基础知识
关于高阶导数，有：
（1）几个常见的高阶导数公式
，
，
，
（2）分段函数在分段点处的二阶导数
（3）莱布尼兹公式：设函数，皆阶可导，则
（实际上就是二项式定理）
（4）隐函数及由参数方程确定的函数的二阶导数（不在本专题中涉及）
例题
1. 设，求。
解：
故
于是
2. 已知，求。
解：由知
3. 已知，求。
解：
由公式知
故
4. 已知，则当时求。
解：令，，则，由莱布尼兹公式，有
故
5. 设，其中，为正整数，求。
解：由知
其中，。由莱布尼兹公式知
而，，，，故
6. 设，求。
解：
令，，则，由莱布尼兹公式，有
而，，，，故
注：例题4、5、6有共通之处，要求，首先将因式分解为两项和相乘，应用莱布尼兹公式，且其中一项必须为关于的多项式（为了使的零阶直至阶导数只有少数几项在处的值不为零）。
7. 设，求。
解：
故
继续求导一次得
亦即
继续求导一次得
亦即
归纳知
将带入上式，有
由，，知
附专题八习题6的解答
6. 证明：方程恰有三个实根。
解：令，，，。的两个确定的根为，，对函数在闭区间上应用零点定理知至少存在一个，使得。故亦即方程至少有三个实根，下面说明方程恰有三个实根。倘若不然，存在四个或者四个以上的实根，取其中的四个根，，，，且不妨设。的一阶、二阶、三阶导数分别为
由罗尔定理知存在，，，使得
继续应用罗尔定理，存在，，使得
存在，使得
而，，矛盾。故假设不成立，亦即方程恰有三个实根。（附与的图像）
（罗尔定理）如果函数满足：
（1）在闭区间上连续
（2）在开区间内可导
（3）在区间的端点处函数值相等，及
则在内至少存在一点，使得。下载本文
