广东金融学院 公管系 钟文彬 吴晓光
摘要：从哲学的思想出发，分析微积分的极限理论、直线和曲线的辩证关系，指出微积分的哲学思想的运用，了解微积分中的哲学思想，提高学生的人文思想的情怀。
关键词 哲学思想 微积分 辩证 人文思想
数学曾被科学家作为哲学的一个分支，牛顿、莱布尼兹建立了微积分理论以及中国的老子、墨子等研究数学并为数学作出贡献的人都是哲学家。微积分建立以来，是高等数学的重要组成部分，同时也包含着丰富的哲学思想和辩证法。马克思科学地分析了微分学从牛顿、莱布尼茨到拉格朗日的历史发展过程，指出牛顿、莱布尼兹“这个在数学上正确的结果，是基于在数学根本错误的假设”。他肯定了牛顿、莱布尼兹计算的正确结果，批判了他们的形而上学方法，揭露了微分过程的辩证法。从而，我们更应该站在哲学的角度来分析微积分，提高学生全面辩证地分析问题的能力，加深学生对微积分知识的理解，培养学生的科学人文精神。
一、极限——量变与质变、有限与无限的辩证关系
微积分的极限理论的核心是，如果一个数列或函数无限地接近于一个常数，我们就说这个数是这个数列或函数的极限。极限理论是整个微积分的理论基础，它贯穿于微积分学的始终。微积分基本问题的解决，主要概念的建立，都依赖于极限方法。极限概念是客观事物质的规定性和量的规定性的辩证统一，即质和量的辩证统一。数学上的极限概念和哲学的“度”的概念是一致的。辩证法认为：一切发展变化的事物在其发展的各个阶段上总要保持自己质的数量界限。在这个界限内事物就存在。超出了这个界限，该事物便转化为他事物。变化着的事物，在变化过程逐步趋近于一个稳定状态，用数学的语言说即趋向于某一个“常量”。这种趋于稳定的过程，数学上叫做极限过程。这个“常量”就是数学中的极限。哲学上称之为“度”。当客观事物在极限（度）范围内变化时，相对而言主要是量的变化，而无明显质的变化。从而保持了该事物的相对稳定性。一旦变化达到了极限的位置，就会出现质的飞跃，原来的事物消失了，新的事物诞生了。
极限概念又是一个有限与无限的对立统一。有限与无限是客观世界中普遍存在的一对矛盾。物质、运动、时间、空间等等，从量变的方面来说都是有限与无限的对立统一。现实世界中的有限与无限，反映到人们的头脑中，经过思维的加工，构成了数学中“量”的有限与无限的矛盾运动，即它们之间的相互转化。微积分在研究变量的关系时，突破了有限，一直深入到无限之中去。它巧妙和不断地运用有限与无限的相互转化取得了一批批重大成果。而这个巧妙的方法就是极限方法。
例 求运动物体的瞬时速度。
设S（t）为某物体作直线运动的路程函数。当时间从t变到t1，其改变量（增量）△t＝t1-t。路程就从S(t)变到S(t1)=S(t+△t)，其改变量是：
△S＝S(t1)-S(t)＝S(t+△t)-S(t)
那么，在t到t1这段时间内的平均速度为：
从上式中看出，不论△t怎么样小，△S/△t仍然是平均速度，不是该运动物体在时刻t的瞬时速度。怎样才能由平均速度转化为瞬时速度呢？它是通过极限方法来实现的。
设△t逐步地缩小，并把这一过程推向无限即△t→（无限接近）0
那么平均速度△S/△t就经历一个无限变动过程，最后转化为瞬时速度。描述这一转化过程的表达式是：
这个式子告诉我：求瞬时速度问题是一个化有限为无限，又从无限认识有限的过程。实现这一转化的桥梁是极限方法。
二、“直线”与“曲线”的辩证关系
恩格斯说：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾：在一定条件下直线和曲线应当是一回事”这句话高度概括了微积分的基本思想。全部微积分学就是建立在解决“直”与“曲”的矛盾，实现这一矛盾相互转化的基础上。形而上学者听到这句话目瞪口呆。大叫“荒谬！荒谬！”在他们眼里直就是直，曲就是曲，怎能等同起来呢？“直线和曲线在微积分中终于等同起来了”的观点，是无法理解和接受的。这是因为他们用静止、孤立、片面的观点看世界。不管他们 承认不承认这一点。然而，生活常识毕竟如此。比如一条毕直的高速公路，就其某一段这个局部来讲，它确实是直的。但这条高速公路是铺设在地球表面，而地球是椭圆形球体。笔直的高速路是地球表面的一段弧。因此它又千真万确是曲的。宇宙中恒星照射到地球上光线一贯被人们视为绝对的“直”。然而，爱因斯坦的相对论告诉我们，由于引力强作用，空间和时间都会发生弯曲。光线受引力场作用也变曲了。因此，世界上没有绝对的“直”与“曲”，只存在着“直”与“曲”的对立统一体。它们在一定条件下相互转化，“直”与“曲”等同起来了。哲学上称之为直与曲的同一性。
哲学对微积分的作用远远不止于此，随着我们不断对微积分哲学的深入研究，哲学在微积分的作用必将影响越来越多的学生，从而促进学生对微积分的理解，相信在不久的将来，会对微积分的学习产生更加深刻的影响。
参考文献：⑴自然辨证法 ⑵古今数学思想 ⑶科学思想的概念基础下载本文
