一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，满分24分。在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项)

1. 8的相反数是    (　　)

A.            B.8            C.－            D.－8

2. 某个立体图形的侧面展开图如图所示，它的底面是正三角形，那么这个立体图形是    (　　)

A.圆柱        B.圆锥        C.三棱柱    D.四棱柱

3. 下列运算结果正确的是    (　　)

A.a+2a=3a        B.a5÷a=a5        C.a2·a3=a6        D.(a4)3=a7

4. 某村通过直播带货对产出的稻虾米进行线上销售，连续7天的销量(单位：袋)分别为105，103，105，110，108，105，108，这组数据的众数和中位数分别是　    (　　)

A.105，108        B.105，105        C.108，105        D.108，108

5. 如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是    (　　)

A.30°        B.40°        C.50°        D.60°

6. 下列命题是真命题的是    (　　)

A.对顶角相等

B.平行四边形的对角线互相垂直

C.三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点

D.三角分别相等的两个三角形是全等三角形

7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？在这个问题中，城中人家的户数为    (　　)

A.25        B.75        C.81        D.90

8. 已知二次函数y=mx2－4m2x－3(m为常数，m≠0)，点P(xP，yP)是该函数图象上一点，当0≤xP≤4时，yP≤－3，则m的取值范围是    (　　)

A.m≥1或m<0        B.m≥1        C.m≤－1或m>0            D.m≤－1

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，满分32分)

9. 要使有意义，则x的取值范围是　　　　. 

10. 2022年5月14日，编号为B－001J的C919大飞机首飞成功。数据显示，C919大飞机的单价约为653 000 000元，数据653 000 000用科学记数法表示为　　　　. 

11. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若BC=6，则CD=　　　　. 

12. 分式方程=2的解为x=　　　　. 

13. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　　　　. 

14. 聚焦“双减”落地，凸显寒假作业特色。某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：A(节日文化篇)，B(安全防疫篇)，C(劳动实践篇)，D(冬奥运动篇)。下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则B类作业有　　　　份。 

15.( 4分)喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟。丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛。如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB=200米，则点P到赛道AB的距离约为　　　　米(结果保留整数，参考数据：≈1.732). 

16.( 4分)如图，在☉O中，AB为直径，AB=8，BD为弦，过点A的切线与BD的延长线交于点C，E为线段BD上一点(不与点B重合)，且OE=DE.

的长为　　　　(结果保留π)； 

(2)若AC=6，则=　　　　. 

三、解答题(本大题共8小题，满分分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.( 6分)计算：|－3|－2tan 45°+(－1)2 022－(－π)0.

18.( 6分)已知a2－2a+1=0，求代数式a(a－4)+(a+1)(a－1)+1的值。

19.( 8分)如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF。请从以下三个条件：①∠1=∠2；②DE=DF；③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形。

(1)你添加的条件是　　　　(填序号)； 

(2)添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形。

20.( 8分)守护好一江碧水，打造长江最美岸线.江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”的新名片。某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同。

(1)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为　　　　； 

(2)将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率。

21.( 8分)如图，反比例函数y=(k≠0)与正比例函数y=mx(m≠0)的图象交于点A(－1，2)和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接AC，BC.

(1)求该反比例函数的解析式；

(2)求△ABC的面积；

(3)请结合函数图象，直接写出不等式22.( 8分)为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干。若购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需300元。

(1)求A，B两种跳绳的单价各是多少元；

(2)若该班准备购买A，B两种跳绳共46根，总费用不超过1 780元，那么至多可以购买B种跳绳多少根？

23.( 10分)如图，△ABC和△DBE的顶点B重合，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠BDE=30°，BC=3，BE=2.

(1)特例发现：如图1，当点D，E分别在AB，BC上时，可以得出结论：=　　　　，直线AD与直线CE的位置关系是　　　　； 

(2)探究证明：如图2，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接EC，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展运用：如图3，将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转α(19°<α<60°)，连接AD、EC，它们的延长线交于点F，当DF=BE时，求tan(60°－α)的值。

图1　　　　　        图2                图3

24.( 10分)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A(－3，0)和点B(1，0)。

(1)求抛物线F1的解析式；

(2)如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；

(3)如图3，将(2)中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点(点C在点D的左侧)。

①求点C和点D的坐标；

②若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点(点M，N与点C，D不重合)，试求四边形CMDN面积的最大值。

图1                    图2　　　　　　        　图3

2022年湖南岳阳中考数学

（参）

2.C　由题图可知，这个立体图形是三棱柱，故选C.

3.A　选项A中，a+2a=3a，故本选项正确；

选项B中，a5÷a=a4，故本选项错误；

选项C中，a2·a3=a5，故本选项错误；

选项D中，=a12，故本选项错误.

故选A.

4.B　将数据105，103，105，110，108，105，108按从小到大的顺序排列为103，105，105，105，108，108，110，最中间的数据(第4个数据)为105，所以这组数据的中位数为105.因为105出现的次数最多，所以这组数据的众数为105.故选B.

5.C　如图，∵CD⊥l，∴∠CDE=90°，

∴∠CED=180°－∠CDE－∠C=180°－90°－40°=50°.

∵l∥AB，∴∠1=∠CED=50°.

故选C.

6.A　选项A中，对顶角相等，故本选项正确；

选项B中，平行四边形的对角线互相平分，故本选项错误；

选项C中，三角形的内心是它的三个内角的平分线的交点，故本选项错误；

选项D中，三角分别相等的两个三角形是相似三角形，不一定是全等三角形，故本选项错误.

故选A.

7.B　设城中有x户人家，依题意，得x+x=100，

解得x=75.故选B.

8.A　∵y=mx2－4m2x－3=m(x－2m)2－4m3－3，

∴二次函数y=mx2－4m2x－3(m为常数，m≠0)的图象的对称轴为直线x=2m.

①当m<0时，2m<0，∴图象的开口向下，对称轴在y轴左侧，

∴当0≤xP≤4时，yP随xP的增大而减小.

又当xP=0时，yP=－3，

∴当0≤xP≤4时，yP≤－3，

∴m<0.

②当m>0时，2m>0，∴图象的开口向上，对称轴在y轴右侧，

∴当0≤xP≤4时，yP随xP的增大而减小或yP随xP的增大先减小后增大.

当xP=0时，yP=－3；

当xP=4时，yP=16m－16m2－3≤－3，∴m≤0或m≥1，(利用一元二次方程的解法可得16m－16m2－3=－3的解为m1=0，m2=1，利用相应函数图象可得16m－16m2－3≤－3的解集为m≤0或m≥1)

∴m≥1.

综上，m<0或m≥1.

故选A.

9.答案　x≥1

解析　∵有意义，∴x－1≥0，∴x≥1.

10.答案　6.53×108

解析　653 000 000=6.53×108.

11.答案　3

解析　∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD=BC=×6=3.

12.答案　2

解析　=2.

方程两边同乘x+1，得3x=2(x+1).

解这个整式方程得x=2.

检验：当x=2时，x+1=3≠0，

所以x=2是原分式方程的解.

13.答案　m<1

解析　∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，

∴Δ=22－4×1×m>0，解得m<1，

∴实数m的取值范围是m<1.

14.答案　20

解析　由统计图可知，C类作业有30份，占作业总份数的30%，

∴作业的总份数为30÷30%=100(份)，

∴B类作业的份数为100－25－30－25=20(份).

15.答案　87

解析　如图，过点P作PH⊥AB于点H，则∠APH=30°，∠BPH=60°.

设AH=x米，则在Rt△APH中，PH===x(米)，

在Rt△PBH中，BH=PH·tan 60°=x·=3x(米).

∵AB=AH+BH，∴x+3x=200，∴x=50，

∴PH=x=50≈50×1.732=86.6≈87(米).

16.答案　(1) (2)

解析　(1)∵AB=8，∴OA=OB=AB=4.

∵∠B=35°，∴∠AOD=2∠B=70°，

的长==.

(2)如图，连接AD，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC.

∵AC与圆O相切，

∴∠BAC=90°.

∵AB=8，AC=6，

∴BC===10，

∴AD===4.8，

∴BD===6.4.

∵OE=DE，OB=OD，

∴∠EOD=∠EDO，∠B=∠BDO，

∴∠EOD=∠B，又∠EDO=∠BDO，

∴△EOD∽△OBD，

∴=，即=，

∴OE=2.5，

∴DE=OE=2.5，

∴BE=BD－DE=6.4－2.5=3.9，

∴==.

17.解析　原式=3－2×1+1－1=1.

18.解析　∵a2－2a+1=0，∴a2－2a=－1，

∴a(a－4)+(a+1)(a－1)+1

=a2－4a+a2－1+1

=2a2－4a

=2(a2－2a)

=2×(－1)

=－2.

19.解析　解法一：(1)①.

(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C.

在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF(AAS)，

∴AD=CD，

∴四边形ABCD是菱形.

解法二：(1)③.

(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A=∠C.

在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF(ASA)，

∴AD=CD，

∴四边形ABCD是菱形.

20.

解析　(1).

(2)根据题意，列表如下：

　　第一次

21.

解析　(1)∵反比例函数y=(k≠0)的图象过点A(－1，2)，

∴2=，∴k=－2，

∴反比例函数的解析式为y=－.

(2)∵正比例函数y=mx(m≠0)的图象过点A(－1，2)，

∴2=－m，∴m=－2，

∴正比例函数的表达式为y=－2x.

联立，得解得或

∴点B的坐标为(1，－2).

∵点A(－1，2)与点C关于y轴对称，

∴点C的坐标为(1，2).

由点A，B，C的坐标可知AC∥x轴，BC∥y轴，

∴AC⊥BC，

∴S△ABC=AC·BC=×2×4=4.

(3)由图象可知，不等式22.

解析　(1)设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元.

根据题意，得

解得

答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为50元.

(2)设购买B种跳绳a根，则购买A种跳绳(46－a)根，

根据题意，得50a+30(46－a)≤1 780，

解得a≤20，

∴至多可以购买B种跳绳20根.

23.

解析　(1)；垂直.

提示：∵∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠BDE=30°，BC=3，BE=2，

∴∠BCA=∠BED=60°，

∴AB=BC×tan∠BCA=3×tan 60°=3×=3，

BD=BE×tan∠BED=2×tan 60°=2×=2.

当点D，E分别在AB，BC上时，AD=AB－BD=3－2=，EC=BC－BE=3－2=1，

∴==.

当点D，E分别在AB，BC上时，直线AD与直线CE的位置关系即直线AB与直线CB的位置关系，是垂直.

(2)(1)中的结论仍然成立.

证明：∵∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE，

∴∠ABD=∠CBE.

在△BAD和△BCE中，∵∠ABD=∠CBE，==，

∴△BAD∽△BCE，

∴===，∠BAD=∠BCE，

∴∠ACB+∠BCE=∠ACB+∠BAD=90°，

即∠ACE=90°，

∴AD⊥CE.

(3)∵∠ABC=∠DBE=90°，

∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE，

∴∠ABD=∠CBE.

在△BAD和△BCE中，∵∠ABD=∠CBE，==，

∴△BAD∽△BCE，

∴===，∠BAD=∠BCE，

∴∠BCF+∠BCE=∠BCF+∠BAD=180°.

∵四边形ABCF中，∠BCF+∠BAD+∠ABC+∠F=360°，∠ABC=90°，

∴∠F=90°.

在Rt△BDE和Rt△FED中，

∴Rt△BDE≌Rt△FED(HL)，

∴BD=FE.

又∵BE=DF，∴四边形BDFE是平行四边形.

又∵∠F=90°，∴四边形BDFE是矩形，

∴∠BEF=∠BDF=∠BDA=90°，EF=BD=2，

∴∠BAF=90°－α，

∴∠CAF=∠BAF－∠BAC=90°－α－30°=60°－α.

在Rt△BEC中，EC===，

∴tan∠CAF=tan(60°－α)======.

24.

解析　(1)∵抛物线F1：y=x2+bx+c经过点A(－3，0)和点B(1，0)，

∴解得

∴抛物线F1的解析式为y=x2+2x－3.

(2)抛物线F2的解析式为y=－x2+2x+3.

理由：由(1)知，抛物线F1：y=x2+2x－3经过点A(－3，0)、点B(1，0)和点(0，－3).

∵抛物线F2与抛物线F1关于原点O成中心对称，

∴抛物线F2经过点(3，0)、点(－1，0)和点(0，3).

设抛物线F2的解析式为y=mx2+nx+d，

将(3，0)，(－1，0)，(0，3)分别代入，

得解得

∴抛物线F2的解析式为y=－x2+2x+3.

(3)①由题意，得抛物线F3的解析式为y=－x2+2x+5，

联立，得解得或

∴点C的坐标为(－2，－3)，点D的坐标为(2，5).

②连接CD，将四边形CMDN分成△CDN与△CDM.

当点M，N运动时，若△CDN的面积与△CDM的面积分别取到最大值，则四边形CMDN的面积取到最大值.

设过点C，D的一次函数的图象的解析式为y=kx+t，

则解得

∴过点C，D的一次函数的图象的解析式为y=2x+1.

将直线y=2x+1向上平移，得到直线y=2x+g(g≠1)，使直线y=2x+g与抛物线F3相切于点N，此时△CDN的面积最大，

则－x2+2x+5=2x+g，化简，得x2+g－5=0，令Δ=0，则g=5.

联立，得解得∴此时点N的坐标为(0，5).

将直线y=2x+1向下平移，得到直线y=2x+h(h≠1)，使直线y=2x+h与抛物线F1相切于点M，此时△CDM的面积最大，

则x2+2x－3=2x+h，化简，得x2－h－3=0，令Δ=0，则h=－3.

联立，得解得∴此时点M的坐标为(0，－3).

∴当四边形CMDN的面积取到最大值时，点M的坐标为(0，－3)，点N的坐标为(0，5)，

又∵点C的坐标为(－2，－3)，点D的坐标为(2，5)，

∴CM∥x轴，DN∥x轴，∴CM∥DN.

又∵CM=DN=2，∴四边形CMDN是平行四边形，

∴四边形CMDN的最大面积为CM×(yD－yC)=2×(5+3)=16.下载本文