一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选错选，均不得分）

1．2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面．已知火星与地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为（　　）

A．55×106 B．5.5×107 C．5.5×108 D．0.55×108

2．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（　　）

A． B． C． D．

3．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝+1 C．x＝3 D．x＝﹣

4．已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（　　）

A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2

5．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形

6．5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．中位数是33℃    

B．众数是33℃    

C．平均数是℃    

D．4日至5日最高气温下降幅度较大

7．已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）

A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切

8．为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）

A．﹣＝20 B．﹣＝20    

C．﹣＝20 D．﹣＝20

9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为（　　）

A． B． C． D．4

10．已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．≤ B．≥ C．≥ D．≤

二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）

11．（4分）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解 　                　．

12．（4分）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　      　．

13．（4分）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n个等式为2n﹣1＝　          　．

14．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 　                　．

15．（4分）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 　              　．

马匹

三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）

17．（6分）（1）计算：2﹣1+﹣sin30°；

（2）化简并求值：1﹣，其中a＝﹣．

18．（6分）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：

小敏：

两边同除以（x﹣3），得

3＝x﹣3，

19．（6分）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1．

（1）以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．

（2）计算你所画菱形的面积．

20．（8分）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．

（1）y是关于x的函数吗？为什么？

（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？

（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．

21．（8分）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如图统计图（不完整）：

青少年视力健康标准

（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别B）的扇形圆心角度数和2020年初视力正常（类别A）的人数．

（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了多少人？

（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内．请估计该市八年级学生2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．

22．（10分）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．

（1）求点D转动到点D′的路径长；

（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．

（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

23．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．

（1）求二次函数图象的顶点坐标；

（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？

（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．

24．（12分）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．

[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

2021年浙江省嘉兴市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分，请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选错选，均不得分）

1．2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面．已知火星与地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为（　　）

A．55×106 B．5.5×107 C．5.5×108 D．0.55×108

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值≥10时，n是正数．

【解答】解：55000000＝5.5×107．

故选：B．

2．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（　　）

A． B． C． D．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【解答】解：从上面看，底层右边是一个小正方形，上层是两个小正方形，右齐．

故选：C．

3．能说明命题“若x为无理数，则x2也是无理数”是假命题的反例是（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝+1 C．x＝3 D．x＝﹣

【分析】根据题意，只要x2是有理数，即求出各个选项中x2的值，再判断即可．

【解答】解：（﹣1）2＝3﹣2，是无理数，不符合题意；

（+1）2＝3+2，是无理数，不符合题意；

（3）2＝18，是有理数，符合题意；

（﹣）2＝5﹣2，是无理数，不符合题意；

故选：C．

4．已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（　　）

A．y2＜y1＜0＜y3 B．y1＜y2＜0＜y3 C．y3＜0＜y2＜y1 D．y3＜0＜y1＜y2

【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论

【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝2＞0，

∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．

∵x1＜x2＜0＜x3，

∴A、B两点在第三象限，C点在第一象限，

∴y2＜y1＜0＜y3．

故选：A．

5．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形

【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，按原图返回即可．

【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，

由折叠可知CA＝AB，

∴△ABC是等腰三角形，

又△ABC和△BCD关于直线CD对称，

∴四边形BACD是菱形，

故选：D．

6．5月1日至7日，我市每日最高气温如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A．中位数是33℃    

B．众数是33℃    

C．平均数是℃    

D．4日至5日最高气温下降幅度较大

【分析】分别确定7个数据的中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、7个数排序后为23，25，26，27，30，33，33，位于中间位置的数为27，所以中位数为27℃，故A错误，符合题意；

B、7个数据中出现次数最多的为33，所以众数为33℃，正确，不符合题意；

C、平均数为（23+25+26+27+30+33+33）＝，正确，不符合题意；

D、观察统计表知：4日至5日最高气温下降幅度较大，正确，不符合题意，

故选：A．

7．已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）

A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切

【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．

【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，

即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，

∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，

∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，

故选：D．

8．为迎接建党一百周年，某校举行歌唱比赛．901班啦啦队买了两种价格的加油棒助威，其中缤纷棒共花费30元，荧光棒共花费40元，缤纷棒比荧光棒少20根，缤纷棒单价是荧光棒的1.5倍．若设荧光棒的单价为x元，根据题意可列方程为（　　）

A．﹣＝20 B．﹣＝20    

C．﹣＝20 D．﹣＝20

【分析】若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少20根”可列方程即可．

【解答】解：若设荧光棒的单价为x元，则缤纷棒单价是1.5x元，

根据题意可得：﹣＝20．

故选：B．

9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，点D在AC上，且AD＝2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC和DE的中点，连结AG，FG，当AG＝FG时，线段DE长为（　　）

A． B． C． D．4

【分析】分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段AG和FG的长，建立等式可求出结论．

【解答】解：如图，分别过点G，F作AB的垂线，垂足为M，N，过点G作GP⊥FN于点P，

∴四边形GMNP是矩形，

∴GM＝PN，GP＝MN，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝5，

∴CA⊥AB，

又∵点G和点F分别是线段DE和BC的中点，

∴GM和FN分别是△ADE和△ABC的中位线，

∴GM＝＝1，AM＝AE，

FN＝AC＝，AN＝AB＝，

∴MN＝AN﹣AM＝﹣AE，

∴PN＝1，FP＝，

设AE＝m，

∴AM＝m，GP＝MN＝﹣m，

在Rt△AGM中，AG2＝（m）2+12，

在Rt△GPF中，GF2＝（﹣m）2+（）2，

∵AG＝GF，

∴（m）2+12＝（﹣m）2+（）2，

解得m＝3，即DE＝3，

在Rt△ADE中，DE＝＝．

故选：A．

10．已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（　　）

A．≤ B．≥ C．≥ D．≤

【分析】结合选项可知，只需要判断出a和b的正负即可，点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，代入可得关于a和b的等式，再代入不等式2a﹣5b≤0中，可判断出a与b正负，即可得出结论．

【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，

∴﹣3a﹣4＝b，

又2a﹣5b≤0，

∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，

解得a≤﹣＜0，

当a＝﹣时，得b＝﹣，

∴b≥﹣，

∵2a﹣5b≤0，

∴2a≤5b，

∴≤．

故选：D．

二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）

11．（4分）已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解 　（答案不唯一）　．

【分析】把y看做已知数求出x，确定出整数解即可．

【解答】解：x+3y＝14，

x＝14﹣3y，

当y＝1时，y＝11，

则方程的一组整数解为．

故答案为：（答案不唯一）．

12．（4分）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是 　（4，2）　．

【分析】根据图示，对应点的连线都经过同一点，该点就是位似中心．

【解答】解：如图，

点G（4，2）即为所求的位似中心．

故答案是：（4，2）．

13．（4分）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n个等式为2n﹣1＝　n2﹣（n﹣1）2　．

【分析】根据题目中的式子可以发现：等号左边是一些连续的奇数，等号右边第一个数是和左边是第几个奇数一样，第二个数比第一个数少1，然后即可写出第n个等式．

【解答】解：∵1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…，

∴第n个等式为2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，

故答案为：n2﹣（n﹣1）2．

14．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2，则AH的长为 　　．

【分析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分别利用勾股定理可求出BC和OB的长，又AH⊥OB，可利用等面积法求出AH的长．

【解答】解：如图，

∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，

∴AC＝＝2，

在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，

∴OA＝OC＝，

在Rt△OAB中，

OB＝＝，

又AH⊥BD，

∴OB•AH＝OA•AB，即＝，

解得AH＝．

故答案为：．

15．（4分）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 　　．

马匹

【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，

当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：

双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，

∴田忌能赢得比赛的概率为．

16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是 　　；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为 　　．

【分析】如图1中，过点B作BH⊥AC于H．解直角三角形求出CA,当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，求出CA′,CK．可得结论．如图2中，点P到达点B时，线段A′P扫过的面积＝S扇形A′CA﹣2S△ABC，由此求解即可．

【解答】解：如图1中，过点B作BH⊥AC于H．

在Rt△ABH中，BH＝AB•sin30°＝1,AH＝BH＝,

在Rt△BCH中，∠BCH＝45°,

∴CH＝BH＝1,

∴AC＝CA′＝1+,

当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，

设CA′交AB的延长线于K．

在Rt△ACK中，CK＝AC•sin30°＝,

∴A′K＝CA′﹣CK＝1+﹣＝．

如图2中，点P到达点B时，线段A′P扫过的面积＝S扇形A′CA﹣2S△ABC＝﹣2××(1+)×1＝(1+)π﹣1﹣．

故答案为：，(1+)π﹣1﹣．

三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）

17．（6分）（1）计算：2﹣1+﹣sin30°；

（2）化简并求值：1﹣，其中a＝﹣．

【分析】（1）根据负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值可以解答本题；

（2）先通分，然后根据分式的减法法则即可化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】解：（1）2﹣1+﹣sin30°

＝+2﹣

＝2；

（2）1﹣

＝

＝

＝，

当a＝﹣时，原式＝＝2．

18．（6分）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：

小敏：

两边同除以（x﹣3），得

3＝x﹣3，

【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；

小霞：提取公因式时出现了错误．

利用因式分解法解方程即可．

【解答】解：小敏：×；

小霞：×．

正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，

提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．

则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，

解得x1＝3，x2＝6．

19．（6分）如图，在7×7的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1．

（1）以AB为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．

（2）计算你所画菱形的面积．

【分析】（1）先以AB为边画出一个等腰三角形，再作对称即可；

（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得．

【解答】解：（1）如下图所示：

四边形ABCD即为所画菱形，（答案不唯一，画出一个即可）．

（2）图1菱形面积S＝×2×6＝6，

图2菱形面积S＝×2×4＝8，

图3菱形面积S＝（）2＝10．

20．（8分）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．

（1）y是关于x的函数吗？为什么？

（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？

（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．

【分析】（1）根据函数的定义，可直接判断；

（2）由图象可知，“加速期”结束时，即跑30米时，小斌的速度为10.4m/s．

（3）答案不唯一．建议合理即可．

【解答】解：（1）y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．

（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．

（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．

21．（8分）某市为了解八年级学生视力健康状况，在全市随机抽查了400名八年级学生2021年初的视力数据，并调取该批学生2020年初的视力数据，制成如图统计图（不完整）：

青少年视力健康标准

（1）分别求出被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良（类别B）的扇形圆心角度数和2020年初视力正常（类别A）的人数．

（2）若2021年初该市有八年级学生2万人，请估计这些学生2021年初视力正常的人数比2020年初增加了多少人？

（3）国家卫健委要求，全国初中生视力不良率控制在69%以内．请估计该市八年级学生2021年初视力不良率是否符合要求？并说明理由．

【分析】（1）利用2021年初视力不良的百分比乘360°即可求解．

（2）分别求出2021、2020年初视力正常的人数即可求解．

（3）用1﹣31.25%即可得该市八年级学生2021年视力不良率，即可判断．

【解答】解：（1）被抽查的400名学生2021年初轻度视力不良的扇形圆心角度数＝360°×（1﹣31.25%﹣24.5%﹣32%）＝44.1°．

该批400名学生2020年初视力正常人数＝400﹣48﹣91﹣148＝113（人）．

（2）该市八年级学生221年初视力正常人数＝20000×31.25%＝6250（人）．

这些学生2020年初视力正常的人数＝（人）．

∴增加的人数＝6250﹣5650＝600（人）．

（3）该市八年级学生2021年视力不良率＝1﹣31.25%＝68.75%．

∵68.75%＜69%．

∴该市八年级学生2021年初视力良率符合要求．

22．（10分）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．

（1）求点D转动到点D′的路径长；

（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．

（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

【分析】（1）由BD'∥EF,求出∠D'BE＝72°，可得∠DBD'＝36°，根据弧长公式即可求出点D转动到点D′的路径长为＝π；

（2）过D作DG⊥BD'于G,过E作EH⊥BD'于H，Rt△BDG中，求出DG＝BD•sin36°＝3.54,Rt△BEH中，HE＝3.80,故DG+HE≈7.3,即点D到直线EF的距离为7.3cm,

【解答】解：∵BD'∥EF,∠BEF＝108°，

∴∠D'BE＝180°﹣∠BEF＝72°，

∵∠DBE＝108°，

∴∠DBD'＝∠DBE﹣∠D'BE＝108°﹣72°＝36°，

∵BD＝6，

∴点D转动到点D′的路径长为＝π；

（2）过D作DG⊥BD'于G,过E作EH⊥BD'于H，如图：

Rt△BDG中，DG＝BD•sin36°≈6×0.59＝3.54,

Rt△BEH中，HE＝BE•sin72°≈4×0.95＝3.80,

∴DG+HE＝3.54+3.80＝7.34≈7.3,

∵BD'∥EF,

∴点D到直线EF的距离约为7.3cm,

答：点D到直线EF的距离约为7.3cm．

23．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．

（1）求二次函数图象的顶点坐标；

（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？

（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．

【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；

（2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；

（3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n，进而根据m﹣n＝3得到关于t的方程，解方程即可．

【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝（x﹣3）2+4，

∴顶点坐标为（3，4）；

（2）∵顶点坐标为（3，4），

∴当x＝3时，y最大值＝4，

∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，

∴当x＝1时，y最小值＝0，

∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，

∴当x＝4时，y最小值＝3．

∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；

（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，

①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，

当x＝t+3时，m＝（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，

当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，

∴m﹣n＝﹣＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，

∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），

②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，

∴m＝4，

i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，

∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，

∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）；

ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，

∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，

∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），

③当t≥3时，y随着x的增大而减小，

当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，

当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，

.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，

∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），

综上所述，t＝3﹣或．

24．（12分）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．

[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．

[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．

[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．

【分析】（1）如图1，设BC＝x，由旋转的性质得出AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1，证明△D'C'B∽△ADB，由相似三角形的性质得出，由比例线段得出方程，求出x的值即可得出答案；

（2）连接DD'，证明△AC'D'≌△DAB（SAS），由全等三角形的性质得出∠D'AC'＝∠ADB，由等腰三角形的性质得出∠ADD'＝∠AD'D，证出∠MDD'＝∠MD'D，则可得出结论；

（3）连接AM，证明△AD'M≌△ADM（SSS），由全等三角形的性质得出∠MAD'＝∠MAD，得出MN＝AN，证明△NPA∽△NAD，由相似三角形的性质得出，则可得出结论．

【解答】解：（1）如图1，设BC＝x，

∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，

∴点A，B，D’在同一直线上，

∴AD'＝AD＝BC＝x，D'C＝AB'＝AB＝1，

∴D'B＝AD'﹣AB＝x﹣1，

∵∠BAD＝∠D'＝90°，

∴D'C'∥DA，

又∵点C'在DB的延长线上，

∴△D'C'B∽△ADB，

∴，

∴，

解得x1＝，x2＝（不合题意，舍去），

∴BC＝．

（2）D'M＝DM．

证明：如图2，连接DD'，

∵D'M∥AC'，

∴∠AD'M＝∠D'AC'，

∵AD'＝AD，∠AD'C'＝∠DAB＝90°，D'C'＝AB，

∴△AC'D'≌△DAB（SAS），

∴∠D'AC'＝∠ADB，

∴∠ADB＝∠AD'M，

∵AD'＝AD，

∴∠ADD'＝∠AD'D，

∴∠MDD'＝∠MD'D，

∴D'M＝DM；

（3）关系式为MN2＝PN•DN．

证明：如图3，连接AM，

∵D'M＝DM，AD'＝AD，AM＝AM，

∴△AD'M≌△ADM（SSS），

∴∠MAD'＝∠MAD，

∵∠AMN＝∠MAD+∠NDA，∠NAM＝∠MAD'+∠NAP，

∴∠AMN＝∠NAM，

∴MN＝AN，

在△NAP和△NDA中，∠ANP＝∠DNA，∠NAP＝∠NDA，

∴△NPA∽△NAD，

∴，

∴AN2＝PN•DN，

∴MN2＝PN•DN．下载本文