一、选择题
1．（3分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．0 B．﹣ C． D．
2．（3分）一块正方形的瓷砖边长为cm，它的边长大约在（ ）
A．4cm﹣5cm之间 B．5cm﹣6cm之间
C．6cm﹣7cm之间 D．7cm﹣8cm之间
3．（3分）已知点P（a﹣3，a+2）在x轴上，则a＝（ ）
A．﹣2 B．3 C．﹣5 D．5
4．（3分）下列化简正确的是（ ）
A．＝4 B．＝﹣2020
C．＝ D．﹣＝
5．（3分）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为16cm，现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（ ）
A．6cm B．5cm C．9cm D．25﹣2cm
6．（3分）若直线y＝2x﹣1经过点A（﹣2，m），B（1，n），则m，n的大小关系正确的是（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
7．（3分）下列说法中，错误的是（ ）
A．在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5．则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若三边长a，b，c满足a：b：c＝1：2：，则△ABC是直角三角形
8．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx﹣k图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝8cm，BC＝4cm，BF＝6cm，点M在棱AB上，且AM＝2cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．10cm B．4cm C．6cm D．2 cm
10．（3分）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲园的门票费用是60元
B．草莓优惠前的销售价格是40元/千克
C．乙园超过5千克后，超过的部分价格优惠是打五折
D．若顾客采摘15千克草莓，那么到甲园比到乙园采摘更实惠
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少飞行 米．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，点A，B在数轴上对应的数分别为1，2．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数是 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC＝AB且AC⊥AB于点A，则OC所在直线的关系式是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+12与y、x轴分别相交于A、B两点，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴负半轴上的点A′处，折痕所在直线交y轴正半轴于点C．把直线AB向左平移，使之经过点C，则平移后直线的函数关系式是 ．
三.解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）计算：
（1）﹣；
（2）（+）（3﹣2）﹣（﹣）2．
17．（8分）如表是某摩托车厂预计2021年2﹣4月摩托车各月产量：
| x（月） | 2 | 3 | 4 |
| y（辆） | 550 | 600 | 650 |
（2）按照此趋势，你能预测该摩托车厂2021年5月摩托车月产量吗？
（3）按照此趋势，在2021年，是否存在某月月产量是725辆？说明理由．
18．（8分）老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积．老李测量了草坪各边得知：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．
19．（9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）△ABC和△A1B1C1关于y轴轴对称，画出△A1B1C1的图形；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P点是x轴上一动点，当△BCP周长的最小时，直接写出△BCP周长的最小值为 ．
20．（9分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年6月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：＝＝＝7，＝＝＝7，不难发现，结果都是7．
（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；
（2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明．
21．（9分）为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
22．（12分）小颖根据学习函数的经验，对函数y＝|x﹣1|+1进行探讨．
| x | … | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| y | … | 4 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
（2）在平面直角型标系中画出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）由图象可知，函数y＝|x﹣1|+1的最小值是 ；
（4）由图象可知，当y≤4时，x的取值范围是 ．
23．（12分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝12．点P从B点出发沿射线BC以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接AP．
（1）如图1，当t＝3秒时，求AP的长度；
（2）如图1，点P在线段BC上，当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）如图2，点D是边AC上的一点，CD＝3．请直接写出在点P的运动过程中，当t的值是多少时，PD平分∠APC？
参
一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．0 B．﹣ C． D．
解：A、0是有理数中的整数，故此选项不符合题意；
B、﹣是有理数中的分数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、＝2，2是有理数，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）一块正方形的瓷砖边长为cm，它的边长大约在（ ）
A．4cm﹣5cm之间 B．5cm﹣6cm之间
C．6cm﹣7cm之间 D．7cm﹣8cm之间
解：∵49＜55＜，
∴7＜8，
故选：D．
3．（3分）已知点P（a﹣3，a+2）在x轴上，则a＝（ ）
A．﹣2 B．3 C．﹣5 D．5
解：∵点P（a﹣3，a+2）在x轴上，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2．
故选：A．
4．（3分）下列化简正确的是（ ）
A．＝4 B．＝﹣2020
C．＝ D．﹣＝
解：A、＝2，故此选项错误；
B、＝2020，故此选项错误；
C、＝，正确；
D、﹣＝2﹣＝，故此选项错误；
故选：C．
5．（3分）如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为6cm，高为16cm，现有一根长为25cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是（ ）
A．6cm B．5cm C．9cm D．25﹣2cm
解：∵底面半径为半径为6cm，高为16cm，
∴吸管露在杯口外的长度最少为：25﹣＝25﹣20＝5（厘米）．
故选：B．
6．（3分）若直线y＝2x﹣1经过点A（﹣2，m），B（1，n），则m，n的大小关系正确的是（ ）
A．m＜n B．m＞n C．m＝n D．无法确定
解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵﹣2＜1，
∴m＜n．
故选：A．
7．（3分）下列说法中，错误的是（ ）
A．在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5．则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若三边长a，b，c满足a：b：c＝1：2：，则△ABC是直角三角形
解：A、在△ABC中，若∠C＝∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形，可得∠A＝180°÷（1++）＝90°，是直角三角形，不符合题意；
B、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得∠C＝180°×＝75°，不是直角三角形，符合题意；
C、在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则∠B＝90°，则△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、12+（）2＝22，是直角三角形，不符合题意．
故选：B．
8．（3分）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx﹣k图象是（ ）
A． B．
C． D．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴b＞0，﹣k＞0，
∴一次函数y＝bx﹣k图象第一、二、三象限，
故选：B．
9．（3分）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝8cm，BC＝4cm，BF＝6cm，点M在棱AB上，且AM＝2cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ）
A．10cm B．4cm C．6cm D．2 cm
解：如图1中，MN＝＝＝2（cm），
如图2中，MN＝＝＝10（cm），
如图3中，MN＝＝＝10（cm），
∵10＜2
∴一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为10cm，
故选：A．
10．（3分）甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为x千克，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．甲园的门票费用是60元
B．草莓优惠前的销售价格是40元/千克
C．乙园超过5千克后，超过的部分价格优惠是打五折
D．若顾客采摘15千克草莓，那么到甲园比到乙园采摘更实惠
解：由图象可得，
甲园的门票费用是60元，故选项A正确；
草莓优惠前的销售价格是200÷5＝40（元/千克），故选项B正确；
乙园超过5千克后，超过的部分价格优惠是打＝5折，故选项C正确；
若顾客采摘15千克草莓，那么到乙园比到甲园采摘更实惠，故选项D错误；
故选：D．
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ 5 ．
解：∵52＝25，
∴＝5．
故答案为：5．
12．（3分）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少飞行 10 米．
解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，
则EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（m），
在Rt△AEC中，AC＝＝10（m），
答：小鸟至少飞行10米．
故答案为：10．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，点A，B在数轴上对应的数分别为1，2．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数是 ﹣ ．
解：∵在Rt△ABC中，BC＝1，AB＝1，
∴AC＝．
∵以A为圆心，以AC为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，
∴AD＝AC＝，
∴点D表示的实数是﹣．
故答案为：﹣．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC＝AB且AC⊥AB于点A，则OC所在直线的关系式是 y＝x ．
解：作CE⊥x轴于E．
∵∠AOB＝∠BAC＝∠AEC＝90°，
∴∠OAB+∠CAE＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝∠CAE，
又∵AB＝AC，
∴△AOB≌△CEA（AAS），
∴OA＝EC，OB＝AE，
∵A（2，0），B（0，1），
∴OB＝1，OA＝2，
∴AE＝OB＝1，EC＝OA＝2，OE＝OA+AE＝2+1＝3，
∴C（3，2）．
设直线OC的解析式为y＝kx，将点C坐标代入得，
3k＝2，
解得k＝．
∴y＝．
故答案为：y＝x．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+12与y、x轴分别相交于A、B两点，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴负半轴上的点A′处，折痕所在直线交y轴正半轴于点C．把直线AB向左平移，使之经过点C，则平移后直线的函数关系式是 y＝﹣x+ ．
解：∵直线y＝﹣x+12与y、x轴分别相交于A、B两点，
∴点A（0，12），B（5，0），
∴OA＝12，OB＝5，
∵∠AOB＝∠A′OC＝90°，
∴AB＝＝＝13，
由折叠的性质得：A′B＝AB＝13，∠OA′C＝∠BAO，
∴OA′＝A′B﹣OB＝8，△OA′C∽△OAB，
∴A′（﹣8，0），，
即＝，
∴OC＝，
∴C（0，），
∴平移后的直线的解析式为y＝﹣x+，
故答案为y＝﹣x+．
三.解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）计算：
（1）﹣；
（2）（+）（3﹣2）﹣（﹣）2．
解：（1）﹣
＝+2
＝10+2；
（2）（+）（3﹣2）﹣（﹣）2
＝（3+2）（3﹣2）﹣（﹣）2
＝（3）2﹣（2）2﹣（3﹣2+2）
＝18﹣12﹣5+2
＝1+2．
17．（8分）如表是某摩托车厂预计2021年2﹣4月摩托车各月产量：
| x（月） | 2 | 3 | 4 |
| y（辆） | 550 | 600 | 650 |
（2）按照此趋势，你能预测该摩托车厂2021年5月摩托车月产量吗？
（3）按照此趋势，在2021年，是否存在某月月产量是725辆？说明理由．
解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
，
解得，
即y（辆）与x（月）之间的函数表达式y＝50x+450；
（2）当x＝5时，y＝50×5+450＝700，
即该摩托车厂2021年5月摩托车月产量700辆；
（3）不存在某月月产量是725辆，
理由：令725＝50x+450，解得x＝5.5，
∵x为整数，
∴不存在某月月产量是725辆．
18．（8分）老李家有一块草坪如图所示，家里想整理它，需要知道其面积．老李测量了草坪各边得知：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们帮老李家计算一下这块草坪的面积．
解：连接AC，如图，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝3米，BC＝4米，
∴AC＝5米，
∵CD＝12米，DA＝13米，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴这块草坪的面积＝S△ABC+S△ACD＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36（米2）．
19．（9分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．
（1）△ABC和△A1B1C1关于y轴轴对称，画出△A1B1C1的图形；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P点是x轴上一动点，当△BCP周长的最小时，直接写出△BCP周长的最小值为 + ．
解：（1）如图所示：
（2）△ABC的面积：2×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×1×1＝2；
（3）如图所示：△BCP周长的最小值：，
故答案为：．
20．（9分）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年6月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算：＝＝＝7，＝＝＝7，不难发现，结果都是7．
（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；
（2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明．
【解答】（1）解：答案不唯一，如：
＝
＝
＝7；
（2）证明：设中间那个数为n，则：
∵
＝
＝
＝
＝7，
∴＝7．
21．（9分）为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
解：（1）村庄能否听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，
∴村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，
∴BP＝BQ＝米，
∴PQ＝1600米，
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，
∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
22．（12分）小颖根据学习函数的经验，对函数y＝|x﹣1|+1进行探讨．
| x | … | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
| y | … | 4 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
（2）在平面直角型标系中画出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）由图象可知，函数y＝|x﹣1|+1的最小值是 1 ；
（4）由图象可知，当y≤4时，x的取值范围是 ﹣2≤x≤4 ．
解：（1）把y＝6代入＝|x﹣1|+1，得6＝|x﹣1|+1，
解得x＝﹣4或6，
∵A（﹣4，6），B（6，6）为该函数图象上不同的两点，
∴a＝﹣4，b＝6，
∴a+b＝2．
故答案为2；
（2）该函数的图象如图：
（3）该函数的最小值为1；
故答案为1；
（4）∵y＝4时，则4＝|x﹣1|+1，
解得，x＝﹣2或x＝4，
由图象可知，当y≤4时，x的取值范围是﹣2≤x≤4．
故答案为﹣2≤x≤4．
23．（12分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝12．点P从B点出发沿射线BC以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t，连接AP．
（1）如图1，当t＝3秒时，求AP的长度；
（2）如图1，点P在线段BC上，当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
（3）如图2，点D是边AC上的一点，CD＝3．请直接写出在点P的运动过程中，当t的值是多少时，PD平分∠APC？
解：（1）由题意得：BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝12﹣2t，
当t＝3秒时，PC＝12﹣2×3＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AP＝＝＝10；
（2）点P在线段BC上，当△ABP为等腰三角形时，PA＝PB＝2t，
则PC＝12﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（12﹣2t）2＝（2t）2，
解得：t＝，
即点P在线段BC上，当△ABP为等腰三角形时，t的值为秒；
（3）分两种情况：
①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∵PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝12﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝＝＝4，
∴AP＝AE+PE＝16﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（12﹣2t）2＝（16﹣2t）2，
解得：t＝3；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图3所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣12，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝＝＝4，
∴AP＝AE+PE＝2t﹣8，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣12）2＝（2t﹣8）2，
解得：t＝9；
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为3秒或9秒时，PD平分∠APC．
