基础达标

一、选择题

1.如图,直线l1,l2,l3是三条彼此相交的公路,现要建一个货物中转站P,使得P到三条公路的距离相等,则满足条件的点P有(　　)

A.1处    B.2处    C.3处    D.4处

答案D

2.(2018湖北宜昌)尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线,下列作图中正确的是(　　)

答案B

3.下列各条件中,不能作出唯一三角形的条件是(　　)

A.已知两边和夹角

B.已知两边和其中一条边所对的角

C.已知两角和夹边

D.已知两角和其中一角的对边

答案B

4.

如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以点A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,则下列说法:①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC∶S△ABC=1∶3.其中正确的个数是(　　)

A.1    B.2    C.3    D.4

答案D

5.(2018浙江湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中.传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣:

①将半径为r的☉O六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六个等分点;

②分别以点A,D为圆心,AC长为半径画弧,G是两弧的一个交点;

③连接OG.

问:OG的长是多少?

大臣给出的正确答案应是(　　)

A.r    B.r

C.r    D.r

答案D

解析如图连接CD,AC,DG,AG.

∵AD是☉O直径,

∴∠ACD=90°,

在Rt△ACD中,AD=2r,∠DAC=30°,

∴AC=r.

∵DG=AG=CA,OD=OA,∴OG⊥AD,

∴∠GOA=90°,

∴OG=r,故选D.

6.(2018河南)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上.按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为    (　　)

A.(-1,2)    B.(,2)

C.(3-,2)    D.(-2,2)

答案A

解析∵▱AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),

∴AH=1,HO=2,

∴Rt△AOH中,AO=,

由题可得,OF平分∠AOB,∴∠AOG=∠EOG,又∵AG∥OE,∴∠AGO=∠EOG,

∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO=,

∴HG=-1,∴G(-1,2),故选A.

7.(2018江苏南通)如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于点E,F,再分别以E,F为圆心,大于EF的长为半径作圆弧,两弧交于点P,作射线AP,交CD于点M,若∠ACD=110°,则∠CMA的度数为(　　)

A.30°    B.35°    C.70°    D.45°

答案B

解析∵AB∥CD,∠ACD=110°,∴∠CAB=70°,

由题意得AP平分∠CAB,∴∠CAM=∠BAM=35°,

∵AB∥CD,∴∠CMA=∠MAB=35°.故选B.

二、填空题

8.(2018江苏淮安)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是　　　　　. 

答案

解析连接AD.

∵PQ垂直平分线段AB,

∴DA=DB,设DA=DB=x,

在Rt△ACD中,∠C=90°,AD2=AC2+CD2,

∴x2=32+(5-x)2,解得x=,

∴CD=BC-DB=5-.故答案为.

三、解答题

9.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,8),点B(6,8).

(1)只用直尺(没有刻度)和圆规,求作一个点P,使点P同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹,不必写出作法):

①点P到A,B两点的距离相等;

②点P到∠xOy的两边的距离相等.

(2)在(1)作出点P后,写出点P的坐标.

解(1)作图如下,点P即为所求作的点.

(2)设AB的中垂线交AB于点E,交x轴于点F,

由作图可得,EF⊥AB,EF⊥x轴,且OF=3,

∵OP是∠xOy的平分线,

∴点P的坐标为(3,3).

10.(2018浙江金华)如图,在6×6的网格中,每个小正方形的边长为1,点A在格点(小正方形的顶点)上.试在各网格中画出顶点在格点上,面积为6,且符合相应条件的图形.

解符合条件的图形如图所示:

11.(2018广东)如图,BD是菱形ABCD的对角线,∠CBD=75°,

(1)请用尺规作图法,作AB的垂直平分线EF,垂足为E,交AD于F;(不要求写作法,保留作图痕迹)

(2)在(1)条件下,连接BF,求∠DBF的度数.

解(1)如图所示,直线EF即为所求;

(2)∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°,DC∥AB,∠A=∠C.

∴∠ABC=150°,∠ABC+∠C=180°,

∴∠C=∠A=30°,

∵EF垂直平分线段AB,∴AF=FB,

∴∠A=∠FBA=30°,

∴∠DBF=∠ABD-∠FBE=45°.

12.(2018江苏无锡)如图,平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(6,4).

(1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线AC,它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C,且使∠ABC=90°,△ABC与△AOC的面积相等.(作图不必写作法,但要保留作图痕迹)

(2)问:(1)中这样的直线AC是否唯一?若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出所有这样的直线AC,并写出与之对应的函数表达式.

解(1)如图△ABC即为所求;

(2)这样的直线不唯一.

①作线段OB的垂直平分线AC,满足条件,此时直线的解析式为y=-x+.

②作矩形OA'BC',直线A'C',满足条件,此时直线A'C'的解析式为y=-x+4.

能力提升

一、选择题

1.(2018山东潍坊)如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是:

(1)作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C;

(2)以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D;

(3)连接BD,BC.

下列说法不正确的是(　　)

A.∠CBD=30°    B.S△BDC=AB2

C.点C是△ABD的外心    D.sin2A+cos2D=1

答案D

解析由作图可知:AC=AB=BC,

∴△ABC是等边三角形,

由作图可知:CB=CA=CD,

∴点C是△ABD的外心,∠ABD=90°,BD=AB,∴S△ABD=AB2,∵AC=CD,

∴S△BDC=AB2,故A,B,C正确,故选D.

二、填空题

2.(2018山西)如图,直线MN∥PQ,直线AB分别与MN,PQ相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧交AN于点C,交AB于点D;②分别以C,D为圆心,以大于CD长为半径作弧,两弧在∠NAB内交于点E;③作射线AE交PQ于点F.若AB=2,∠ABP=60°,则线段AF的长为　　　　　. 

答案2

解析作BG⊥AF,∵MN∥PQ,

∴∠NAB=∠ABP=60°,

由题意得,AF平分∠NAB,

∴∠1=∠2=30°,

∵∠ABP=∠1+∠3,∴∠3=30°,

∴∠1=∠3=30°,∴AB=BF,AG=GF,

∵AB=2,∴BG=AB=1,

∴AG=,∴AF=2AG=2.

三、解答题

3.(2018福建莆田)如图是等边三角形ABC.

(1)求作一点D,连接AD,CD,使得四边形ABCD为菱形;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

(2)连接BD交AC于点O,若OA=1,求菱形ABCD的面积.

解(1)如图所示,点D就是所求作的点.

(2)在菱形ABCD中,∠BAC=60°,OB⊥OA,

∴在Rt△OAB中,tan∠OAB=tan60°=.

∵OA=1,∴BO=,BD=2.

又∵AC=2OA=2,

∴菱形ABCD的面积S=BD·AC=2.

4.(2018湖北孝感)如图,△ABC中,AB=AC,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:

①作∠BAC的平分线AM交BC于点D;

②作边AB的垂直平分线EF,EF与AM相交于点P;

③连接PB,PC.

请你观察图形解答下列问题:

(1)线段PA,PB,PC之间的数量关系是　; 

(2)若∠ABC=70°,求∠BPC的度数.

解(1)如图,PA=PB=PC,理由是:

∵AB=AC,AM平分∠BAC,

∴AD是BC的垂直平分线,∴PB=PC,

∵EP是AB的垂直平分线,

∴PA=PB,∴PA=PB=PC.

故答案为PA=PB=PC.

(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=70°,

∴∠BAC=180°-2×70°=40°,

∵AM平分∠BAC,

∴∠BAD=∠CAD=20°,

∵PA=PB=PC,

∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°,

∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°.    

5.(2018四川自贡)如图,在△ABC中,∠ACB=90°.

(1)作出经过点B,圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的☉O(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)

(2)设(1)中所作的☉O与边AB交于异于点B的另外一点D,若☉O的直径为5,BC=4;求DE的长.(如果用尺规作图画不出图形,那么可画出草图完成第(2)问)

解(1)☉O如图所示;

(2)作OH⊥BC于点H.

∵AC是☉O的切线,∴OE⊥AC,

∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°,

∴四边形ECHO是矩形,

∴OE=CH=,BH=BC-CH=,

在Rt△OBH中,OH==2,

∴EC=OH=2,BE==2,

∵∠EBC=∠EBD,∠BED=∠C=90°,

∴△BCE∽△BED,∴,

∴,∴DE=.下载本文