数学 2015.4
一．选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．的相反数是 （ ）
A． B． C． D．
2．据市烟花办相关负责人介绍，2015年除夕零时至正月十五24时，全市共销售烟花爆竹约箱，同比下降了，将用科学计数法表示应为 （ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4． 如图是一个几何体的直观图，则其主视图是 （ ）
A B C D
5．甲乙丙丁四名选手参加100决赛，赛场共1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若甲现抽签，则甲抽到1号跑道的概率为 （ ）
A． B． C． D．
6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）
7． 如图，线段是⊙O的直径，弦，如果，那么 （ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，第一象限内的点在反比例函数图象上，如果点的纵坐标是3，，那么该函数的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
9． 为了了解某小区“全民健身”活动的开展情况，某志愿者对居住该小区的50名成年人一周的体育锻炼时间进行了统计，并绘制成如图所示的条形统计图．这组数据中的众数和中位数分别是 （ ）
A． B． C． D． ，
10． 如图，过半径为6的⊙上一点A作⊙的切线，P为⊙上一个动点，作于H点，连接，如果，，那么下列图象中，能大致表与的函数关系的是 （ ）
二．填空题（本题共18分，每小题3分）
11．若分式有意义，那么的取值范围是____________．
12．半径为4cm，圆心角为的扇形面积为 ．
13．因式分解： _____________．
14．如图，中，，点，在BC边上，
当____________时，（填一个适当的条件即可）．
15． 如图是跷跷板的示意图，立柱OC于地面垂直，以O为横板AB的中点，AB绕点O上下转动，横板AB的B端最大高度h是否会随横板的长度变化而变化呢？一位同学做了如下研究：他先设，，通过计算得到此时的，再将横板AB换成横板，O为横板的中点，且，此时点的最大高度为，由此得到与的大小关系是_____（填”>” “=”或”<”），可进一步得出随横板长度的变化而______（填“不变”或“改变”）．
16．如图，数轴上，点A的初始位置表示数1，现点A做如下移动：第一次点A向左移动三个单位长度至点，第2次从点向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，……，按照这种方式移动下去，点表示的数是______，如果点与原点的距离不小于20，那么n的最小值____．
三．解答题（本题共30分，每小题5分）
17．计算：
18．如图，，，．求证：．
19．解不等式组
20．先化简，再求值：，其中．
21．从北京到某市可乘坐普通列车或高铁．已知高铁行驶路程是千米，普通列车的行驶路程是千米．如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的倍，且乘坐高铁比乘坐普通列车少用小时，求高铁的平均速度是多少千米/小时．
22．已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若是此方程的一个实数根，求实数的值．
23．如图，四边形 ABCD中，垂直平分，垂足为点，为四边形外一点，且，，
（1）求证四边形为平行四边形；
（2）如果平分，，求的长．
24．在北京，乘坐地铁出行是市民常用的一种交通方式，据调查，新票价改革的实施给北京市交通客流带来很大变化.根据2015年1月公布的调价后市民当时乘坐地铁的相关调查数据，制作了以下统计表以及统计图.
根据以上信息解答下列问题：
（1）补全扇形图；
（2）题目所给出的线路中，调价后客流量下降百分比最高的线路是 ，调价后
里程x（千米）在 范围内的客流量下降最明显．对于表中客流量不降
反增而且增长率最高的线路，如果继续按此变化率增长，预计2016年1月这条线
路的日均客流量将达到 万人次；（精确到0.1）
（3）小王同学上学时，需要乘坐地铁15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次．问
调价后小王每周（按5天计算）乘坐地铁的费用比调价前多支出 元．（不
考虑使用市政一卡通刷卡优惠，调价前每次乘坐地铁票价为2元）
25．如图，为的直径，为外一点，连接与相交于点，连接并延长交于点，经过点的直线与所在直线关于直线对称，作于点，连接．
（1）依题意补全图形；
（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与相等的角，并加以证明．
26．阅读下面的材料：
小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：
如果都为锐角，且，求的度数．
小敏是这样解决问题的：如图1，把放在正方形网格中，使得，且在直线的两侧，连接，可征得是等腰直角三角形，因此可求得．
请参考晓敏思考问题的方法解决问题：
如果都为锐角，当，时，在图2的正方形网格中，利用已做出的锐角，画出，由此可得 ．
图 1 图2
五．解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27．已知二次函数的图象经过两点．
（1）求对应的函数表达式；
（2）将先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线，将对应的函数表达式记为，求对应的函数表达式；
（3）设，在（2）的条件下，如果在内存在某一个的值，使得成立，结合函数图象直接写出的取值范围．
28．中，，取边的中点，作于点，取的中点，连接交于点．
（1）如图1，如果，那么 ， ；
（2）如图2，如果，猜想的度数和的值，并证明你的结论；
（3）如果，那么 ．（用含的表达式表示）
图1 图2 图3
29．给出如下规定：两个图形和，点为上任意一点，点为上任意一点，如果线段的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形和之间的距离．在平面直角坐标系中，为坐标原点．
（1）点的坐标为，则点和射线之间的距离为 ，点和射线之间的距离为 ；
（2）如果直线和双曲线之间的距离为，那么 ；（可在图1中进行研究）
（3）点的坐标为，将射线绕原点逆时针旋转，得到射线，在坐标平面内所有和射线之间的距离相等的点所组成的图形记为图形，
请在图2中划出图形，并描述图形的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）
将射线组成的图形记为图形，抛物线与图形的公共部分记为图形，请直接写出图形和图形之间的距离．
