教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关 的数学、物理方面的计算问题；3.了解n重积分的有关概念及计算方法。
教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。
教学时数：22学时
§ 1 二重积分概念
一. 矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 .
定义 二重积分 .
例1 用定义计算二重积分 .用直线网分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点 .
解
.
二. 可积条件 : D . 大和与小和.
Th 1 , .
Th 2 , .
Th 3 在D上连续 , 在D上可积 .
Th 4 设 , 为 上的可积函数.
D,
( 或 D ) . 若 在D上有界 , 且在D \\ 上连续 , 则 在D上可积 .
例2 P217ex2
三． 一般域上的二重积分：
1． 定义： 一般域上的二重积分.
2． 可求面积图形: 用特征函数定义.
四. 二重积分的性质 :
性质1 .
性质2 关于函数可加性 .
性质3 则 在D上可积 在 和可积 , 且 .
性质4 关于函数单调性 .
性质5 .
性质6 .
性质7 中值定理 .
Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线 ( 或 )组成 , 在D上连续 , 则 在D上可积 .
例3 去掉积分 中的绝对值 .
§ 2 二重积分的计算
二. 化二重积分为累次积分:
1. 矩形域 上的二重积分:
用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式.
2. 简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9.
例1 , .
解法一 P221例3
解法二 为三角形, 三个顶点为 ,
.
例2 , . P221例2.
例3 求底半径为 的两直交圆柱所围立体的体积 . P222例4.
§ 3 Green公式 . 曲线积分与路径无关性
一. Green公式:
闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示区域的正面( 理解为拇指“站立在” 区域的正面上 ), 则其余四指( 弯曲 )表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方向为边界的正向. 参阅P图21—10. 若以L记正向边界, 则用—L或L 表示反向（或称为负向）边界.
1. Green公式:
Th21.11 若函数P和Q在闭区域D R 上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则有
,
其中L为区域D的正向边界. ( 证 ) P224
Green公式又可记为 .
1. 应用举例:
对环路积分, 可直接应用Green公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧.
例1 计算积分 , 其中A B . 曲线AB为圆周
在第一象限中的部分. P226例1
解法一 ( 直接计算积分 ) 曲线AB的方程为 .方向为自然方向的反向. 因此
.
解法二 ( 用Green公式 ) 补上线段BO和OA ( O为坐标原点 ), 成闭路. 设所围
区域为D, 注意到 D为反向, 以及 , 有
.
例2 计算积分 I = , 其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界(方向任意 ) P227例2
解 . ( 和 在D上有连续的偏导数).
, .
于是, I = .
二. 曲线积分与路线无关性:
单连通域和复连通域.
1. 积分与路径无关的等价条件: P228
Th21.12 设D R 是单连通闭区域. 若函数 和 在闭区域D内连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则以下四个条件等价 :
ⅰ> 沿D内任一按段光滑的闭合曲线L, 有 .
ⅱ> 对D内任一按段光滑的曲线L, 曲线积分 与路径无关, 只与曲线L的起点和终点有关.
ⅲ> 是D内某一函数 的全微分, 即在D内有 .
ⅳ> 在D内每一点处有 .
2. 恰当微分的原函数:
若有 , 则称微分形式 是一个恰当微分. 恰当微分有原函数,( 它的一个 ) 原函数为 :
.
或
其中点 D, 当点 D时, 常取 = .
验证第一式: =
;
.
例6 验证式 是恰当微分, 并求其原函数. P231例4
. § 4 二重积分的变量变换:（4时）
1. 二重积分的变量变换公式: 设变换 的Jacobi , 则
,
其中 是在该变换的逆变换 下 平面上的区域 在 平面上的象. 由条件 , 这里的逆变换是存在的.
一般先引出变换 , 由此求出变换 .而 .
例1 , . P235 例1.
註 当被积函数形如 , 积分区域为直线型时, 可试用线性变换 .
例2 , .
解 设 . 则 .
， .
因此 , .
註 若区域 是由两组“相似”曲线 ( 即每组中的两条曲线仅以一个参数不同的取值相区别 ) 围成的四线型区域 , 可引进适当的变换使其变成矩形区域 . 设区域 由以下两组曲线围成 :
第一组: ;
第二组: .
可试用变换 . . 从中解出
. 在此变换之下, 区域 变成 平面上的矩形区域
.
例3 求由抛物线 和 直线 所围平面区域 的面积 . P236例2.
2. 极坐标与广义极坐标变换:
极坐标变换: , .
广义极坐标变换: , .
例4 . P240例3.
例5 ( Viviani问题 ) 求球体 被圆柱面 所割下立体的体积 . P240例4.
例6 应用二重积分求广义积分 . P241例5.
例7 求橢球体 的体积 . P241例6.
四. 积分换序:
例8 连续 . 对积分 换序. .
例9 连续 . 对积分 换序.
.
例10 计算积分 . .
§ 5 三重积分简介
一． 三重积分的定义：
1． 长方体 上的积分：
2． 一般可求体积立体 上的积分：
二． 三重积分的计算：
1． 长方体 上的积分：
.
2. 型体上的积分:
⑴ 内一外二 : = ,
其中 , 为 在 平面上的投影.就函数 为点密度的情况解释该公式 .
⑵ 内二外一 : = ,
其中 介于平面 和 之间 , 是用平面 截 所得的截面. 内二外一 多用于围成 的闭合曲面由一个方程给出的情况.
例1 , : . P245例 1.
解 ,
例2 , : .
解 .
法一 ( 内二外一 )
,
其中 为椭圆域 , 即椭圆域 , 其面积为 . 因此
.
同理得 , .
因此 .
法二 ( 内一外二 ) 上下对称, 为 的偶函数,
, 其中 为 在 平面上方的部分, 其在 平面上的投影为椭圆 . 于是
.
, .
因此 . 同理 …….
于是 .
例3 设 . 计算积分
, : .
解
.
三. 三重积分换元公式:
Th 21.13 P247.
1. 柱坐标: P248.
例4 , : . P248例3
2. 球坐标: P249. P 250例4.
§ 6 重积分的应用
一、曲面的面积
设曲面方程为 . 有连续的一阶偏导数 .
推导曲面面积公式 ,
或 .
例1 P253例1`.
二、重心 P255
三、转动惯量 P256
