——晶胞的结构及相关计算

一：晶胞的结构基础知识

1．常见原子晶体结构分析

(1)金属晶体的四种堆积模型分析

空间利用率＝×100%，球体积为金属原子的总体积。

①简单立方堆积

如图所示，原子的半径为r，立方体的棱长为2r，则V球＝πr3，V晶胞＝(2r)3＝8r3，空间利用率＝×100%＝×100%≈52%。

②体心立方堆积

如图所示，原子的半径为r，体对角线c为4r，面对角线b为a，由(4r)2＝a2＋b2得a＝

r。1个晶胞中有2个原子，故空间利用率＝×100%＝×100%＝×100%≈68%。

③六方最密堆积

如图所示，原子的半径为r，底面为菱形(棱长为2r，其中一个角为60°)，则底面面积S＝2r×r＝2r2，h＝r，V晶胞＝S×2h＝2r2×2×r＝8r3,1个晶胞中有2个原子，则空间利用率＝×100%＝×100%≈74%。

④面心立方最密堆积

如图所示，原子的半径为r，面对角线为4r，a＝2r，V晶胞＝a3＝(2r)3＝16r3,1个晶胞中有4个原子，则空间利用率＝×100%＝×100%≈74%。

(3)晶体微粒与M、ρ之间的关系

若1个晶胞中含有x个微粒，则1 mol该晶胞中含有x mol 微粒，其质量为xM g(M为微粒的相对分子质量)；若该晶胞的质量为ρa3 g(a3为晶胞的体积)，则1 mol晶胞的质量为ρa3NA g，因此有xM＝ρa3NA。

4．常见离子晶体结构分析

(1)典型离子晶体模型

①定义：气态离子形成1摩离子晶体释放的能量。晶格能是反映离子晶体稳定性的数据，可以用来衡量离子键的强弱，晶格能越大，离子键越强。

②影响因素：晶格能的大小与阴阳离子所带电荷、阴阳离子间的距离、离子晶体的结构类型有关。离子所带电荷越多，半径越小，晶格能越大。

③对离子晶体性质的影响：晶格能越大，形成的离子晶体越稳定，而且熔点越高，硬度越大。

二：晶胞结构的相关计算

1．[2019·全国卷Ⅰ，35(4)]图(a)是MgCu2的拉维斯结构，Mg以金刚石方式堆积，八面体空隙和半数的四面体空隙中，填入以四面体方式排列的Cu。图(b)是沿立方格子对角面取得的截图。可见，Cu原子之间最短距离x＝________pm，Mg原子之间最短距离y＝________pm。设阿伏加德罗常数的值为NA，则MgCu2的密度是________g·cm－3(列出计算表达式)。

答案　a　a　

解析　观察图(a)和图(b)知，4个铜原子相切并与面对角线平行，有(4x)2＝2a2，x＝a。镁原子堆积方式类似金刚石，有y＝a。已知1 cm＝1010 pm，晶胞体积为(a×10－10)3 cm3，代入密度公式计算即可。

2．[2019·全国卷Ⅱ，35(4)]一种四方结构的超导化合物的晶胞如图1所示。晶胞中Sm和As原子的投影位置如图2所示。图中F－和O2－共同占据晶胞的上下底面位置，若两者的比例依次用x和1－x代表，则该化合物的化学式表示为________；通过测定密度ρ和晶胞参数，可以计算该物质的x值，完成它们关系表达式：ρ＝________g·cm－3。以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称作原子分数坐标，例如图1中原子1的坐标为，则原子2和3的坐标分别为________、________。

答案　SmFeAsO1－xFx　 　　

解析　由晶胞结构中各原子所在位置可知，该晶胞中Sm的原子个数为4×＝2，Fe的原子个数为1＋4×＝2，As的原子个数为4×＝2，O或F的原子个数为8×＋2×＝2，即该晶胞中O和F的个数之和为2，F－的比例为x，O2－的比例为1－x，故该化合物的化学式为SmFeAsO1－xFx。1个晶胞的质量为g＝g，1个晶胞的体积为a2c pm3＝a2c×10－30cm3，故密度ρ＝g·cm－3。原子2位于底面面心，其坐标为；原子3位于棱上，其坐标为。

3．[2018·全国卷Ⅰ，35(4)(5)](4)Li2O是离子晶体，其晶格能可通过图(a)的Born­Haber循环计算得到。

可知，Li原子的第一电离能为________kJ·mol－1，O==O键键能为________kJ·mol－1，Li2O晶格能为________kJ·mol－1。

(5)Li2O具有反萤石结构，晶胞如图(b)所示。已知晶胞参数为0.466 5 nm，阿伏加德罗常数的值为NA，则Li2O的密度为____________________________________g·cm－3(列出计算式)。

答案　(4)520　498　2 908　(5)

解析　(4)由题给信息可知，2 mol Li(g)变为2 mol Li＋(g)吸收1 040 kJ热量，因此Li原子的第一电离能为520 kJ·mol－1；0.5 mol氧气生成1 mol氧原子吸收249 kJ热量，因此O==O键的键能为498 kJ·mol－1；Li2O的晶格能为2 908 kJ·mol－1。(5)由题给图示可知，Li位于晶胞内部，O位于顶点和面心，因此一个晶胞有8个Li，O原子个数＝6×＋8×＝4。因此一个Li2O晶胞的质量为 g，一个晶胞的体积为(0.466 5×10－7)3 cm3，即该晶体的密度为 g·cm－3。

4．[2018·全国卷Ⅱ，35(5)]FeS2晶体的晶胞如图(c)所示。晶胞边长为a nm、FeS2相对式量为M、阿伏加德罗常数的值为NA，其晶体密度的计算表达式为______________________g·cm－3；晶胞中Fe2＋位于S所形成的正八面体的体心，该正八面体的边长为________nm。

答案　×1021　a

解析　分析晶胞结构可知，Fe2＋位于棱心和体心，S位于顶点和面心，因此每个晶胞中含有的Fe2＋个数为12×＋1＝4，每个晶胞中含有的S个数为6×＋8×＝4，即每个晶胞中含有4个FeS2。一个晶胞的质量＝ g，晶胞的体积＝(a×10－7)3 cm3，该晶体的密度＝ g·cm－3＝×1021 g·cm－3。正八面体的边长即为两个面心点的距离，因此正八面体的边长为a nm。

5．[2018·全国卷Ⅲ，35(5)]金属Zn晶体中的原子堆积方式如图所示，这种堆积方式称为__________________。六棱柱底边边长为a cm，高为c cm，阿伏加德罗常数的值为NA，Zn的密度为________g·cm－3(列出计算式)。

答案　六方最密堆积(A3型)　

解析　金属Zn晶体为六方最密堆积方式(A3型)。六棱柱底边边长为a cm，则六棱柱上下面的面积均为6×a2 cm2，则六棱柱的体积为6×a2c cm3，锌原子在六棱柱的顶点、上下面心和晶胞内，一个晶胞含锌原子个数为12×＋2×＋3＝6，因此一个晶胞中Zn的质量＝ g，由此可知，Zn的密度为g·cm－3。

6．[2017·全国卷Ⅰ，35(4)(5)](4)KIO3晶体是一种性能良好的非线性光学材料，具有钙钛矿型的立体结构，边长为a＝0.446 nm，晶胞中K、I、O分别处于顶角、体心、面心位置，如图所示。K与O间的最短距离为________ nm，与K紧邻的O个数为________。

(5)在KIO3晶胞结构的另一种表示中，I处于各顶角位置，则K处于________位置，O处于________位置。

答案　(4)0.315(或×0.446)　12　(5)体心　棱心

解析　(4)根据晶胞结构可知，K与O间的最短距离为面对角线的一半，即nm≈

0.315 nm。K、O构成面心立方，配位数为12(同层4个，上、下层各4 个)。(5)由(4)可知K、I的最短距离为体对角线的一半，I处于顶角，K处于体心，I、O之间的最短距离为边长的一半，I处于顶角，O处于棱心。

7．[2017·全国卷Ⅱ，35(4)]R的晶体密度为d g·cm－3，其立方晶胞参数为a nm，晶胞中含有y个[(N5)6(H3O)3(NH4)4Cl]单元，该单元的相对质量为M，则y的计算表达式为____________。

答案　(或×10－21)

解析　根据密度的定义：d＝ g·cm－3，解得y＝＝(或×10－21)。

8．[2017·全国卷Ⅲ，35(5)]MgO具有NaCl型结构(如图)，其中阴离子采用面心立方最密堆积方式，X射线衍射实验测得MgO的晶胞参数为a＝0.420 nm，则r(O2－)为________nm。MnO也属于NaCl型结构，晶胞参数为a′＝0.448 nm，则r(Mn2＋)为________nm。

答案　0.148　 0.076

解析　由题意知在MgO中，阴离子采用面心立方最密堆积方式，氧离子沿晶胞的面对角线方向接触，所以a＝2r(O2－)，r(O2－)≈0.148 nm；MnO的晶胞参数比MgO更大，说明阴离子之间不再接触，阴、阳离子沿坐标轴方向接触，故2[r(Mn2＋)＋r(O2－)]＝a′，r(Mn2＋)＝0.076 nm。

9．Cr和Ca可以形成某种具有特殊导电性的复合氧化物，晶胞结构如图所示。该晶体的化学式为________________________________________________________________________，

若Ca与O的核间距离为x nm，则该晶体的密度为__________g·cm－3。

答案　CaCrO3　

解析　根据晶胞结构图和均摊法可知，晶胞中O原子数为×6＝3，Ca原子数为×8＝1，Cr原子数为1，则化学式为CaCrO3；设晶胞的边长为a cm，由于Ca与O的核间距离为x nm，则2a2＝4x2×10－14，所以a＝x×10－7，CaCrO3的相对分子质量为：140，因此一个晶胞的质量m＝ g，而晶胞的体积V＝(x×10－7)3 cm3，所以该晶体的密度ρ＝＝＝g·cm－3。

10．铜镍合金的立方晶胞结构如图所示，其中原子A的坐标参数为(0,1,0)。

(1)原子B的坐标参数为____________；

(2)若该晶体密度为d g·cm－3，则铜镍原子间最短距离为________pm。

答案　(1)　(2)× ×1010

解析　(1)根据A点的坐标，可以判断晶胞底面的面心上的原子B的坐标参数为。

(2)处于面对角线上的Ni、Cu原子之间距离最近，设二者之间距离为a pm，晶胞面对角线长度等于Ni、Cu原子距离的2倍，而面对角线长度等于晶胞棱长的倍，故晶胞棱长＝

2a pm×＝a pm，晶胞质量＝g，故(a×10－10cm)3×d g·cm－3＝g，解得a＝× ×1010。

11．石墨是一种混合型晶体，具有多种晶体结构，其一种晶胞的结构如图所示。该晶胞中的碳原子有______________种原子坐标；若该晶胞底面边长为a pm，高为c pm，则石墨晶体中碳碳键的键长为______________pm，密度为___________g·cm－3(设阿伏加德罗常数的值为NA)。

答案　4　　×1030

解析　每个石墨晶胞有碳原子8×＋4×＋2×＋1＝4个，则有4种原子坐标；

晶胞底面图，设碳碳键的键长为x pm，则x2＝()2＋()2，解得x＝；

晶胞底面的高为 pm＝ pm，一个晶胞体积＝(a×10－10)××(c×10－10)cm3，

一个晶胞质量为×12 g，故石墨晶体密度为×1030 g·cm－3。

12．奥氏体是碳溶解在γ­Fe中形成的一种间隙固溶体，无磁性，其晶胞为面心立方结构，如图所示，则该物质的化学式为______________________。若晶体密度为d g·cm－3，则晶胞中最近的两个碳原子的距离为__________pm(阿伏加德罗常数的值用NA表示，写出简化后的计算式即可)。

答案　FeC(或Fe4C4)　××1010

解析　根据晶胞结构可知，晶胞中铁原子个数为8×＋6×＝4，碳原子个数为1＋12×＝4，因此该物质的化学式为FeC(或Fe4C4)；晶胞中最近的两个碳原子之间的距离为面对角线的一半，晶胞的边长为＝cm，则面对角线为cm×，所以晶胞中最近的碳原子之间的距离为＝××1010pm。

13．CaF2的晶胞为立方晶胞，结构如下图所示：

(1)CaF2晶胞中，Ca2＋的配位数为__________。

(2)“原子坐标参数”可表示晶胞内部各原子的相对位置，已知A、B两点的原子坐标参数如图所示，则C点的“原子坐标参数”为(____________，____________，)

(3)晶胞中两个F－的最近距离为273.1 pm，用NA表示阿伏加德罗常数的值，则晶胞的密度为__________g·cm－3(列出计算式即可)。

答案　(1)8　(2)　　(3)

解析　(1)以面心Ca2＋为研究对象，在一个晶胞中连接4个F－，通过该Ca2＋可形成2个晶胞，所以与该Ca2＋距离相等且最近的F－共有8个，因此Ca2＋的配位数是8。

(2)观察A、B、C的相对位置，可知C点的x轴坐标是，y轴坐标是，z轴坐标是。

(3)根据晶胞结构可知，在一个晶胞中含有Ca2＋：×8＋×6＝4，含有F－：1×8＝8，即一个晶胞中含有4个CaF2，根据C点的坐标可知：晶胞中F－之间的距离为晶胞边长的一半，所以晶胞参数L＝2×273.1 pm＝546.2 pm，则该晶胞的密度为

ρ＝＝＝ g·cm－3。下载本文