一、解答题（共20小题）

1. 如图，数轴的原点为 ，点 ，， 是数轴上的三点，点  对应的数为 ，，，动点 ， 同时从 ， 出发，分别以每秒  个单位长度和每秒  个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为  秒 ．

（1）求点 ， 分别对应的数；

（2）求点 ， 分别对应的数（用含  的式子表示）．

（3）试问当  为何值时，?

2. 已知点 ， 是数轴上的两个动点，且 ， 两点的速度比是 ．（速度单位：单位长度/秒）

（1）动点  从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点  也从原点出发向数轴正方向运动， 秒时，两点相距  个单位长度．求两个动点的速度，并在数轴上标出 ， 两点从原点出发运动  秒时的位置．

（2）如果 ， 两点从（1）中  秒时的位置同时向数轴负方向运动，那么再经过几秒，点 ， 到原点的距离相等?

3. 阅读下面材料：如图，点 ， 在数轴上分别表示有理数 ，，则 ， 两点之间的距离可以表示为 ．

 根据阅读材料与你的理解回答下列问题：

（1）数轴上表示  与  的两点之间的距离是                ．

（2）数轴上有理数  与有理数  所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为                ．

（3）代数式  可以表示数轴上有理数  与有理数                所对应的两点之间的距离；若 ，则                  ．

（4）求代数式  的最小值．

4. 如图 ，在平面直角坐标系中，， 且 ．

（1）求点 ， 的坐标；

（2）如图 ， 点为  轴正半轴上一点，连接 ，若 ，请求出  点的坐标；

（3）如图 ，已知 ，若  点是  轴上一个动点，是否存在点 ，使 ，若存在，请直接写出所有符合条件的点  的坐标；若不存在，请说明理由．

5. 如图，， 分别为数轴上的两点， 点对应的数为 ， 点对应的数为 ，现有一动点  以  个单位/秒的速度从  点出发，同时另一动点  恰好以  个单位/秒的速度从  点出发：

 （1）若  向左运动，同时  向右运动，在数轴上的  点相遇，求  点对应的数．

（2）若  向左运动，同时  向左运动，在数轴上的  点相遇，求  点对应的数．

（3）若  向左运动，同时  向右运动，当  与  之间的距离为  个单位长度时，求此时  点所对应的数．

6. 数轴上从左到右有 ，， 三个点，点  对应的数是 ，．

（1）点  对应的数是                ，点  对应的数是                ；

（2）若数轴上有一点 ，且 ，则点  表示的数是什么?

（3）动点  从  出发，以每秒  个单位长度的速度向终点  移动，同时，动点  从点  出发，以每秒  个单位长度的速度向终点  移动，设移动时间为  秒．当点  和点  间的距离为  个单位长度时，求  的值．

7. 如图，已知点  是原点，点  在数轴上，点  表示的数为 ，点  在原点的右侧，且 ．

 （1）点  对应的数是                ，在数轴上标出点 ．

（2）已知点  、点  是数轴上的两个动点，点  从点  出发，以  个单位/秒的速度向右运动，同时点  从点  出发，以  个单位/秒的速度向左运动；

 ①用含  的式子分别表示 ， 两点表示的数： 是                ； 是                ；

 ②若点  和点  经过  秒后在数轴上的点  处相遇，求出  的值和点  所表示的数；

 ③求经过几秒，点  与点  分别到原点的距离相等?

8. 如图，半径为  个单位的圆片上有一点  与数轴的原点重合， 是圆片的直径．

（1）把圆片沿数轴向左滚动  周，点  到达数轴上点  的位置，点  表示的数是                数（填“无理”或“有理”），这个数是                ；

（2）把圆片沿数轴滚动  周，点  到达数轴上点  的位置，点  表示的数是                ；

（3）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，，，，，．当圆片结束运动时， 点运动的路程共有多少?此时点  所表示的数是多少?

9. 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

 （1）数轴上表示  和  的两点之间的距离是                ；表示  和  两点之间的距离是                ；一般地，数轴上表示数  和数  的两点之间的距离等于 ．如果表示数  和  的两点之间的距离是 ，那么                  ．

（2）若数轴上表示数  的点位于  与  之间，则  的值为                ；

（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点 ，使得 ，这些点表示的数的和是                ．

（4）当                  时， 的值最小，最小值是                ．

10. 如图，数轴上的点  和  分别表示  和 ，点  是线段  上一动点，沿  以每秒  个单位的速度往返运动  次， 是线段  的中点，设点  运动时间为  秒 ．

（1）线段  的长度为                ；

（2）当  时，点  所表示的数是                ；

（3）求动点  所表示的数（用含  的代数式表示）；

（4）在运动过程中，当  时，求运动时间 ．

11.  为数轴上的三点，动点  同时从原点出发，动点  每秒运动  个单位，动点  每秒运动  个单位，且动点  运动到的位置对应的数记为 ，动点  运动到的位置对应的数记为 ，定点 C 对应的数为 ．

（1）若  秒后， 满足 ，则                  ，                 ，并请在数轴上标出  两点的位置．

（2）若动点  在（）运动后的位置上保持原来的速度，且同时向正方向运动  秒后使得 ，使得                  ．

（3）若动点  在（）运动后的位置上都以每秒  个单位向正方向运动继续运动  秒，点  与点  之间的距离表示为 ，点  与点  之间的距离表示为 ，点  与点  之间的距离为 ，且 ，则                  ．

12. 探索研究：

（1）比较下列各式的大小（用“”或“”或“”连接）．

 ①                   ；

 ②                   ；

 ③                   ；

 ④                   ；

 ⑤                   ；

 ⑥                   ．

（2）通过以上比较，请你分析、归纳出当 ， 为有理数时，                  （用“”或“”或“”或“”或“”连接）．

（3）根据（）中得出的结论，当  时，则  的取值范围是                ；若 ，且 ，，则                  ．

13. 阅读下面材料并回答问题．

  阅读：

 数轴上表示  和  的两点之间的距离等于 ；

 数轴上表示  和  的两点之间的距离等于 ．

 一般地，数轴上两点之间的距离等于右边点对应的数减去左边点对应的数．

  问题：

 如图， 为数轴原点，，， 是数轴上的三点，， 两点对应的数互为相反数，且  点对应的数为 ， 点对应的数是最大负整数．

（1）点  对应的数是                ，并请在数轴上标出点  位置；

（2）已知点  在线段  上，且 ，求线段  中点对应的数；

（3）若数轴上一动点  表示的数为 ，当  时，求  的值（，， 是点 ，， 在数轴上对应的数）．

14. 如图，已知数轴上点  表示的数为 ，点  表示的数为 ， 为线段  的中点，动点  从点  出发，以每秒  个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为 （）秒．

（1）点  表示的数是                ；

（2）当                  秒时，点  到达点  处；

（3）点  表示的数是                （用含字母  的代数式表示）；

（4）当                  秒时，线段  的长为  个单位长度；

（5）若动点  同时从点  出发，以每秒  个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，那么，当                  秒时， 的长为  个单位长度．

15. 阅读理解．

 小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：

 当式子  取最小值时，相应的  的取值范围是                ，最小值是                ”．

 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”

 他们把数轴分为三段：， 和 ，经研究发现，当  时，值最小为 ．

 请你根据他们的解题解决下面的问题：

（1）当式子  取最小值时，相应的  的取值范围是                ，最小值是                ．

（2）已知 ，求相应的  的取值范围及  的最大值．写出解答过程．

16. 阅读思考：小聪在复习过程中，发现可以用“两数的差”来表示“数轴上两点间的距离”，探索过程如下：

 如图甲所示，三条线段的长度可表示为 ，，，于是他归纳出这样的结论：当  时，（较大数  较小数）．

（1）思考：你认为小聪的结论正确吗?                ．

（2）尝试应用：

 ①如图乙所示，计算：                 ，                 ．

 ②把一条数轴在数  处对折，使表示  和  两数的点恰好互相重合，则                  ．

（3）问题解决：

 ①如图丙所示，点  表示数 ，点  表示 ，点  表示数 ，且 ，问：点  和点  分别表示什么数?

 ②在上述①的条件下，在如图丙所示的数轴上是否存在满足条件的点 ，使 ?若存在，请直接写出点  所表示的数；若不存在，请说明理由．

17. 如图，数轴上有  、  、  、  四个点，分别对应的数为  、  、  、 ，且满足 ， 是方程  的两解 ， 与  互为相反数．

（1）求  、  、  、  的值；

（2）若  、  两点以每秒  个单位的速度向右匀速运动，同时  、  两点以每秒  个单位的速度向左匀速运动，并设运动时间为  秒，问  为多少时， 、  两点都运动在线段  上（不与  、  两个端点重合 ）?

（3）在（2）的条件下， 、  、  、  四个点继续运动，当点  运动到点  的右侧时，问是否存在时间 ，使  与  的距离是  与  的距离的  倍，若存在，求时间 ；若不存在，请说明理由．

18. 已知在数轴上有 ， 两点，点  表示的数为 ，点  在  点的左边，且 ．若有一动点  从数轴上点  出发，以每秒  个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点  从点  出发，以每秒  个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为  秒．

（1）写出数轴上点 ， 所表示的数（可以用含  的代数式表示）；

（2）若点 ， 分别从 ， 两点同时出发，问点  运动多少秒与  相距  个单位长度?

（3）若  为  的中点， 为  的中点．当点  在线段  上运动过程中，探索线段  与线段  的数量关系．

19. 在数轴上依次有 ，， 三点，其中点 ， 表示的数分别为 ，，且 ．

（1）在数轴上表示出 ，， 三点；

（2）若甲、乙、丙三个动点分别从 ，， 三点同时出发，沿数轴负方向运动，它们的速度分别是 ，，（单位长度/秒），当丙追上甲时，甲乙相距多少个单位长度?

（3）在数轴上是否存在点 ，使  到 ，， 的距离和等于 ?若存在求点  对应的数；若不存在，请说明理由．

20. 已知数轴上三点 ，， 对应的数分别为 ，，，点  为数轴上任意一点，其对应的数为 ．

（1）如果点  到点  、点  的距离相等，那么  的值是                ．

（2）当                    时，使点  到点 ，点  的距离之和是 ；

（3）如果点  以每秒钟  个单位长度的速度从点  向左运动时，点  和点  分别以每秒钟  个单位长度和每秒钟  个单位长度的速度也向左运动，且三点同时出发，那么                  秒钟时点  到点 ，点  的距离相等.

答案

第一部分

1. （1）  点  对应的数为 ，，，

  点  对应的数是 ，点  对应的数是 ．

    （2）  动点 ， 分别同时从 ， 出发，分别以每秒  个单位长度和  个单位长度的速度沿数轴正方向运动，

  点  对应的数是 ，

点  对应的数是 ．

    （3） ①当点  与点  在原点两侧时，若 ，则 ，

解得：；

②当点  与点  在原点同侧时，若 ，则 ，

解得：；

当  为  或  时，．

2. （1） 设  的速度为  单位长度/秒， 的速度为  单位长度/秒．

依题意，得 ，

   ．

    的速度为  单位长度/秒， 的速度为  单位长度/秒． 秒时， 的位置在 ， 的位置在 ．

    （2） 设再经过  秒时，点 ， 到原点的距离相等，

①当 点 ， 位于原点两侧时，，解得，．

②当 点 ， 位于原点同侧时，，解得，．

所以再经过  秒或  秒时点 ， 到原点的距离相等．

3. （1） 

【解析】．

    （2） 

    （3） ； 或 

    （4） 如图，

  的最小值即 ．

4. （1） ，

又 ，，

 ，，

 ，．

    （2） 设 ，

 ，

 ，

 ，

 ．

    （3） ．

【解析】，，

 ，

 ．

5. （1） 设相遇时间为  秒，，

解得：，

因此  点对应的数为 ．

    （2） 设追及时间为  秒，，

解得：，

点  对应的数为 ．

    （3）  相遇前  时，

设相遇时间为  秒，，

解得：，

因此  点对应的数为 ，

  相遇后  时，设相遇时间为  秒，，

解得：，

因此  点对应的数为 ，

故  点对应的数为  或 ．

6. （1） ；

【解析】，点  对应的数是 ，点  在点  左侧，点  在点  左侧，

  点  对应的数为 ，点  对应的数为 ．

    （2） 由于点  对应的数为 ，，

  点  表示的数为  或 ．

    （3） 当运动时间为  秒时，点  对应的数是 ，点  对应的数是 ，

依题意，得：，

  或 ，解得： 或 ．

  的值为  或 ．

7. （1）  

数轴表示如图所示：

【解析】 点  表示的数为 ，

 ，

 ，

 ，

  点  在原点的右侧，

  点  对应的数是 ．

    （2） ① ； 

②  点  和点  经过  秒后在数轴上的点  处相遇，

 ，

 ，

  点  所表示的数 ．

③  是 ； 是 ，

 ，，

  点  与点  分别到原点的距离相等，

 ，

  或 ，

  或 ，

  经过  秒或  秒，点  与点  分别到原点的距离相等．

【解析】①  的路程为 ， 的路程为 ，

  是 ； 是 ．

8. （1） 无理；

【解析】把圆片沿数轴向左滚动  周，点  到达数轴上点  的位置，点  表示的数是无理数，这个数是 ．

    （2） 

【解析】把圆片沿数轴滚动  周，点  到达数轴上点  的位置，点  表示的数是 ．

    （3） ，

故  点运动的路程共有 ，

 ，

故此时点  所表示的数是 ．

9. （1） ；； 或 

【解析】，

 ，

 ，

所以， 或 ，

解得  或 ．

    （2） 

【解析】因为表示数  的点位于  与  之间，

所以 ，，

所以 ．

    （3） 

【解析】使得  的整数点有 ，，，，，，，，．故这些点表示的数的和是 ．

    （4） ；

【解析】 有最小值，最小值 ．

10. （1） 

【解析】 是线段  的中点，

 ．

      （2） 

【解析】当  时，点  所表示的数是 ．

      （3） 当  时，动点  所表示的数是 ；

当  时，动点  所表示的数是 ．

      （4） ①当  时，动点  所表示的数是 ，

 ，

 ，

  或 ，解得  或 ；

②当  时，动点  所表示的数是 ，

 ，

 ，

  或 ，解得  或 ．

综上所述，所求  的值为  或  或  或 ．

11. （1） ； 

      （2）  或 

      （3）  或 

12. （1） ；；；；；

      （2） 

      （3） ； 或 

13. （1）  

点  位置如图：

【解析】点  对应的数是 ．

      （2） 设点  对应的数为 ，

  点  在线段  上，

 ，，

 ，

 ，

 ．

设  中点对应的数为 ，

则 ，

 ，

  中点对应的数为 ．

      （3） 由题意：，，

当点  在点  左侧时，

 ，

 ，

 ，

当点  在点  左侧时，

 ，

 ，

 ．

14. （1） 

【解析】 

故点  表示的数是 ．

      （2） 

【解析】 

答：当  秒时，点  到达点  处．

      （3） 

【解析】点  表示的数是 ．

      （4）  秒或 

【解析】 在点  左边，

  在点  右边，

答：当  秒或  秒时，线段  的长为  个单位长度．

      （5）  秒或 

【解析】点 ， 相遇前，依题意有 ，

解得 ；

点 ， 相遇后，依题意有 ，

解得 ．

答：当  秒或  秒时， 的长为  个单位长度．

15. （1） ；．

      （2） 当  时，，

当  时，，

当  时，，

所以  时， 有最大值 ．

16. （1） 正确

【解析】 当  时， 的值为线段  的实际长度．

      （2） ；；

      （3） ①   ，，

又   ，

   ，解得 ，

  点  表示数 ，点  表示数 ．

②存在．

设点  所表示的数为 ，则

（a）当  时，，，，

若 ，则 ，解得 ，满足条件；

（b）当  时，，，，

若 ，则 ，解得 ，不符合题意；

（c）当  时，，，，

若 ，则 ，解得 ，满足条件；

（d）当  时，，，，

若 ，则 ，解得 ，不符合题意．

综上可知，存在点  表示的数为  或  时满足条件．

17. （1） ， 是方程  的两根 ，

 ， .

  与  互为相反数，，，

 ，．

 ， .

      （2） 可知：，，，．

  、  两点以每秒  个单位的速度向右匀速运动， 、  两点以每秒  个单位的速度向左匀速运动，

  点  、  相遇时间 ，点  、  的相遇时间  .

  点  、  相遇之后到  、  相遇之前， 、  两点都运动在线段  上，

  当  时， 、  两点都运动在线段  上．

      （3） 存在时间，使得 ．理由：

 （1） 当  时，点  与点  相遇，此时 ，；

当  、  相遇时 ；

当  时，点  在线段  上，

此时 ， .

若 ，则 ，解得 ；

 （2） 当  时，点  与点  相遇，此时 ，；

当  时，点  在  的延长线上，

此时 ， .

若 ，则 ，解得 ．

综上所述， 或  时，．

18. （1）  点  表示的数为 ， 在  点左边，，

  点  表示的数是 ．

  动点  从点  出发，以每秒  个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 （）秒，

  点  表示的数是 ．

      （2） 设点  运动  秒时，与  相距  个单位长度．

则 ，．

 ，

 ．

解得：．

 ，

 ．

解得：．

  点  运动  秒或  秒时与点  相距  个单位长度．

      （3） 如图：当  在  的左侧时，

 ．

即 ．

如图当  在  的右侧时，

 ．

综上，．

19. （1） 

      （2） （秒），．

答：丙追上甲时，甲乙相距  个单位长度．

      （3） 设  点表示的数为 ，由题意可得 ．

当  时，．

解得 ．

当  时，．

解得 ，不属于上述范围（舍）．

当  时，．

解得 ．

当  时，．

解得 ，不属于上述范围（舍）．

结合数轴，解得 ，，

  点表示的数为  或 ．

20. （1） 

      （2）  或 

      （3）  或 

【解析】提示：①当点  和点  在点  同侧时，因为  ，所以点  和点  重合．

②当点  和点  在点  两侧时，有两种情况．

情况 ：如果点  在点  左侧；

情况 ：如果点  在点  右侧．下载本文