即可．
【解答】解：连接OB、OC，如图所示：
则∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=2，
∵OM⊥BC，
∴BM=CM=BC=1，
∴OM==，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．
10．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数的对称轴是直线x=1
B．当x＜2时，y随x的增大而减小
C．函数的开口方向向上
D．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
【考点】二次函数的性质．
【分析】利用二次函数的解析式与图象，判定开口方向，求得对称轴，与y轴的交点坐标，进一步利用二次函数的性质判定增减性即可．
【解答】解：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x=1，
又∵a=1＞0，开口向上，
∴x＜1时，y随x的增大而减小，
令x=0，得出y=﹣3，
∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）．
因此错误的是B．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解决本题的关键
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．从分别标有数﹣5，﹣2，﹣1，0，1，3，4的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】首先得出负数的绝对值，再利用概率公式求出答案．
【解答】解：∵|﹣5|=5，|﹣2|=2，|﹣1|=1，0，1，3，4，
∴在七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的有3种情况，
故所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，熟练应用概率公式是解题关键．
12．如果将抛物线y=2x2+5x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的解析式为 y=2x2+5x+3 ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】设平移后的抛物线解析式为y=2x2+5x﹣1+b，把点A的坐标代入进行求值即可得到b的值．
【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y=2x2+5x﹣1+b，
把A（0，3）代入，得
3=﹣1+b，
解得b=4，
则该函数解析式为y=2x2+5x+3．
故答案是：y=2x2+5x+3．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．
13．已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是 ﹣3 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算．
【解答】解：设方程的另一根为x1，
根据根与系数的关系可得：x11=﹣3，
解得x1=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．
14．如图，在△ABC中，∠CAB=62°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为 56° ．
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据平行线的性质得∠ACC′=∠CAB=62°，再根据旋转的性质得∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，则利用等腰三角形的性质得∠ACC′=∠AC′C=62°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAC′的度数，从而得到旋转角的度数．
【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=62°
∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴∠CAC′等于旋转角，AC=AC′，
∴∠ACC′=∠AC′C=62°，
∴∠CAC′=180°﹣∠ACC′﹣∠AC′C=180°﹣2×62°=56°，
∴旋转角为56°．
故答案为56°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
15．如图，直线y=x﹣4与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A，连接OA．若S△AOB：S△BOC=1：2，则k的值为 12 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】由直线求得C的坐标，然后根据S△AOB：S△BOC=1：2，得出A的纵坐标为2，代入直线解析式求得A的坐标，代入y=即可求得k的值．
【解答】解：由直线y=x﹣4可知C（0，﹣4），
∴OC=4，
∵S△AOB：S△BOC=1：2，
∴A的纵坐标为2，
把y=2代入y=x﹣4得，x=6，
∴A（6，2），
∴k=6×2=12；
故答案为12．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法确定函数的解析式，根据题意求得A的坐标是解题的关键．
16．如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是 4π﹣4 ．（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据BC为直径可知∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【解答】解：在Rt△ACB中，
∵AC=BC=4，
∴AB==4，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，
∵CD垂直平分AB，CD=BD=2，
∴D为半圆的中点，
S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×42﹣×（2）2=4π﹣4．
故答案为：4π﹣4．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
三、解答题（共9小题，满分66分）
17．用配方法解方程2x2﹣4x﹣3=0．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】借助完全平方公式，将原方程变形为，开方，即可解决问题．
【解答】解：∵2x2﹣4x﹣3=0，
∴，
∴，
∴x﹣1=±，
∴．
【点评】该题主要考查了用配方法来解一元二次方程的问题；准确配方是解题的关键．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知，CD=8，AE=2，求⊙O的半径．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE的长和∠OEC的度数，设OC=OA=x，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=CD=4，∠OEC=90°，
设OC=OA=x，则OE=x﹣2，
根据勾股定理得：CE2+OE2=OC2，
即42+（x﹣2）2=x2，
解得x=5，
所以⊙O的半径为5．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
19．如图，二次函数y=﹣x2+2x+8图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（4，0）．
（1）求此二次函数的顶点坐标；
（2）根据函数的图象，直接写出当函数值y＞0时，自变量x的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可求出其顶点坐标；
（2）当y＞0时，即抛物线在x轴的上方的部分，写出对应的x的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2﹣9，
∴顶点坐标为（1，﹣9）；
（2）由函数图象可知当y＞0时，即抛物线在x轴的上方的部分，此时对应自变量x的取值范围是﹣2＜x＜4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点的问题以及借组与函数的图形求自变量取值范围，能够结合函数图象正确的判定自变量的取值范围是解题关键．
20．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）设红球的个数为x，根据白球的概率可得关于x的方程，解方程即可；
（2）画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．
【解答】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：
，
解得：x=1，
即红球的个数为1个；
（2）画树状图如下：
∴P（摸得两白）==．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．如图，在平面直角坐标系内，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，5），B（﹣4，1），C（﹣1，1），将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′．
（1）画出△AB′C′；
（2）写出点A，B关于原点O的对称点A″，B″的坐标；
（3）求出在△ABC旋转的过程中，点C经过的路径长．
【考点】作图-旋转变换．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B′、C′即可得到，△AB′C′；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解；
（3）利用弧长公式计算．
【解答】解：（1）如图，△AB′C′为所作；
（2）点A″的坐标为（1，﹣5）；
点B″的坐标为（4，﹣1）；
（3）点C经过的路径==2π．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长的计算．
22．如图，一次函数y=﹣x+5的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+5，即可得出a，再把点A坐标代反比例函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于y轴的对称点D，连接AD，交y轴于点P，此时PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令x=0，即可得出点P坐标．
【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+5，
得a=﹣1+5，
解得a=4，
∴A（1，4），
点A（1，4）代入反比例函数y=，
得k=4，
∴反比例函数的表达式y=，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得或
∴点B坐标（4，1）；
（2）作点B作关于y轴的对称点D（﹣4，1），连接AD，交y轴于点P，此时PA+PB的值最小，
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得，，
解得m=，n=，
∴直线AD的解析式为y=x+，
令x=0，得y=，
∴点P坐标（0，）．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题以及轴对称﹣最短路线问题，利用了待定系数法求解析式，两点之间线段最短的性质．
23．某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售．
（1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率；
（2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】（1）设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是100（1﹣x），第二次后的价格是100（1﹣x）2，据此即可列方程求解；
（2）销售定价为每件x元，每月利润为y元，列出二者之间的函数关系式利用配方法求最值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：100（1﹣x）2=81，
解得：x1=0.1，x2=1.9，
经检验x2=1.9不符合题意，∴x=0.1=10%，
答：每次降价百分率为10%；
（2）设销售定价为每件x元，每月利润为y元，则
y=（x﹣60）[100+5×（100﹣x）]=﹣5（x﹣90）2+4500，
∵a=﹣5＜0，
∴当x=90元时，w最大为4500元．
答：（1）下降率为10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程．
24．如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，以AD为直径的⊙O与AE交于点F．
（1）求证：四边形AOCE为平行四边形；
（2）求证：CF与⊙O相切；
（3）若F为AE的中点，求∠ADF的大小．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，由E为BC边中点，AO=DO，得到AO=AD，EC=BC，等量代换得到AO=EC，AO∥EC，即可得到结论；
（2）利用平行四边形的判定方法得出四边形OAEC是平行四边形，进而得出△ODC≌△OFC（SAS），求出OF⊥CF，进而得出答案；
（3）如图，连接DE，由AD是直径，得到∠AFD=90°，根据点F为AE的中点，得到DF为AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE=AD，推出△ABE≌△DCE，根据全等三角形的性质得到AE=DE，推出三角形ADE为等边三角形，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，
∵E为BC边中点，AO=DO，
∴AO=AD，EC=BC，
∴AO=EC，AO∥EC，
∴四边形OAEC是平行四边形；
（2）如图1，连接OF，
∵四边形OAEC是平行四边形
∴AE∥OC，
∴∠DOC=∠OAF，
∠FOC=∠OFA，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠DOC=∠FOC，
在△ODC与△OFC中，，
∴△ODC≌△OFC（SAS），
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴OF⊥CF，
∴CF与⊙O相切；
（3）如图2，连接DE，
∵AD是直径，
∴∠AFD=90°，
∵点F为AE的中点，
∴DF为AE的垂直平分线，
∴DE=AD，
在△ABE与R△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∴AE=DE=AD，
∴三角形ADE为等边三角形，
∴∠DAF=60°，
∴∠ADF=30°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理和平行四边形的判定、切线的判定等知识，得出△ODC≌△OFC是解题关键．
25．如图，已知一次函数y=﹣x+2的图象分别交x轴，y轴于B点、A点，抛物线y=ax2+x+c的图象经过A、B两点，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若G为线段DE上一点，F为线段DG的中点，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G与y轴相切时，求点D的坐标；
（3）设点D的横坐标为m，以A，B，D为顶点的三角形面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴上的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DF的长，根据线段中点的性质，可得DG的长根据圆与y轴相切，可得关于x的方程，根据解方程，可得x，可得D点坐标；
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）在y=﹣x+2中，当x=0时，y=2；当y=0时，x=4．
所以A（0，2），B（4，0）．
把A（0，2），B（4，0）代入y=ax2+x+c中，得
，
解得，
所以二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2；
（2）设F点的坐标为（x，﹣ x+2），
则D点的坐标为（x，﹣ x2+x+2），
∴DF=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+x
∵G点与D点关于F点对称，
∴GD=2FD=2（﹣x2+x）=﹣x2+2x．
若以G为圆心，GD为半径作圆，使得⊙G与y轴相切，即
﹣x2+2x=x，
解得：x=2，x=0（舍去）．
综上所述：D点的坐标为（2，2）；
（3）如图，，
连接DA，AB，DO，
∵点D的坐标为（m，﹣ m2+m+2）
∴S△ABD=S△AOD+S△DOB﹣SAOB
=×2m+×4×（﹣m2+m+2）﹣×2×4
=﹣m2+2m
=﹣（m﹣2）2+2
当m=2时，S有最大值2．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用圆与y轴相切得出关于x的方程是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
