（满分120分,考试用时120分钟）

一．选择题（(每小题4分,总计40分。请将唯一正确答案的字母填写在表格内)）

1.下列方程中,是一元二次方程的是（　　）

A . x2﹣3=（x﹣2）（x+3） B . （x+3）（x﹣3）=6

C . =4 D . xy+2x=1

2.将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为（　　）

A . 3x2﹣4x+2=0    B . 3x2﹣4x﹣2=0    C . 3x2+4x+2=0    D . 3x2+4x﹣2=0

3.一元二次方程（x﹣1）2﹣2=0的根是（　　）

A . x=    B . x1=﹣1,x2=3

C . x=﹣    D . x1=1+,x2=1﹣

4.一元二次方程x2﹣8x﹣2=0,配方的结果是（　　）

A . （x+4）2=18    B . （x+4）2=14    C . （x﹣4）2=18    D . （x﹣4）2=14

5.用公式法求一元二次方程的根时,首先要确定A 、B 、C 的值．对于方程-4x2+3=5x,下列叙述正确的是（　　）

A . ,,    B . ,,

C . ,,    D . ,,

6.方程x2－2x＝0的解为(　　)

A . x1＝0,x2＝2    B . x1＝0,x2＝－2

C . x1＝x2＝1    D . x＝2

7.关于的一元二次方程的根的情况是（    ）

A . 有两不相等实数根    B . 有两相等实数根

C . 无实数根    D . 不能确定

8.已知x1,x2是关于x的方程x2+B x﹣3=0的两根,且满足x1+x2﹣3x1x2=5,那么B 的值为（　　）

A . 4    B . ﹣4    C . 3    D . ﹣3

9.河北省某市2018年现有森林和人工绿化面积为20万亩,为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”,现计划在两年后将本市的绿化面积提高到24.2万亩,设每年平均增长率为x,则列方程为（　　）

A . 20（1+x）×2=24.2    B . 20（1+x）2=24.2×2

C . 20+20（1+x）+20（1+x）2=24.2    D . 20（1+x）2=24.2

10.如图,在△A B C 中,∠A B C ＝90°,A B ＝8C m,B C ＝6C m．动点P,Q分别从点A ,B 同时开始移动,点P的速度为1C m/秒,点Q的速度为2C m/秒,点Q移动到点C 后停止,点P也随之停止运动．下列时间瞬间中,能使△PB Q的面积为15C m2的是（    ）

A . 2秒钟    B . 3秒钟    C . 4秒钟    D . 5秒钟

二．填空题（共5小题20分）

11.方程的解______.

12.若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2015的值为__________．

13.已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12,则x2+y2的值是__________．

14.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是_____．

15.对于实数A ,B ,定义运算“※”如下：A ※B =A 2﹣A B ,例如,5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6,则x的值为_____．

三．解答题（共8小题90分）

16.用适当的方法解下列方程：

（1）9x2﹣100=0；                    （2）x（x﹣1）=2（x﹣1）；

（3）（x+2）（x+3）=20；               （4）3x2﹣4x﹣1=0．

17.若一元二次方程（m﹣3）x2+mx+m2﹣3m=0常数项是0,求m的值．

18.已知关于x的一元二次方程(m为常数)．

（1）求证：不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程一个根为3,求m的值．

19.已知关于x一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根x1和x2．

（1）求k的取值范围；

（2）当k=时,求x12+x22值．

20.先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题．

求代数式y2+4y+8的最小值．

解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0,

∴（y+2）2+4≥4

∴y2+4y+8的最小值是4．

（1）求代数式m2+m+1的最小值；

（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值．

21.某地2015年为做好“精准扶贫”工作,投入资金2000万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2017年投入资金2880万元,求2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率．

22.今年本市蜜桔大丰收,某水果商销售一种蜜桔,成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）之间的函数关系如图所示：

（1）求与之间的函数关系式；

（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少？

23.如图,有长为30米篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃,且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度A =10米）．设花圃的一边A B 长为x米,面积为y平方米．

（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

（2）如果所围成花圃的面积为63平方米,试求宽A B 的长；

（3）按题目的设计要求,　   　（填“能”或“不能”）围成面积为80平方米的花圃．

参

一．选择题（(每小题4分,总计40分。请将唯一正确答案的字母填写在表格内)）

1.下列方程中,是一元二次方程的是（　　）

A . x2﹣3=（x﹣2）（x+3） B . （x+3）（x﹣3）=6

C . =4 D . xy+2x=1

[答案]B 

[解析]

[分析]

根据一元二次方程的定义判断各个选项即可.

[详解]A .方程可变形为：x﹣3=0,是一元一次方程,故不是一元二次方程；

B .方程可变形为：x2﹣15=0,是一元二次方程；

C .不是整式方程,故不是一元二次方程；

D .有两个未知数,故不是一元二次方程.

故选B .

[点睛]本题考点：一元二次方程定义.

2.将一元二次方程﹣3x2﹣2=﹣4x化成一般形式为（　　）

A . 3x2﹣4x+2=0    B . 3x2﹣4x﹣2=0    C . 3x2+4x+2=0    D . 3x2+4x﹣2=0

[答案]A 

[解析]

[分析]

方程整理为一般形式即可．

[详解]方程整理得：3x2-4x+2=0,

故选A ．

[点睛]此题考查了一元二次方程的一般形式,其一般形式为A x2+B x+C =0（A ≠0）．

3.一元二次方程（x﹣1）2﹣2=0的根是（　　）

A . x=    B . x1=﹣1,x2=3

C . x=﹣    D . x1=1+,x2=1﹣

[答案]D 

[解析]

[分析]

用直接开平方法求解即可.

[详解]解：移项得：（x﹣1）2=2,

开平方得：x﹣1=±,

解得x1=1+,x2=1﹣.

故选D .

[点睛]本题考查解一元二次方程,利用直接开平方法是解此题的关键.

4.一元二次方程x2﹣8x﹣2=0,配方的结果是（　　）

A . （x+4）2=18    B . （x+4）2=14    C . （x﹣4）2=18    D . （x﹣4）2=14

[答案]C 

[解析]

x2-8x=2,

x2-8x+16=18,

（x-4）2=18．

故选C ．

[点睛]本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法．

5.用公式法求一元二次方程的根时,首先要确定A 、B 、C 的值．对于方程-4x2+3=5x,下列叙述正确的是（　　）

A . ,,    B . ,,

C . ,,    D . ,,

[答案]B 

[解析]

[分析]

用公式法求一元二次方程时,首先要把方程化为一般形式．

[详解]∵-4x2+3=5x

∴-4x2-5x+3=0,或4x2+5x-3=0

∴A =-4,B =-5,C =3或A =4,B =5,C =-3．

故选B ．

[点睛]此题考查了公式法解一元二次方程应用条件,首先要把方程化为一般形式．

6.方程x2－2x＝0的解为(　　)

A  x1＝0,x2＝2    B . x1＝0,x2＝－2

C . x1＝x2＝1    D . x＝2

[答案]A 

[解析]

分析：利用因式分解法解方程即可．

详解：x（x-2）=0,

x=0或x-2=0,

所以x1=0,x2=2．

故选A ．

点睛：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0,然后把方程左边进行因式分解,这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程,再解一次方程可得到一元二次方程的解．

7.关于的一元二次方程的根的情况是（    ）

A . 有两不相等实数根    B . 有两相等实数根

C . 无实数根    D . 不能确定

[答案]A 

[解析]

[分析]根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可.

[详解],

△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8,

∵(k+1)2≥0,

∴(k+1)2+8>0,

即△>0,

∴方程有两个不相等实数根,

故选A .

[点睛]本题考查了一元二次方程A x2+B x+C =0（A ≠0,A ,B ,C 为常数）的根的判别式△=B 2-4A C ．当△＞0时,方程有两个不相等的实数根；当△=0时,方程有两个相等的实数根；当△＜0时,方程没有实数根．

8.已知x1,x2是关于x的方程x2+B x﹣3=0的两根,且满足x1+x2﹣3x1x2=5,那么B 的值为（　　）

A . 4    B . ﹣4    C . 3    D . ﹣3

[答案]A 

[解析]

[分析]

根据一元二次方程根与系数的关系和整体代入思想即可得解.

[详解]∵x1,x2是关于x的方程x2+B x﹣3=0的两根,

∴x1+x2=﹣B ,x1x2=﹣3,

∴x1+x2﹣3x1x2=﹣B +9=5,

解得B =4.

故选A .

[点睛]本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）,

韦达定理：若一元二次方程A x2+B x+C =0(A ≠0)有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=.

9.河北省某市2018年现有森林和人工绿化面积为20万亩,为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”,现计划在两年后将本市的绿化面积提高到24.2万亩,设每年平均增长率为x,则列方程为（　　）

A . 20（1+x）×2=24.2    B . 20（1+x）2=24.2×2

C . 20+20（1+x）+20（1+x）2=24.2    D . 20（1+x）2=24.2

[答案]D 

[解析]

[分析]

根据题意得到一年后绿化面积为20（1+x）,则两年后为20（1+x）2,然后列出方程即可.

[详解]解：根据题意可得一年后绿化面积为20（1+x）,

两年后为20（1+x）2,

则方程为20（1+x）2=24.2.

故选D .

[点睛]本题考查列一元二次方程,理解题意找到题中相等的量是解此题的关键.

10.如图,在△A B C 中,∠A B C ＝90°,A B ＝8C m,B C ＝6C m．动点P,Q分别从点A ,B 同时开始移动,点P的速度为1C m/秒,点Q的速度为2C m/秒,点Q移动到点C 后停止,点P也随之停止运动．下列时间瞬间中,能使△PB Q的面积为15C m2的是（    ）

A . 2秒钟    B . 3秒钟    C . 4秒钟    D . 5秒钟

[答案]B 

[解析]

[详解]解：设动点P,Q运动t秒后,能使△PB Q的面积为15C m2,则B P为（8﹣t）C m,B Q为2tC m,由三角形的面积计算公式列方程得：×（8﹣t）×2t=15,解得t1=3,t2=5（当t=5时,B Q=10,不合题意,舍去）．故当动点P,Q运动3秒时,能使△PB Q的面积为15C m2．

故选B ．

[点睛]此题考查借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．

二．填空题（共5小题20分）

11.方程的解______.

[答案],

[解析]

依题意得：x=0或x﹣1=0,∴x=0或x=1．故答案是x=0或x=1．

12.若m是方程2x2-3x-1=0的一个根,则6m2-9m+2015的值为__________．

[答案]2018

[解析]

[分析]

根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．

[详解]由题意可知：2m2-3m-1=0,

∴2m2-3m=1

∴原式=3（2m2-3m）+2015=2018

故答案为2018

[点睛]本题考查一元二次方程的解,解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义,本题属于基础题型．

13.已知（x2+y2）（x2+y2﹣1）=12,则x2+y2的值是__________．

[答案]4

[解析]

试题分析：设x2＋y2=m,方程（x2＋y2）（x2＋y2－1）－12=0可化为m（m-1）-12=0,解得,又因x2＋y2＞0,所以x2＋y2=4．

考点：换元法解一元二次方程．

14.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是_____．

[答案]m＜ ．

[解析]

[分析]

利用一元二次方程根的判别式即可解答.

[详解]∵x2﹣x+m﹣1=0有两个不相等的实数根,

∴△=B 2﹣4A C =（﹣1）2﹣4×1×（m﹣1）=5﹣4m＞0,

解得m＜ ．

故答案为m＜ ．

[点睛]本题考查一元二次方程A x2+B x+C =0(A ≠0)根的判别式：

（1）当△=B 2﹣4A C ＞0时,方程有两个不相等的实数根；

（2）当△=B 2﹣4A C =0时,方程有有两个相等的实数根；

（3）当△=B 2﹣4A C ＜0时,方程没有实数根.

15.对于实数A ,B ,定义运算“※”如下：A ※B =A 2﹣A B ,例如,5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6,则x的值为_____．

[答案]1

[解析]

[分析]

根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的方程,解方程即可得解.

[详解]由题意得,（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6,

整理得,3x+3=6,

解得,x=1,

故答案为1．

[点睛]本题考查了解方程,涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等,根据题意正确得到方程是解题的关键．

三．解答题（共8小题90分）

16.用适当的方法解下列方程：

（1）9x2﹣100=0；                    （2）x（x﹣1）=2（x﹣1）；

（3）（x+2）（x+3）=20；               （4）3x2﹣4x﹣1=0．

[答案]（1）x=± ；（2）x1=1,x2=2；（3）x1=﹣7,x2=2；（4）x1=,x2=．

[解析]

[分析]

（1）利用直接开平方解答；

（2）利用提取公因式法解答；

（3）利用因式分解法解答；

（4）利用公式法解答.

[详解]（1）∵9x2﹣100=0,

∴9x2=100,

∴x2=,

解得：x=±；

（2）∵x（x﹣1）=2（x﹣1）,

∴x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0,

∴（x﹣1）（x﹣2）=0,

解得：x1=1,x2=2；

（3）∵（x+2）（x+3）=20,

∴x2+5x﹣14=0,

∴（x﹣2）（x+7）=0,

解得：x1=﹣7,x2=2；

（4）∵3x2﹣4x﹣1=0,

∴B 2﹣4A C =（﹣4）2﹣4×3×（﹣1）=28,

∴x=,

解得：x1=,x2=．

[点睛]本题考查用直接开平方法,因式分解法和公式法解一元二次方程,熟练掌握每个方法是解此题的关键.

17.若一元二次方程（m﹣3）x2+mx+m2﹣3m=0的常数项是0,求m的值．

[答案]m=0

[解析]

[分析]

根据题意得到m的一元二次方程m2﹣3m=0,且m﹣3≠0,求解方程即可.

[详解]∵一元二次方程（m﹣3）x2+mx+m2﹣3m=0的常数项是0,

∴m2﹣3m=0,且m﹣3≠0,

解得m=0,m=3（不符合题意舍）．

[点睛]本题主要考查一元二次方程的定义,解此题的关键在于根据题意可得到m的方程,需要注意的是关于x的方程的二次项系数不能为0.

18.已知关于x的一元二次方程(m为常数)．

（1）求证：不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根；

（2）若该方程一个根为3,求m的值．

[答案]（1）见解析；（2）m的值为3或1．

[解析]

分析：（1）先求出△的值,再根据根的情况与判别式△的关系即可得出答案；

（2）将方程的已知根代入方程,得到关于m的方程,求解即可．

详解：（1）原方程可化为．

因为A 1,,, 

所以．

所以不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根．

（2）因为一个根为3,将x3代入,得

． 

解这个方程,得,． 

所以m的值为3或1．

点睛：本题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

19.已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k﹣1=0有两个不相等的实数根x1和x2．

（1）求k的取值范围；

（2）当k=时,求x12+x22的值．

[答案]（1）k＜2；（2）6-.

[解析]

[分析]

（1）利用一元二次方根的判别式即可解答；

（2）利用一元二次方程根与系数的关系,进行变形代入即可解答.

[详解]（1）根据题意得：△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0,

解得：k＜2；

（2）当k=时,方程变形为x2﹣2x+﹣1=0,

则x1+x2=2,x1x2=﹣1,

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2 x1x2=22﹣2（﹣1）=6-.

[点睛]本题主要考查一元二次方程根的判别式与根和系数的关系,熟练掌握其相关知识点是解此题的关键.

20.先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题．

求代数式y2+4y+8的最小值．

解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0,

∴（y+2）2+4≥4

∴y2+4y+8的最小值是4．

（1）求代数式m2+m+1的最小值；

（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值．

[答案]（1）；（2）5．

[解析]

分析]

（1）根据题中的解法即可得到答案；

（2）同理（1）.

[详解]（1）m2+m+1=m2+m++=（m+）2+≥,

则m2+m+1的最小值是；

（2）4﹣x2+2x=﹣x2+2x﹣1+5=﹣（x﹣1）2+5≤5,

则4﹣x2+2x的最大值是5．

[点睛]本题主要考查了配方法与偶次方的非负性,解此题的关键在于利用配方法得到完全平方式,再利用非负数的性质即可得解.

21.某地2015年为做好“精准扶贫”工作,投入资金2000万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2017年投入资金2880万元,求2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率．

[答案]20%

[解析]

[分析]设年平均增长率为x,根据：2015年投入资金给×（1+增长率）2=2017年投入资金,列出方程求解可得.

[详解]设2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,

根据题意得：2000（1+x）2=2880,

解得：x1=0.2=20%,x2=﹣2.2（不合题意,舍去）,

答：2015年到2017年该地投入异地安置资金的年平均增长率为20%．

[点睛]本题主要考查一元二次方程的应用,由题意准确抓住相等关系并据此列出方程是解题的关键．

22.今年本市蜜桔大丰收,某水果商销售一种蜜桔,成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）之间的函数关系如图所示：

（1）求与之间的函数关系式；

（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少？

[答案]（1）；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为15元.

[解析]

[分析]

（1）观察函数图象找出点的坐标,再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；

（2）根据总利润＝每千克的销售利润×销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取符合题意值即可得出结论．

[详解]（1）设与之间的函数关系式,

把,代入得：,解得：,

∴与之间的函数关系式；

（2）根据题意得：,

整理得：,

解得：,（不合题意,舍去）.

答：该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为15元.

[点睛]本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用,解题的关键是：（1）找准点的坐标,利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系,正确列出一元二次方程．

23.如图,有长为30米的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃,且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可使用长度A =10米）．设花圃的一边A B 长为x米,面积为y平方米．

（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

（2）如果所围成的花圃的面积为63平方米,试求宽A B 的长；

（3）按题目的设计要求,　   　（填“能”或“不能”）围成面积为80平方米的花圃．

[答案]（1）y=﹣3x2+30x；（2）A B 长为7米；（3）不能.

[解析]

[分析]

（1）设A B 长为x米,则B C 长为：（30﹣3x）米,该花圃的面积为：（30﹣3x）x；进而得出函数关系即可；

（2）将y=63代入（1）中所求的函数关系式,得出关于x的一元二次方程,解方程求出符合题意的x的值,即是所求A B 的长；

（3）将y=80代入（1）中所求的函数关系式,得出关于x的一元二次方程,利用根的判别式进行判定即可．

[详解]（1）由题意得：

y=x（30﹣3x）,即y=﹣3x2+30x；

（2）当y=63时,﹣3x2+30x=63,

解此方程得x1=7,x2=3．

当x=7时,30﹣3x=9＜10,符合题意；

当x=3时,30﹣3x=21＞10,不符合题意,舍去；

故所围成的花圃的面积为63平方米时,宽A B 的长为7米；

（3）不能围成面积为80平方米的花圃．

理由：当y=80时,﹣3x2+30x=80,

整理得3x2﹣30x+80=0,

∵△=（﹣30）2﹣4×3×80=﹣60＜0,

∴这个方程无实数根,

∴不能围成面积为80平方米的花圃．

故答案为不能．

[点睛]考查了二次函数和一元二次方程的实际应用,根据题目的条件,合理地建立函数关系式是解题关键．下载本文