题组一
1．(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于( )
A．{x|0≤x<2}
B.
C．{x|3≤x<16}
D.
2．(2022·漳州质检)已知z＝|i－1|＋，则在复平面内z对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．“∀x≥0，a≤x＋”的充要条件是( )
A．a>2 B．a≥2
C．a<2 D．a≤2
4．(2022·温州质检)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最大的一份为( )
A．35 B.
C. D．40
5．(2022·新高考全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
6．(2022·茂名模拟)已知0<α<，sin＝，则的值为( )
A. B.
C. D.
7．(2022·南通模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足＝2，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D．2
8．(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)＝x(ex－e－x)＋x2，若f(x) C．x＋y>0 D．x＋y<0 题组二 1．(2022·济宁模拟)若集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|3x≥9}，则A∪B等于( ) A．(－1,2] B．[2,3) C．(－1，＋∞) D．(－∞，3) 2．(2022·新高考全国Ⅰ)若i(1－z)＝1，则z＋等于( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 3．(2022·唐山模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(－1,3)在角α的终边上，则sin 2α等于( ) A. B. C．－ D．－ 4.(2022·广州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝4CD，点E为AD的中点，设＝x＋y，则x＋y等于( ) A. B. C. D. 5．(2022·广东六校联考)一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为f(x)＝(K>0，a>0，b>0)，x∈[0，＋∞)，该函数也可以简化为f(x)＝(K>0，a>1，k<0)的形式．已知f(x)＝(x∈N)描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1 m，经过一年，该果树的高为2.5 m，则该果树的高度超过8 m，至少需要( ) A．4年 B．3年 C．5年 D．2年 6.(2022·太原模拟)七巧板又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为12 cm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．现他从5个三角形中随意取出两个，则这两个三角形的面积之和不小于另外三个三角形面积之和的概率是( ) A. B. C. D. 7．(2022·德州质检)已知奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足f(2a)＋f(b－4)＝0，则＋的最小值是( ) A. B. C．2 D．4 8．(2022·景德镇模拟)已知椭圆C：x2＋＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为椭圆的上顶点，若|BM|＝|BN|，则椭圆C的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 题组3 1．(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)等于( ) A．{1,3} B．{0,3} C．{－2,1} D．{－2,0} 2．(2022·衡水模拟)已知复数z＝(a∈R)在复平面上对应的点在直线x＋y＝0上，则a等于( ) A．－2 B．2 C．－3 D．3 3．(2022·济南模拟)函数f(x)＝的大致图象是( ) 4．(2022·凉山模拟)正项等比数列{an}与正项等差数列{bn}，若a1a5＝b5b7，则a3与b6的关系是( ) A．a3＝b6 B．a3≥b6 C．a3≤b6 D．以上都不正确 5．(2022·萍乡模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝kx(k>0)与C相交于M，N两点(M在第一象限)．若M，F1，N，F2四点共圆，且直线NF2的倾斜角为，则椭圆C的离心率为( ) A. B.－1 C. D.－1 6.(2022·六安模拟)我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这可视为中国古代极限思想的佳作．割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到sin 2°的近似值为( ) A．0.035 B．0.026 C．0.018 D．0.038 7．已知ex－y>ln y－x，则下列结论正确的是( ) A．x>y B．x>ln y C．x A. B．2 C. D. 题组4 1．(2022·中山统考)设全集U与集合M，N的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A．M∩N B．M∪N C．(∁UM)∪N D．(∁UM)∩N 2．(2022·衡水中学模拟)如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)为纯虚数，那么b等于( ) A．1 B．2 C．4 D．－4 3．“a2＝1”是“直线x＋ay＝1与直线ax＋y＝1平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(2022·佛山模拟)核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lg Xn＝nlg (1＋p)＋lg X0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某个被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为( ) (参考数据：100.2≈1.585,10－0.2≈0.631) A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.631 5．(2022·全国乙卷)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位：h)，得如下茎叶图： 则下列结论中错误的是( ) A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4 B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8 C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4 D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 6．(2022·常德模拟)已知在△ABC中，B＝，AB＝1，角A的角平分线AD＝，则AC等于( ) A. B．2 C.＋1 D.＋3 7．(2022·湖南长郡中学模拟)已知f(x)＝x3－x，如果过点(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线．则下列结论中正确的是( ) A．－1 A．4 B．7 C．8 D．11 题组5 1．(2022·济宁模拟)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则的虚部为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 2．(2022·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(x－1)}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为( ) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－∞，1] 3．(2022·莆田质检)若sin 12°＋cos 12°＝a，则cos 66°等于( ) A．1－a B．a－1 C．1－a2 D．a2－1 4．(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)( ) A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3 C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3 5．(2022·淄博模拟)若4x＝5y＝20，z＝logxy，则x，y，z的大小关系为( ) A．x A. B. C. D. 7．(2022·泰安模拟)已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn＝.若对任意的n∈N*，都有bn≥b5成立，则实数a的取值范围是( ) A．[－6，－5] B．(－6，－5) C．[－5，－4] D．(－5，－4) 8．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则f(k)等于( ) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 题组6 1．设集合M＝{x|x>4}，N＝{x|x2>4}，则( ) A．M⊆N B．N⊆M C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM 2．(2022·开封模拟)命题“∀x∈R，x＋|x|≥0”的否定是( ) A．∀x∈R，x＋|x|<0 B．∀x∈R，x＋|x|≠0 C．∃x∈R，x＋|x|≥0 D．∃x∈R，x＋|x|<0 3．棣莫弗公式[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(i为虚数单位，r>0)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的．根据棣莫弗公式，在复平面内，复数15对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.(2022·宁波模拟)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(e是自然对数的底数)( ) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 5．(2022·泰安模拟)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时 6．(2022·东北师大附中模拟)某中学为响应国家“双减”，开设了乒乓球、羽毛球、书法、小提琴4门选修课程，要求每位同学每学年至多选修2门，初一到初三这三学年将4门选修课程选修完，则每位同学的不同选修方式有( ) A．60种 B．78种 C．54种 D．84种 7．(2022·吕梁模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，BD为AC边上的中线，BD＝2，且acos C－2bcos B＋ccos A＝0，则△ABC的面积为( ) A．2 B. C. D. 8．已知x∈(0，＋∞)，不等式ax＋eax≥ln x＋x恒成立，则实数a的最小值为( ) A. B. C．0 D．1 题组7 1．(2022·全国甲卷)若z＝－1＋i，则等于( ) A．－1＋i B．－1－i C．－＋i D．－－i 2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，则集合A*B的所有元素之和为( ) A．16 B．18 C．14 D．8 3．(2022·卓越高中联盟联考)若“∃x∈R，sin x－cos x＝a”为假命题，则实数a的取值范围是( ) A．[－2,2] B．(－2,2) C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 4．(2022·湖北七市(州)联考)某学校高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1 600,1 100,800，现用比例分配的分层随机抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高．如果在这个样本中，有高一年级学生32人，且测得高一年级、高二年级、高三年级学生的平均身高分别为160 cm,165 cm，170 cm.则下列说法正确的是( ) A．高三年级抽取的学生人数为32 B．高二年级每个学生被抽取到的概率为 C．所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大 D．所有学生的平均身高估计要小于165 cm 5．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．则( ) A．b1 A. B. C. D. 7．(2022·湖北八市联考)各种不同的进制在我们生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数算一般使用十进制．通常我们用函数f(x)＝表示在x进制下表达M(M>1)个数字的效率，则下列选项中表达效率最高的是( ) A．二进制 B．三进制 C．八进制 D．十进制 8.(2022·长沙十六校联考)如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在边BC上，延长AD到P，使得AP＝9，若＝m＋(m为常数)，则CD的长度是( ) A. B．0或 C. D．0或 题组8 1．(2022·武汉模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|ln x>0}，则(∁UA)∩B等于( ) A．(0,2) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2] 2．(2022·葫芦岛模拟)某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x(单位：℃)的关系．现收集了7组观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，7)得到如图所示的散点图． 由此散点图，在20 ℃至36 ℃之间，下面四个经验回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的经验回归方程类型的是( ) A．y＝a＋bx B．y＝a＋ C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x 3．(2022·中山模拟)已知{an}为正项等比数列，且a2a4＝4，设Tn为该数列的前n项积，则T5等于( ) A．8 B．16 C．32 D． 4．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于( ) A．－6 B．－5 C．5 D．6 5．(2022·福州模拟)充电电池是电动汽车的核心零件之一，如何提高充电速度是电池制造商重点关注的研究方向，已知电池充入的电量E(单位：kW·h)与充电时间t(单位：min)满足函数E(t)＝M(1－e－kt)，其中M表示电池的容量，k表示电池的充电效率，研究人员对A，B两个型号的电池进行充电测试，电池A的容量为80 kW·h，充电30 min充入了40 kW·h的电量；电池B的容量为60 kW·h，充电15 min充入了20 kW·h的电量．设电池A的充电效率为k1，电池B的充电效率为k2，则( ) A．k1>k2 B．k1 D．k1，k2的大小关系无法确定 6．(2022·邯郸模拟)已知直线x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2＋4y＝0相交于A，B两点，若·＝0，则m的值为( ) A．－4或0 B．－4或4 C．0或4 D．－4或2 7．(2022·潍坊模拟)如图，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别是A1，A2，圆x2＋y2＝a2与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线A1M交C的右支于点P，若△MPA2是等腰三角形，且∠PA2M的内角平分线与y轴平行，则C的离心率为( ) A．2 B. C. D. 8．(2022·全国甲卷)已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则( ) A．c>b>a B．b>a>c C．a>b>c D．a>c>b 参 题组1 1．D 2.D 3.D 4.C 5.B 6．C [因为sin＝， 所以(cos α－sin α)＝. 所以cos α－sin α＝， 所以1－2sin αcos α＝， 得sin αcos α＝， 因为cos α＋sin α＝＝， 所以＝＝＝＝.] 7．B [设P在渐近线y＝－x上，F(－c，0)， 则直线FP的方程为y＝(x＋c)， 由得 即P，由＝2， 得Q， 因为Q在双曲线上， 所以－＝1， 化简得c2＝2a2，e＝＝.] 8．A [由题意得函数的定义域为R. f(－x)＝－x(e－x－ex)＋x2＝x(ex－e－x)＋x2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数． 当x>0时，f′(x)＝ex－＋xex＋xe－x＋2x， 因为x>0，所以f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减． 则由已知f(x) 可知x，y同号，故A正确，B错误； 对于C，当x＝－1，y＝－2时，x＋y＝－3，满足(*)式，此时x＋y<0，故C错误； 对于D，当x＝1，y＝2时，x＋y＝3满足(*)式，此时x＋y>0，故D错误．] 题组2 1．C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.D 7．B 8．C [设直线l：y＝x＋m与椭圆x2＋＝1的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立 得(b2＋1)x2＋2mx＋m2－b2＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， Δ＝(2m)2－4(b2＋1)(m2－b2)＝4b2(b2＋1－m2)>0. 设线段MN的中点为G， 知G点坐标为， 因为|BM|＝|BN|，所以直线BG垂直平分线段MN，所以直线BG的方程为y＝－x＋b，且经过点G， 可得＝＋b， 解得m＝. 因为b2＋1－m2>0， 所以b2＋1－2>0， 解得0 所以 1．D 2.D 3.D 4.C 5.B 6.A 7．B 8．C [如图所示，在等腰梯形ABCD中， 由BC＝2AD＝2AB＝2CD＝4， 过A作AM⊥BC，垂足为M，可得BM＝1， 在Rt△ABM中， 可得cos∠ABM＝＝， 可得∠ABM＝60°， 即∠ABC＝∠DCB＝60°， 取BC的中点E，连接EA，ED， 可得EA＝EB＝EC＝ED＝2，所以梯形ABCD内接于以E为圆心， 半径r＝2的圆， 设四棱锥P－ABCD外接球的球心为O，连接OA，OE，过O作OF∥AE交PA于点F，连接OP 易知OE⊥平面ABCD，又因为PA⊥平面ABCD，所以OEAF为矩形，F为AP中点，PA＝2，所以OE＝PA＝1，设四棱锥P－ABCD外接球半径为R，所以R＝＝＝.] 题组4 1．D 2.A 3.B 4.C 5．C [对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为＝7.4，A选项结论正确； 对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为 ×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)＝8.506 25>8，B选项结论正确； 对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.375<0.4，C选项结论错误； 对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值＝0.812 5>0.6，D选项结论正确．] 6．C [在△ABD中，由正弦定理得＝， 所以sin∠ADB＝＝＝， 因为B＝， 所以∠ADB＝，∠BAD＝， 所以∠BAC＝，∠ACB＝， sin ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝， 在△ABC中，由正弦定理得，＝， 所以AC＝＝＝＝＋1.] 7．D [设切点为(x0，x－x0)，f′(x)＝3x2－1，所以切线斜率为3x－1， 所以切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)， 将(2，m)代入方程得m－(x－x0)＝(3x－1)(2－x0)， 即2x－6x＋2＋m＝0， 由题设知该方程有3个不等实根． 令u(x)＝2x3－6x2＋2＋m， u′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 当x<0时，u′(x)>0， 当0 所以u(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以u(x)在x＝0时取得极大值u(0)＝2＋m， 在x＝2时取得极小值u(2)＝2×8－6×4＋2＋m＝m－6， 由三次函数图象知 解得－2 所以A(0,2)，设等边三角形ABC的边长为a， 则＝＝2R＝4，所以a＝2， 则B(－，－1)，C(，－1)． 又因为P是该圆上的动点， 所以设P(2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π]， ＝(－2cos θ，2－2sin θ)， ＝(－－2cos θ，－1－2sin θ)， ＝(－2cos θ，－1－2sin θ)， ·＋·＝－2cos θ(－－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－－2cos θ)(－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ) ＝4＋2sin θ＋2cos θ ＝4＋4sin， 因为θ∈[0,2π]，所以θ＋∈，sin∈[－1,1]， 所以当sin＝1时，·＋·取得最大值为8.] 题组5 1．B 2.B 3.D 4.C 5.D 6.B 7．D [根据题意，数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列， 所以an＝n＋a－1， 由于数列{bn}满足bn＝＝＋1， 所以≥对任意的n∈N*都成立， 故数列{an}单调递增，且满足a5<0，a6>0， 所以 解得－5 可得g(2＋x)＝g(2－x)． 在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，可得f(－x)＋g(2＋x)＝5， 可得f(－x)＝f(x)． 在g(x)－f(x－4)＝7中， 用2－x替换x， 得g(2－x)＝f(－x－2)＋7， 代入f(x)＋g(2－x)＝5中， 得f(x)＋f(－x－2)＝－2， 可得f(x)＋f(x＋2)＝－2， 所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2， 所以f(x＋4)＝f(x)， 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数． 由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5， 又g(2)＝4， 所以可得f(0)＝1， 又f(x)＋f(x＋2)＝－2， 所以f(0)＋f(2)＝－2， f(－1)＋f(1)＝－2， 得f(2)＝－3， f(1)＝f(－1)＝－1， 又f(3)＝f(－1)＝－1， f(4)＝f(0)＝1， 所以 f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D.] 题组6 1．A 2.D 3.A 4.A 5.C 6．C [根据题意，三年修完4门选修课程，每学年至多选修2门， 则每位同学每年所修课程数为1,1,2或0,2,2.先将4门课程按照1,1,2分成三组有种方式，再分到三个学年，有A种方式， 所以不同的选修方式有×A＝36(种)；再将4门课程按照0,2,2分成三组有种方式，再分到三个学年，有A种方式，所以不同的选修方式有×A＝18(种)， 综上，共有36＋18＝54(种)．] 7．C [∵acos C－2bcos B＋ccos A＝0， 由正弦定理得sin Acos C－2sin Bcos B＋sin Ccos A＝0， ∴sin(A＋C)－2sin Bcos B＝0， 又A＋B＋C＝π， ∴sin B－2sin Bcos B＝0， ∵B是三角形内角， ∴sin B≠0，∴cos B＝，∴B＝， 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B， 即9＝a2＋c2－ac， 又＝(＋)， ∴||2＝(||2＋||2＋2·)， 即4＝(a2＋c2＋ac)， 解得ac＝， ∴S△ABC＝acsin B＝××＝.] 8．A [设f(x)＝x＋ex，显然f(x)是增函数， 不等式ax＋eax≥ln x＋x可变形为ax＋eax≥ln x＋eln x， 即f(ax)≥f(ln x)， 所以ax≥ln x. 所以a≥， 令g(x)＝，x>0， 则g′(x)＝， 当0 当x>e时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)max＝g(e)＝，因为不等式a≥恒成立， 所以a≥. 即a的最小值是.] 题组7 1．C 2.A 3.D 4.D 5．D [方法一 当n取奇数时， 由已知b1＝1＋， b3＝1＋， 因为>，所以b1>b3， 同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确； 当n取偶数时，由已知b2＝1＋， b4＝1＋， 因为>，所以b2 同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8， 又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确；故选D. 方法二 (特殊值法)不妨取αk＝1(k＝1,2，…)， 则b1＝1＋＝2， b2＝1＋＝1＋＝1＋＝， b3＝1＋＝1＋＝1＋＝， 所以b4＝1＋＝1＋＝， b5＝1＋＝1＋＝， b6＝1＋＝1＋＝， b7＝1＋＝1＋＝， b8＝1＋＝1＋＝. 逐一判断选项可知选D.] 6．B [∵2是4a与4b的等比中项， ∴4a·4b＝22，∴a＋b＝1. ∵＝， ＋＝(a＋b) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当a＝，b＝时取等号， ∴≤， ∴的最大值为.] 7．B [因为f(x)＝＝＝·， f′(x)＝·， 令f′(x)>0，易知f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，而f(2)＝f(4)，故可得f(3)>f(2)>f(8)>f(10)．则效率最高的是三进制．] 8．D [∵A，D，P三点共线， ∴可设＝λ(λ>0)， ∵＝m＋， ∴λ＝m＋， 即＝＋，当m≠0且m≠时，B，D，C三点共线， ∴＋＝1，即λ＝， ∵AP＝9，∴AD＝3， ∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°， ∴BC＝5， 设CD＝x，∠CDA＝θ， 则BD＝5－x，∠BDA＝π－θ. ∴根据余弦定理可得 cos θ＝＝， cos(π－θ)＝＝， ∵cos θ＋cos(π－θ)＝0， ∴＋＝0， 解得x＝， ∴CD的长度为； 当m＝0时，＝，C，D重合，此时CD的长度为0； 当m＝时，＝， 即＝＋， B，D重合，此时PA＝12，不符合题意，舍去．] 题组8 1．D 2.C 3.C 4.C 5.B 6．A [由x2＋y2＋4y＝0，得x2＋(y＋2)2＝4， 则圆心为C(0，－2)，半径为2， 由·＝0，得CA⊥CB，即圆心C到直线x－y＋m＝0的距离为2×＝，即＝，即m＝0或m＝－4.] 7．B [联立且M在第一象限， 可得M， 而A1(－a，0)，A2(a，0)， 所以|MA1|2＝2＋2 ＝2a2， |MA2|2＝2＋2 ＝2a2， 由题意知，∠A1MA2＝∠PMA2＝90°，故△MPA2是等腰直角三角形， 所以∠MA2P＝45°，而∠PA2M的内角平分线与y轴平行， 所以∠MA1A2＝22.5°， 又tan 45°＝＝1， 可得tan 22.5°＝－1， 则tan2∠MA1A2＝2 ＝＝(－1)2， 可得＝3－2，所以e＝.] 8．A [因为b＝cos ＝1－2sin2， 所以b－a＝1－2sin2－＝－2sin2＝2×. 令f(x)＝x－sin x， 则f′(x)＝1－cos x≥0， 所以函数f(x)在R上单调递增， 所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0， 即有x>sin x(x>0)成立， 所以>sin ，得>sin2， 所以b>a. 因为＝＝4tan ， 所以令g(x)＝tan x－x， 则g′(x)＝－1＝≥0， 所以函数g(x)在定义域内单调递增， 所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0， 即有tan x>x(x>0)成立， 所以tan >，即4tan >1， 所以>1，又b>0，所以c>b. 综上c>b>a.故选A.]下载本文
