一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，中，，，的平分线交于点，平分．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C，则∠C=∠ABC，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C不一定等于30°，故②错误；③由BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，得到∠ABF=∠EBD．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA，∠AEB=∠C+∠EBD，得到∠AFE=∠AEB，可得③正确；④连接EG，先证明△ABN≌△GBN，得到AN=GN，证出△ANE≌△GNF，得∠NAE=∠NGF，进而得到GF∥AE，故④正确；⑤由AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，得到EF不一定等于AE，于是EF不一定等于FG，故⑤错误．
【详解】
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，
故①正确；
若∠EBC=∠C，则∠C=∠ABC，
∵∠BAC=90°，
那么∠C=30°，但∠C不一定等于30°，
故②错误；
∵BE、AG分别是∠ABC、∠DAC的平分线，
∴∠ABF=∠EBD，
∵∠AFE=∠BAD+∠ABF，∠AEB=∠C+∠EBD，
又∵∠BAD=∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
故③正确；
∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE，
∴AN⊥BE，FN=EN，
在△ABN与△GBN中，
∵，
∴△ABN≌△GBN（ASA），
∴AN=GN，
又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，
∴△ANE≌△GNF（SAS），
∴∠NAE=∠NGF，
∴GF∥AE，即GF∥AC，
故④正确；
∵AE=AF，AE=FG，
而△AEF不一定是等边三角形，
∴EF不一定等于AE，
∴EF不一定等于FG，
故⑤错误．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．
2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．
【答案】10
【解析】
利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE的长为10，即PE+PF的最小值为10.
故答案为10.
3．在锐角三角形ABC中．BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．
【答案】4
【解析】
【分析】
过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．
【详解】
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，
则CE即为CM+MN的最小值，
∵BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC•cos45°=×=4．
∴CM+MN的最小值为4．
【点睛】
本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
4．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．
【答案】30°．
【解析】
【分析】
如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB= ∠P'O P''=30°.
【详解】
解：如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB、OA于M、N，
由轴对称△PMN周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"
∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN周长的最小
∴P'P"=5
由对称OP=OP'=OP"=5
∴△P'OP"为等边三角形
∴∠P'OP"=60
∵∠P'OB=∠POB，∠P"OA=∠POA
∴∠AOB= ∠P'O P''=30°.
故答案为30°.
【点睛】
本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.
5．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，则△ADE的周长为_____．
【答案】14．
【解析】
【分析】
先根据角平分线的定义及平行线的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC＝14．
【详解】
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
同理FE＝EC，
∴△AED的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝8+6＝14．
故答案为：14．
【点睛】
此题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的等角对等边的性质.
6．如图，是的角平分线，，垂足为，且交线段于点，连结，若，设，则关于的函数表达式为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由等腰三角形的性质可得BD是AE的垂直平分线，进而得到AD＝ED，求出的度数即可得到关于的函数表达式．
【详解】
∵是的角平分线，
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．
7．如图，在四边形中，，，，点为边上一点，连接.，与交于点，且，若，，则的长为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，知点A,C都在BD的垂直平分线上，因此，可连接交于点，易证是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC的长度，应用勾股定理可求解.
【详解】
解：如图，连接交于点
∵，，，
∴垂直平分，是等边三角形
∴，，
∵
∴，
∴
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴，
∴
∴
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.
8．△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为_____．
【答案】117°或108°或84°．
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质进行分割，写出△ABC中的最大内角的所有可能值.
【详解】
①∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣24°）＝78°，∠DAC＝∠DCA＝∠BDA＝39°，如图1所示：
∴∠BAC＝78°+39°＝117°；
②∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠ACD＝2∠DBA＝48°，如图2所示：
∴∠DAC＝180°﹣2×48°＝84°，
∴∠BAC＝24°+84°＝108°；
③∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠DAC＝2∠DBA＝48°，如图3所示：
∴∠BAC＝24°+48°＝72°，∠C＝180°﹣2×48°＝84°；
∴其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为117°或108°或84°，
故答案为：117°或108°或84°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分割找出所有情况.
9．如图，已知，平分，，若，，则=____________．
【答案】
【解析】
【分析】
延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于点F.由已知条件推出△BEM是等边三角形，△FDE是等边三角形，在△DNM中求出NM的长度，即可求出BC的长度.
【详解】
如图，延长ED交BC于点M，延长AD交BC于点N，作DF∥BC于点F，
∵，平分，∴AN⊥BC，BN=CN，
∵，∴△BEM是等边三角形，
∴△FDE是等边三角形，
∵，，∴，
∵△BEM是等边三角形，∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线构造等边三角形.
10．已知，∠MON=30°，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A7B7A8的边长为______．
【答案】a
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到A2B2=2B1A2，进而得出A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2…从而得到答案．
【详解】
∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°．
∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°．
又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°．
∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=a，∴A2B1=a．
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．
∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4a，A4B4=8B1A2=8a，A5B5=16B1A2=16a，以此类推：A7B7=B1A2=a．
故答案为：a．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题的关键．
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
11．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质可得BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，利用SAS可证明△ABD≌△ACD，从而可判断①正确；利用ASA可证明△ADE≌△ADF，从而可判断③正确；在Rt△ADE与Rt△ADF中，∠EAD=∠FAD=30°，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得2DE=2DF=AD，从而可判断②正确；同理可得2BE=2CF=BD，继而可得4BE=4CF=AB，从而可判断④正确，由此即可得答案.
【详解】
∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，
∴BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，
在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，故①正确；
在△ADE与△ADF中
，
∴△ADE≌△ADF，故③正确；
∵在Rt△ADE与Rt△ADF中，
∠EAD=∠FAD=30°，
∴2DE=2DF=AD，故②正确；
同理2BE=2CF=BD，
∵AB=2BD，
∴4BE=4CF=AB，故④正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、含30度的直角三角形的性质、全等三角形的判定等，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.
12．如图，，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①；②FA平分；③；④．其中一定正确的结论有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质证出△BAE≌△DAC，可得BE=CD，从而得出①正确；
过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD，由等角的补角相等得出∠AEM=∠CAN，由AAS可证△AME≌△ANC，得到AM=AN，由角平分线的判定定理得到FA平分∠EFC，从而得出②正确；
在FA上截取FG，使FG=FE，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE，可得AG=CF，即可求得AF=CF+EF，从而得出④正确；
根据CF+EF=AF，CF+DF=CD，得出CD≠AF，从而得出FE≠FD，即可得出③错误．
【详解】
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴∠BAD=∠EAC=60°，AE=AC=EC．
∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠DAC，
在△BAE和△DAC中，
∵，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE=CD，①正确；
过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．
∵△BAE≌△DAC，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠AEM=∠ACN．
∵AM⊥BF，AN⊥DC，
∴∠AME=∠ANC．
在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，
∴△AME≌△ANC，
∴AM=AN．
∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；
在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．
∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，
∴∠AEF+∠ACD=180°，
∴∠EAC+∠EFC=180°．
∵∠EAC=60°，
∴∠EFC=120°．
∵FA平分∠EFC，
∴∠EFA=∠CFA=60°．
∵EF=FG，∠EFA=60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴EF=EG．
∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，
∴∠AEG=∠CEF，
在△AGE和△CFE中，
∵，
∴△AGE≌△CFE（SAS），
∴AG=CF．
∵AF=AG+FG，
∴AF=CF+EF，④正确；
∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，
∴FE≠FD，③错误，
∴正确的结论有3个．
故选C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键．
13．在中，，点是边上两点，且垂直平分平分，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据CE垂直平分AD，得AC=CD，再根据等腰在三角形的三线合一，得，结合角平分线定义和，得，则．
【详解】
∵CE垂直平分AD
∴AC=CD＝6cm，
∵CD平分
∴
∴
∴
∴
∴
故选：A
【点睛】
本题考查的知识点主要是等腰三角形的性质的“三线合一”性质定理及判定“等角对等边”，熟记并能熟练运用这些定理是解题的关键．
14．如图，已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②连结AC、BC；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB＝a；以上画法正确的顺序是（ ）
A．①②③④ B．①④③② C．①④②③ D．②①④③
【答案】B
【解析】
【分析】
根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.
【详解】
解：已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：
①画射线AM；
②在射线AM上截取AB＝a；
③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；
④连结AC、BC．
△ABC即为所求作的三角形．
故选答案为B．
【点睛】
本题考查了尺规作图和等边三角形的性质，解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.
15．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
【答案】B
【解析】
根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：
如图，作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH．
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°．
∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°．
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°．
故选B．
16．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6,∠BAC=120°，点P、Q分别是线段BC、射线BA上一点，则CQ+PQ的最小值为（ ）
A．6 B．7.5 C．9 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
通过作点C关于直线AB的对称点，利用点到直线的距离垂线段最短，即可求解.
【详解】
解：如图，作点C关于直线AB的对称点，交射线BA于
H，过点作BC的垂线，垂足为P，与AB交于点Q，CQ+PQ的长即为的长.
∵AB=AC=6,∠BAC=120°，
∴∠ABC=30°，
易得BC=，
在Rt△BHC中，∠ABC=30°，
∴HC=，∠BCH=60°，
∴，
在中，=60°，
∴
∴CQ+PQ的最小值为9，
故选：C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质以及利用对称点求最小值的问题，认真审题作出辅助线是解题的关键.
17．如图，已知等边△ABC的面积为4， P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR＋QR的最小值是（ ）
A．3 B．2 C． D．4
【答案】B
【解析】
如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR=ER，
当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PE的长就是PR+QR的最小值，
设等边△ABC的边长为x，则高为x，
∵等边△ABC的面积为4，
∴x×x=4，
解得x=4，
∴等边△ABC的高为x=2，
即PE=2，所以PR+QR的最小值是2，
故选B.
【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题等，解题的关键是正确添加辅助线构造出最短路径.
18．如图，已知，点A（0，0）、B（4，0）、C（0，4），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第2017个等边三角形的边长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
根据锐角三函数的性质，由OB=，OC=1，可得∠OCB=90°，然后根据等边三角形的性质，可知∠A1AB=60°，进而可得∠CAA1=30°，∠CA1O=90°，因此可推导出∠A2A1B=30°，同理得到∠CA2B1=∠CA3B2=∠CA4B3=90°，∠A2A1B=∠A3A2B2=∠A4A3B3=30°，故可得后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半，即OA1=OCcos∠CAA1=，B1A2=，以此类推，可知第2017个等边三角形的边长为：.
故选A.
【点睛】
此题主要考查了等边三角形的性质，属于规律型题目，解题关键是仔细审图，得出：后一个等边三角形的边长等于前一个等边三角形的边长的一半.
19．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，则△BCD的周长为（ ）
A．13 B．15 C．18 D．21
【答案】A
【解析】
根据线段垂直平分线的性质，可由AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线交AC于D，得到AD=BD，进而得出△BCD的周长为：CD+BD+BC=AC+BC=8+5=13．
故选A．
点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
20．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB，点P是x轴上的一个动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，对应的点P的坐标和△ABP的最小周长分别为( )
A．(1，0)， B．(3，0)， C．(2,0), D．(2,0),
【答案】D
【解析】
作A关于x轴的对称点N（1，-2），连接BN与x轴的交点即为点P的位置，此时△ABP的周长最小.
设直线BN的解析式为，
∵N(1，-2)，B(3，2)，
∴ ，
解得，
∴，
当时，，
解得，，
∴点P的坐标为（2，0）；
∵A(1，2)，B(3，2)，
∴AB//x轴，
∵AN⊥x轴，
∴AB⊥x轴，
在Rt△ABC中，AB＝2，AN＝4，
由勾股定理得，
BN＝，
∵AP=NP,
∴△ABP的周长最小值为：AB+BP+AP=AB+BP+PN=AB+BN=2+2.
故选D.
点睛：本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P的位置是解题的关键.下载本文
