（命题人：吴伟朝）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、若集合S＝{n|n是整数，且22n＋2整除2003n＋2004}，则S为

（A）空集    （B）单元集    （C）二元集    （D）无穷集

2、若多项式x2－x＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax＋b（a、b皆为常数）．则a＋b等于

（A）0            （B）－1        （C）1            （D）2

3、设a是整数，关于x的方程x2＋(a－3)x＋a2＝0的两个实根为x1、x2，且tan(arctan x1＋arctan x2)也是整数．则这样的a的个数是

（A）0            （B）1            （C）2            （D）4

4、设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V2．则为

（A）                            （B）

（C）常数，但不等于和    

（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关

5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为

（A）1001        （B）1010        （C）1011        （D）1013

6、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是

（A）36            （B）37        （C）48        （D）49

二、填空题：（每小题9分，共54分）

1、若直线xcosθ＋ysinθ＝cos2θ－sin2θ（0＜θ＜π）与圆x2＋y2＝有公共点，则θ的取值范围是                    ．

2、在平面直角坐标系xOy中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x轴相切．则此圆的半径等于              ．

3、若常数a使得关于x的方程

lg(x2＋20x)－lg(8x－6a－3)＝0

有惟一解．则a的取值范围是               ．

4、f(x)＝＋xcosx＋cos(2x)(x∈R)的最小值是               ．

5、若k是一个正整数，且2k整除

则k的最大值为                  ．

6、设ABCD为凸四边形，AB＝7，BC＝4，CD＝5，DA＝6，其面积S的取值范围是(a,b] ．则a＋b＝           ．

三、（20分）

设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l，点P在椭圆上．作PQ⊥l，Q为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P，使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e的等式或不等式来表示）．

四、（20分）

设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an-1＋n，n＝1,2,3,…．试求出an的表达式（答案用有限个关于n的式子相加的形式表示，且项数与n无关）．

五、（20分）

试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于x的方程x4＋(2b－a2)x2－2ax＋b2－1＝0的各个根均是整数．

第二试

一、（50分）

点P在△ABC内，且∠BAP＝∠CAP，连结BP并延长交AC于点Q．设∠BAC＝60°，且．

求证：P是△ABC的内心．

二、（50分）

        设正数a、b满足且使得关于x的不等式

≥

    总有实数解．试求f(a,b)＝a2－3ab＋b2的取值范围．

三、（50分）

试求出正整数k的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k个整数a1,a2,…,ak（允许相等），必定存在相应的k的整数x1,x2,…,xk（也允许相等），且|xi|≤2(i＝1,2,…,k)，|x1|＋|x2|＋…＋|xk|≠0，使得2003整除x1a1＋x2a2＋…＋xkak．

参

第一试

一、选择题：

    1、；            2、；

    3、；                    4、－1；

    5、2004；                            6、．

三、．

四、a2n＝2n+2－2n－3；a2n+1＝3×2 n+1－2n－4．

五、(a,b)＝(2l―1,l2―l―1)( l∈Z)

第二试

一、证略（提示：将条件变形为，然后应用正弦定理，进行三角变换，得∠BPC＝120°，利用同一法即证）；

二、(－∞，－1)．

三、kmin＝7．下载本文