一试
考试时间：2013年10月13日上午8:00至9:20
一、填空题（每小题8分，共分）
1．已知锐角三角形的三条边长都是整数，其中两条边长分别为3和4，则第三条边的边长为．
2．设为虚数单位，则．
3．设集合，集合，则集合中所有元素的和为．
4．已知正三棱锥的底面边长为1，高为，则其内切球半径是．
5．在区间中，方程的解的个数为．
6．定义在实数上的函数的最小值是．
7．设为实数，函数满足：对任意，，则的最大值为．
8．将正九边形的每个顶点等概率地涂上红、蓝两种颜色之一，则存在三个同色的顶点构成锐角三角形的概率为．
二、解答题（本大题共3小题，共56分）
9．（16分）已知数列满足：，，．求数列的通项公式．
10．（20分）假设，且，证明
．
11．（20分）在平面直角坐标系内，点的坐标为，点在抛物线上，满足，，求的值．
2013年全国高中数合竞赛（B卷）
加试
考试时间：2013年10月13日上午9:40至12:10
一、（40分）对任意的正整数，证明不存在三个奇数满足如下的方程：
．
二、（40分）a）设依次是直线上的三个不同的点，证明存在外一点，使得．
b）对于直线上依次排列的任意四点，是否总存在外一点，使得？如果点总存在，试写出证明；如果点不一定存在，请举出反例．
三、（50分）非负实数满足，求
的最大值和最小值．
四、（50分）用若干单位小正方形和由三个单位小方格组成的形“砖”铺满一个的方格棋盘的所有不同可能铺法的数目是．下面的图是时的两种不同的铺法：
a）求；并且b）求的个位数．下载本文
