一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（　　）

A．{﹣2，﹣1，0，1}    B．{﹣1，0，1}    C．{0，1}    D．{0}

2．已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（　　）

A．    B．5    C．2    D．2

3．在等比数列{an}中，a1=2，公比q=2，若am=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（　　）

A．11    B．10    C．9    D．8

4．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（　　）

A．这12天中有6天空气质量为“优良”

B．这12天中空气质量最好的是4月9日

C．这12天的AQI指数值的中位数是90

D．从4日到9日，空气质量越来越好

5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（　　）

A．1    B．2    C．    D．4

6．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的ai（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（　　）

A．6    B．7    C．8    D．9

7．已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

9．已知抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，点A（0，﹣），若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|：|MD|=1：2，则点M的纵坐标为（　　）

A．﹣    B．﹣    C．﹣    D．﹣

10．已知函数f（x）=2cos22x﹣2，给出下列命题：

①∃β∈R，f（x+β）为奇函数；

②∃α∈（0，），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立；

③∀x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，则|x1﹣x2|的最小值为；

④∀x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（　　）

A．①②    B．③④    C．②③    D．①④

11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）

A．27π    B．48π    C．π    D．81π

12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm﹣1=13，Sm=0，Sm+1=﹣15．其中m∈N*且m≥2，则数列{}的前n项和的最大值为（　　）

A．    B．    C．    D．

二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（2x﹣）6展开式中常数项为　　（用数字作答）．

14．若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为　　．

15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为　　．（用数字作答）

16．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为　　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分）

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．

（1）求角B的大小；

（2）若b=2，求a+c的最大值．

18．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE．

（1）求BM的长；

（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．

19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．

为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：

参考数据：

20．已知圆C：（x+1）2+y2=8，点A（1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON面积的最大值．

21．已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．

（1）若关于x的不等式f（x）≤x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；

（2）设函数g（x）=，若g（x）在[1，e2]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．

（1）当a=1时，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；

（2）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．

2017年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．设集合A={0，1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}，则A∪B=（　　）

A．{﹣2，﹣1，0，1}    B．{﹣1，0，1}    C．{0，1}    D．{0}

【考点】1D：并集及其运算．

【分析】先求出集合B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．

【解答】解：∵集合A={0，1}，

B={x|（x+2）（x﹣1）＜0，x∈Z}={﹣1，0}，

∴A∪B={﹣1，0，1}．

故选：B．

2．已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（　　）

A．    B．5    C．2    D．2

【考点】A8：复数求模．

【分析】复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），利用中点坐标公式可得：线段AB的中点C（1，2）．进而得出．

【解答】解：复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），

线段AB的中点C（1，2）对应的复数为z=1+2i，则|z|==．

故选：A．

3．在等比数列{an}中，a1=2，公比q=2，若am=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（　　）

A．11    B．10    C．9    D．8

【考点】88：等比数列的通项公式．

【分析】把a1和q代入am=a1a2a3a4，求得am=a1q6，根据等比数列通项公式可得m．

【解答】解：am=a1a2a3a4=a14qq2q3=2426=210=2m﹣1，

∴m=11，

故选：A．

4．AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（　　）

A．这12天中有6天空气质量为“优良”

B．这12天中空气质量最好的是4月9日

C．这12天的AQI指数值的中位数是90

D．从4日到9日，空气质量越来越好

【考点】B9：频率分布折线图、密度曲线．

【分析】对4个选项分别进行判断，可得结论．

【解答】解：这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92，故A正确；

这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故正确；

这12天的AQI指数值的中位数是=90，故正确；

从4日到9日，空气质量越来越好，不正确，4月9日，AQI指数值为135，

故选D．

5．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（　　）

A．1    B．2    C．    D．4

【考点】KC：双曲线的简单性质．

【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点位置以及渐近线方程，结合题意分析有=2，求出直线l与x轴交点坐标，即可得双曲线C的一个顶点坐标，即a的值，计算可得b的值，又由双曲线的焦点到渐近线的距离等于b，即可得答案．

【解答】解：根据题意，双曲线C的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其焦点在x轴上，

其渐近线方程y=±x，

又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线，则有=2，

直线l：y=2x﹣2与x轴交点坐标为（1，0），

即双曲线C的一个顶点坐标为（1，0），即a=1，

则b=2a=2，

故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2；

故选：B．

6．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的ai（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（　　）

A．6    B．7    C．8    D．9

【考点】EF：程序框图．

【分析】模拟执行算法流程图可知其统计的是成绩大于等于110的人数，由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，从而得解．

【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，

所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，

因此输出结果为9．

故选：D．

7．已知A={（x，y）|x2+y2≤π2}，B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域，若向区域A内随机投入一点M，则点M落入区域B的概率为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】CF：几何概型．

【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积，代入几何概率的计算公式可求．

【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，

根据图形的对称性得：面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|0π=4，

由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=，

故选：D．

8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（　　）

A．    B．﹣    C．    D．﹣

【考点】LM：异面直线及其所成的角．

【分析】如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∠FEG为异面直线AC与BD所成角．

【解答】解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，

∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角．

设AB=2a，则EG=EF=a，FG==a，

∴∠FEG=60°，

∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，

故选：A．

9．已知抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，点A（0，﹣），若射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点D，且|FM|：|MD|=1：2，则点M的纵坐标为（　　）

A．﹣    B．﹣    C．﹣    D．﹣

【考点】K8：抛物线的简单性质．

【分析】作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MD|确定|KD|：|KM|的值，进而列方程求得m，再求出M的坐标

【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），

设M在准线上的射影为K，

由抛物线的定义知|MF|=|MK|，

∵|FM|：|MD|=1：2：

则|KD|：|KM|=：1，

kFD=，

kFD==

∴=，求得m=4

∴直线FM的方程为y=（x﹣1），

与y2=4x，联立方程组，解得x=3（舍去）或x=，

∴y2=，

解y=﹣或y=（舍去），

故M的坐标为（，﹣），

故选：D

10．已知函数f（x）=2cos22x﹣2，给出下列命题：

①∃β∈R，f（x+β）为奇函数；

②∃α∈（0，），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立；

③∀x1，x2∈R，若|f（x1）﹣f（x2）|=2，则|x1﹣x2|的最小值为；

④∀x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（　　）

A．①②    B．③④    C．②③    D．①④

【考点】H7：余弦函数的图象；GT：二倍角的余弦．

【分析】化简函数f（x），画出f（x）的图象，根据图象平移判断函数f（x+β）不是奇函数，判断①错误；

根据f（x）=f（x+2α）求出方程在α∈（0，）的解，判断②正确；

由|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值为=，判断③正确；

当f（x1）=f（x2）=0时，x1﹣x2=kT=，判断④错误．

【解答】解：由题意，f（x）=2cos22x﹣2=cos4x﹣1；

对于①，∵f（x）=cos4x﹣1的图象如图所示；

函数f（x+β）的图象是f（x）的图象向左或向右平移|β|个单位，

它不会是奇函数的，故①错误；

对于②，f（x）=f（x+2α），∴cos4x﹣1=cos（4x+8α）﹣1，

∴8α=2kπ，∴α=，k∈Z；

又α∈（0，），∴取α=或时，

∴f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立，②正确；

对于③，|f（x1）﹣f（x2）|=|cos4x1﹣cos4x2|=2时，

|x1﹣x2|的最小值为==，∴③正确；

对于④，当f（x1）=f（x2）=0时，

x1﹣x2=kT=k•=（k∈Z），∴④错误；

综上，真命题是②③．

故选：C．

11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）

A．27π    B．48π    C．π    D．81π

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【分析】作出几何体的直观图，确定外接球的球心位置，利用勾股定理求出外接球半径即可得出表面积．

【解答】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，棱锥的高VA=4，棱锥底面ABC是边长为6的等边三角形，

作出直观图如图所示：

∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴外接球的球心D在底面ABC的投影为△ABC的中心O，

过D作DE⊥VA于E，则E为VA的中点，

连结OA，DA，则DE=OA==2，AE=VA=2，DA为外接球的半径r，

∴r==4，

∴外接球的表面积S=4πr2=π．

故选C．

12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm﹣1=13，Sm=0，Sm+1=﹣15．其中m∈N*且m≥2，则数列{}的前n项和的最大值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】85：等差数列的前n项和．

【分析】根据求出首项和公差，得到数列的通项公式，再判断数列的前7项为正数，再根据裂项求和即可得到答案．

【解答】解：∵Sm﹣1=13，Sm=0，Sm+1=﹣15，

∴am=Sm﹣Sm﹣1=0﹣13=﹣13，am+1=Sm+1﹣Sm=﹣15﹣0=﹣15，

又∵数列{an}为等差数列，

∴公差d=am+1﹣am=﹣15﹣（﹣13）=﹣2，

∴，

解得a1=13

∴an=a1+（n﹣1）d=13﹣2（n﹣1）=15﹣2n，

当an≥0时，即n≤7.5，

当an+1≤0时，即n≥6.5，

∴数列的前7项为正数，

∴==（﹣）

∴数列{}的前n项和的最大值为（﹣+﹣+﹣+…+1﹣）=（1﹣）=．

故选：D

二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（2x﹣）6展开式中常数项为　60　（用数字作答）．

【考点】DA：二项式定理．

【分析】用二项展开式的通项公式得展开式的第r+1项，令x的指数为0得展开式的常数项．

【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项为=

令得r=4

故展开式中的常数项．

故答案为60

14．若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为　﹣3　．

【考点】7C：简单线性规划．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

A（0，3），

化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，

由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3．

故答案为：﹣3．

15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为　5040　．（用数字作答）

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．

【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．

【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，

若只有甲乙其中一人参加，有C21•C•A55=3600种情况；

若甲乙两人都参加，有C22•A63•A42=1440种情况，

则不同的安排种数为3600+1440=5040种，

故答案为：5040．

16．如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为　　．

【考点】7F：基本不等式．

【分析】连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．设∠AOD=θ．OE=2cosθ，DE=2sinθ．可得CD=2OE=4cosθ，梯形ABCD的面积S==4sinθ（1+cosθ），平方换元利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．．

【解答】解：连接OD，过C，D分别作DE⊥AB于E，CF⊥AB，垂足分别为E，F．

设∠AOD=θ．

OE=2cosθ，DE=2sinθ．

可得CD=2OE=4cosθ，

∴梯形ABCD的面积S=

=4sinθ（1+cosθ），

S2=16sin2θ（1+2cosθ+cos2θ）=16（1﹣cos2θ）（1+2cosθ+cos2θ）

令cosθ=t∈（0，1）．

则S2=16（1﹣t2）（1+2t+t2）=f（t）．

则f′（t）=﹣32（t+1）2（3t﹣1）．

可知：当且仅当t=时，f（t）取得最大值：．

因此S的最大值为：．

三、解答题（本大题共5小题，共70分）

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．

（1）求角B的大小；

（2）若b=2，求a+c的最大值．

【考点】HT：三角形中的几何计算．

【分析】（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，化简等式2bcosA=2c﹣a，可得（2cosB﹣1）sinA=0，结合sinA＞0得到cosB，从而解出B；

（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB的式子，解出12=a2+c2﹣ac．再利用基本不等式得出结论．

【解答】解：（1）∵2c﹣a=2bcosA，

∴根据正弦定理，得2sinC﹣sinA=2sinBcosA，

∵A+B=π﹣C，可得sinC=sin（A+B）=sinBcosA+cosBsinA，

∴代入上式，得2sinBcosA=2sinBcosA+2cosBsinA﹣sinA，

化简得（2cosB﹣1）sinA=0

∵A是三角形的内角可得sinA＞0，∴2cosB﹣1=0，解得cosB=，

∵B∈（0，π），∴B=；

（2）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得12=a2+c2﹣ac．

∴（a+c）2﹣3ac=12，∴12≥（a+c）2﹣ac，（当且仅当a=c=2时）

∴a+c≤4，

∴a+c的最大值为4．

18．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE．

（1）求BM的长；

（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LZ：平面与平面垂直的性质．

【分析】（1）建立坐标系，设BM=h，求出和的坐标，令=0解出h；

（2）求出平面ADM和平面BDM的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的夹角．

【解答】解：（1）设AC∩BD=O，取EF中点N，连接NO，

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵四边形BDEF是矩形，∴ON⊥BD，

∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，ON⊂平面BDEF，

∴ON⊥平面ABCD，

以O为原点，以OC，OB，ON为坐标轴建立空间坐标系如图所示：

∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，

∴OB=OD=1，OA=OC=，

∵四边形BDEF是矩形，DE=2，

∴A（﹣，0，0），B（0，1，0），C（，0，0），E（0，﹣1，2），D（0，﹣1，0），

设BM=h，则M（0，1，h），

∴=（0，2，h），=（，﹣1，2），

∵DM⊥平面ACE，∴，

∴﹣2+2h=0，解得h=1，

∴BM=1．

（2）=（，﹣1，0），=（0，2，1），

设平面ADM的法向量为=（x，y，z），则，

∴，令x=得=（，3，﹣6），

又AC⊥平面BDM，∴=（1，0，0）是平面BDM的一个法向量，

∴cos＜＞===，

∴二面角A﹣DM﹣B的余弦值为．

19．几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．

为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：

参考数据：

【考点】BO：性检验的应用．

【分析】（1）根据表中数据填写2×2列联表，计算K2，对照临界值表即可得出结论；

（2）根据题意知X的可能取值，求出对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．

【解答】解：（1）根据表中数据填写2×2列联表如下，

所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；

（2）根据题意，选出的4人中支持发展共享单车的人数为X，则X的可能取值为2，3，4；

所以P（X=2）=•=，

P（X=3）=•+•=，

P（X=4）=•=；

∴随机变量X的分布列为：

20．已知圆C：（x+1）2+y2=8，点A（1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

（2）若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON面积的最大值．

【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题；J3：轨迹方程．

【分析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可．

（2）联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进行求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．

又|CP|=|CQ|+|QP|=2，∴|CQ|+|QA|=2＞|CA|=2．

∴曲线E是以坐标原点为中心，C（﹣1，0）和A（1，0）为焦点，长轴长为2 的椭圆．

设曲线E 的方程为=1，（a＞b＞0）．

∵c=1，a=，∴b2=2﹣1=1．

∴曲线 E的方程为．

（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．

联立消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．

此时有△=16k2﹣8m2+8＞0．

由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，．

∴|MN|==

∵原点O到直线l的距离d=﹣，

∴S△MON==．，由△＞0，得2k2﹣m2+1＞0．

又m≠0，

∴据基本不等式，得S△MON=．≤=，

当且仅当m2=时，不等式取等号．

∴△MON面积的最大值为．

21．已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．

（1）若关于x的不等式f（x）≤x﹣1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；

（2）设函数g（x）=，若g（x）在[1，e2]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．

【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）由题意可知a≤﹣xlnx﹣x2在[1，+∞）上恒成立，构造辅助函数，求导根据函数的单调性及极值的判断，即可求得m（x）在[1，+∞）上单调递增，即可求得a的取值范围；

（2）g（x）==+﹣，x∈[1，e2]，若g（x）在[1，e2]上存在极值，则或，分类讨论，分别构造辅助函数，根据导数与函数的关系，即可求得a的取值范围．

【解答】解：（1）f（x）≤x﹣1，即lnx+﹣1≤x﹣1，

即a≤﹣xlnx﹣x2在[1，+∞）上恒成立，

设函数m（x）=﹣xlnx﹣x2，x≥1，

m′（x）=﹣lnx+x﹣1，设n（x）=﹣lnx+x﹣1，

n′（x）=﹣+1，由x≥1时，n′（x）≥0，

∴n（x）在[1，+∞）单调递增，且n（x）≥n（1）=0，

即m′（x）≥m′（1）=0，对x∈[1，+∞）恒成立，

∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，

当x∈[1，+∞）时，m（x）≥m（x）min=m（1）=，

∴a≤，

∴a的取值范围是（﹣∞，]；

（2）g（x）==+﹣，x∈[1，e2]，

求导g′（x）=+﹣=，

设h（x）=2x﹣xlnx﹣2a，h′（x）=2﹣（1+lnx）=1﹣lnx，

由h′（x）=0，解得：x=e，

当1≤x＜e时，h′（x）＞0，当e＜x≤e2，h′（x）＜0，

且h（1）=2﹣2a，h（e）=e﹣2a，h（e2）=﹣2a，

显然h（1）＞h（e2），

若g（x）在[1，e2]上存在极值，

则或，

当，即1＜a＜时，

则必定存在x1，x2∈[1，e2]，使得h（x1）=h（x2）=0，且1＜x1＜x1＜e2，

当x变化时，h（x），g′（x），g（x）的变化如表，

由g（x1）=+﹣=，

设φ（x）=xlnx﹣x+a，其中1＜a＜，1≤x＜e，

则φ′（x）=lnx＞0，

∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）=φ（1）=a﹣1＞0，

当且仅当x=1时，取等号；

∵1＜x1＜e，g（x1）＞0，

当1＜a＜，g（x）在[1，e2]上的极值g（x2）＞g（x1）＞0，

当，即0＜a≤1时，

则必定存在x3∈（1，e2），使得h（x3）=0，

易知g（x）在（1，x3）上单调递增，在（x3，e2]上单调递减，

此时，g（x）在[1，e2]上的极大值时g（x3），即g（x3）＞g（e2）=＞0，

当0＜a≤1时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，

综上可知：当0＜a＜时，g（x）在[1，e2]上存在极值，且极值都为正数，

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

22．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．

（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．

【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，利用互化公式化为直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），相减消去参数t化为普通方程．

（2）曲线C经过伸缩变换φ：，即，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′：=1．设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d==，即可得出最小值．

【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，化为直角坐标方程：x2+y2=4．

直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=x+3．

（2）曲线C经过伸缩变换φ：，即，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′：=1．

若M（x，y）为曲线C′上任意一点，设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d==≥=，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号．

因此最小距离为：．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．

（1）当a=1时，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；

（2）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．

【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．

【分析】（1）将a=1代入f（x），通过讨论x的范围求出各个区间上的x的范围，取并集即可；

（2）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．

【解答】解：（1）a=1时，|x﹣1|+|2x﹣5|≥6，

x≤1时：1﹣x﹣2x+5≥6，解得：x≤0，∴x≤0，

1＜x＜2.5时：x﹣1﹣2x+5≥6，解得：x≤﹣1，不成立；

x≥2.5时：x﹣1+2x﹣5≥6，解得：x≥4，∴x≥4，

故不等式的解集是{x|x≥4或x≤0}；

（2）g（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，

a≥3时：g（x）=，

∴3﹣a≤g（x）≤a﹣3，

∵[﹣1，2]⊆A，∴，解得a≥5；

a＜3时，a﹣3≤g（x）≤3﹣a，

∴，解得：a≤1；

综上：a≤1或a≥5．

2017年6月8日下载本文