一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上）
1. 的倒数是
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是（）
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
3. 某商品的标价为元，折销售仍赚元，则商品进价为（）元．
A. B. C. D.
4. 下列运算中，结果正确的是（）
A.＝
B.＝
C. D.＝
5. 将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱剪开，展开后不能得到的平面图形是（）
A. B.
C. D.
6. 下列说法错误的是（）
A.对顶角相等
B.两点之间所有连线中，线段最短
C.等角的补角相等
D.不相交的两条直线叫做平行线
7. 已知，用含有，的代数式表示结果正确的是( )
A. B. C. D.
8. 实数，在数轴上的位置如图所示，给出如下结论：①；②；③；④；
⑤．其中正确的结论是（）
A.①②③
B.②③④
C.②③⑤
D.②④⑤
9. 某车间原计划小时生产一批零件，后来每小时多生产件，用了小时不但完成了任务，而且还多生产件.设原计划每小时生产个零件，则所列方程为( )
A. B.
C. D.
10. 完全相同的个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为，的大矩形，则图中阴影部分的周长是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 地球与月球的平均距离为，将这个数用科学记数法表示为________．
12. 比较大小；________．（填“”、“＝”、“”）
13. 在墙上固定一根木棒时，至少需要两根钉子，这其中所体现的“基本事实”是________．
14. 如图，＝，＝，平分，则＝________度．
15. 点、、在同一条数轴上，其中点、表示的数分别为、，若＝，则等于________．
16. 如图示，一副三角尺有公共顶点，若＝，则＝________度．
17. 已知关于的一元一次方程＝的解为＝，那么关于的一元一次方程
＝的解为＝________．
18. 实验室里，水平圆桌面上有甲乙丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两根相同的管子在容器的高度处连接（即管子底端离容器底），现三个容器中，只有甲中有水，水位高，
如图所示．若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水分钟，乙的水位高度为，则开始注入
________分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是．
三、解答题（本大题共10小题，共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）
19. 计算
（1）
（2）
20. 解方程（组）
（1）＝
（2）
（3）
21. 先化简，再求值：，其中＝．
22. 如图所示方格纸中，点，三点均在格点（格点指网格中水平线和竖直线的交点）上，直线，交于格点，点是直线上的格点，按要求画图并回答问题．
（1）过点画直线的垂线，交直线于点；过点画直线的垂线，垂足为；在图中找一格点，画直线，使得；
（2）线段的长度是点到直线________的距离，线段的长度是点________到直线的距离．
23. 如图，点是上一点，点是的中点，若＝，＝，求的长．
24. 如图，直线，相交于点，．（1）已知＝，求的度数；
（2）如果是的平分线，那么是的平分线吗？说明理由．
25. 小明同学在查阅大数学家高斯的资料时，知道了高斯如何求．小明于是对从开始连续奇数的和进行了研究，发现如下式子：
第个等式：＝；第个等式：＝；第个等式：＝
探索以上等式的规律，解决下列问题：
（1）＝________；
（2）完成第个等式的填空：……________＝；
（3）利用上述结论，计算．
26. 运动场环形跑道周长米，小红跑步的速度是爷爷的倍，小红在爷爷前面米，他们沿跑道的同一方向同时出发，后小红第一次与爷爷相遇．小红和爷爷跑步的速度各是多少？
27. 在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如右图所示．
（1）现已给出这个几何体的俯视图，请你画出这个几何体的主视图与左视图；
（2）若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，
①在图所示的几何体上最多可以再添加几个小正方体？
②图所示的几何体中最多可以拿走几个小正方体？
③在②的情况下，把这个几何体放置在墙角，如图所示是此时这个几何体放置的俯视图，若给这个几何体表面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少？28. 如图，射线上有三点，，满足＝，＝，＝．点从点出发，沿方向以秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点，停止运动．
（1）若点运动速度为秒，经过多长时间，两点相遇？
（2）当＝时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度；
（3）自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值．
参与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.请将下列各题唯一正确的选项代号填涂在答题卡相应的位置上）
1.
【答案】
D
【考点】
倒数
【解答】
解：∵根据倒数的定义即若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数，
∴的倒数是．
故选.
2.
【答案】
A
【考点】
有理数的乘法
有理数的乘方
【解答】
、＝，＝，所以＝，故本选项正确；
、＝，＝，故本选项错误；
、＝，＝，所以，故本选项错误；3.
【答案】
B
【考点】
一元一次方程的应用——打折销售问题
一元一次方程的应用——工程进度问题
由实际问题抽象出一元一次方程
【解答】
设商品的进价为每件元，售价为每件元，由题意，得
＝，
解得：＝．
4.
【答案】
C
【考点】
合并同类项
【解答】
、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意（1）、，故选项符合题意（2）、
＝，故选项不符合题意（3）故选：．
5.
【答案】
D
【考点】
几何体的展开图
【解答】
由四棱柱的四个侧面及底面可知，、、都可以拼成无盖的正方体，但拼成的有一个面重合，有两面没有的图形．
所以将一个无盖正方体形状盒子的表面沿某些棱展开后不能得到的平面图形是．
6.
【答案】
D
【考点】
对顶角
平行线的概念及表示
邻补角
线段的性质：两点之间线段最短
余角和补角
【解答】
、对顶角相等，正确；
、两点之间所有连线中，线段最短，正确；、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，错误；
7.
【答案】
C
【考点】
同底数幂的乘法
幂的乘方与积的乘方
【解答】
解：.
∵，
∴．
故选.
8.
【答案】
C
【考点】
绝对值
实数
数轴
有理数的加法
在数轴上表示实数
有理数的减法
【解答】
根据数轴可知：，且．
①，原来的说法错误；
②正确；
③正确；
④，原来的说法错误；
⑤正确．
9.
【答案】
B
【考点】
由实际问题抽象出一元一次方程
【解答】
解：设原计划每小时生产个零件，
则实际每小时生产个零件．
根据等量关系列方程得，
．
故选．
10. D
【考点】
整式的加减
列代数式
【解答】
解：设小长方形的长为，宽为，
则，
阴影部分的周长为. 故选.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11.
【答案】
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解答】
将这个数用科学记数法表示为，
12.
【答案】
【考点】
有理数大小比较
绝对值
相反数
【解答】
∵＝，＝，
∴．
13.
【答案】
两点确定一条直线
【考点】
直线的性质：两点确定一条直线
【解答】
在墙上固定一根木条至少需要两根钉子，依据的数学道理是两点确定一条直线．14.
【答案】
【考点】
角的计算
角平分线的定义
【解答】
＝，＝，
∴＝＝＝，∴＝．
15.
【答案】
或
【考点】
数轴
两点间的距离
【解答】
或此题画图时会出现两种情况，即点在线段内，点在线段外，所以要分两种情况计算．点、表示的数分别为、，
＝．
第一种情况：在外，
＝＝；
第二种情况：在内，
＝＝．
16.
【答案】
【考点】
余角和补角
【解答】
∵＝＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
∵＝，＝
∴＝，
∴＝，
17.
【答案】
【考点】
一元一次方程的解
【解答】
∵方程＝的解为＝，
∴＝中＝，
解得＝．
18.
【答案】
分钟或分钟或
【考点】一元一次方程的应用——其他问题
认识立体图形
一元一次方程的应用——工程进度问题
【解答】
设注水时间为分钟，
当甲的水位高度比乙的水位高度高，
∴
∴＝，
当甲没有注水前且乙的水位高度比甲的水位高度高，
∴，
∴，
当甲开始注水，且乙的水位高度比甲的水位高度高，
设甲、乙、丙底面半径分别是，，
∴
∴，
三、解答题（本大题共10小题，共76分，应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）
19.
【答案】
原式＝＝；
原式．
【考点】
有理数的混合运算
【解答】
原式＝＝；
原式．
20.
【答案】
方程整理得：＝，
解得：＝；
去分母得：＝，
移项合并得，＝，
解得：；，
①②得：＝，
解得：＝，
把＝代入①得：＝，
则方程组的解为．
【考点】
代入消元法解二元一次方程组
解一元一次方程
二元一次方程组的解
【解答】
方程整理得：＝，
解得：＝；
去分母得：＝，
移项合并得，＝，
解得：；
，
①②得：＝，
解得：＝，
把＝代入①得：＝，
则方程组的解为．
21.
【答案】
原式＝＝，∵＝，
∴＝，＝，
解得：＝，＝，
则原式＝＝．
【考点】
非负数的性质：算术平方根
非负数的性质：偶次方
非负数的性质：绝对值
整式的加减--化简求值
【解答】
原式＝＝，∵＝，
∴＝，＝，
解得：＝，＝，
则原式＝＝．22.
【答案】
过点画直线的垂线，交直线于点；过点画直线的垂线，垂足为；在图中找一格点，画直线，使得；
,
【考点】
点到直线的距离
平行线的判定与性质
作图—应用与设计作图
【解答】
过点画直线的垂线，交直线于点；过点画直线的垂线，垂足为；在图中找一格点，画直线，使得；
线段的长度是点到直线的距离，线段的长度是点到直线的距离．
故答案为，．
23.
【答案】
∵＝，＝，
∴＝＝＝．
∵点是的中点，
∴＝＝＝．
∴＝＝＝．
【考点】
两点间的距离
【解答】
∵＝，＝，
∴＝＝＝．
∵点是的中点，
∴＝＝＝．
∴＝＝＝．
24.
【答案】
∵．
∴＝＝，
∵＝＝，
∴＝＝，
是的平分线，
∵是的平分线，
∴＝＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
即：平分．
【考点】
角平分线的定义
对顶角
度分秒的换算
邻补角
垂线
【解答】
∵．
∴＝＝，
∵＝＝，
∴＝＝，是的平分线，
∵是的平分线，
∴＝＝＝，
∵＝＝，∴＝，
即：平分．
25.
【答案】＝
＝
＝
＝
＝．
【考点】
数学常识
有理数的混合运算
规律型：图形的变化类
规律型：数字的变化类
规律型：点的坐标
【解答】
∵＝，
∴是第个奇数，
∴＝，
故答案为：；
由题意可得，
＝，
故答案为：；
＝
＝
＝
＝
＝．
26.
【答案】
爷爷跑步的速度是米/分，则小红跑步的速度是米/分【考点】
一元一次方程的应用——其他问题
一元一次方程的应用——工程进度问题
【解答】
设爷爷跑步的速度是米/分，则小红跑步的速度是米/分，由题意知，＝
解得＝
则＝．
27.
【答案】如图所示；
①个；
②个；
③根据每一个面的面积是＝，
∴需要喷漆的面积最少是：＝．
【考点】
作图-三视图
由三视图判断几何体
几何体的表面积
【解答】
如图所示；
①个；
②个；
③根据每一个面的面积是＝，
∴需要喷漆的面积最少是：＝．
28.
【答案】
设经过，、两点相遇，
∴＝，
解得：＝，
答：经过后、两点相遇．
设的速度为，经过后，点运动到的位置恰好是线段的中点
点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，∴点对应数轴上的，点对应数轴上的，
∵点运动到的位置恰好是线段的中点，
∴，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴解得：＝或＝，
当＝时，此时＝，
而点到达点所需要时间为，
当＝时，
此时，
而点到达点所需要的时间为，
综上所述，当＝或．
设经过时，点在之间，
点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，∴点对应数轴上的，
∵和的中点，
∴点对应数轴上的，点对应数轴上的，
∴＝，＝，＝，
∴原式
【考点】
一元一次方程的应用——其他问题
两点间的距离
一元一次方程的应用——工程进度问题
【解答】
设经过，、两点相遇，
∴＝，
解得：＝，
答：经过后、两点相遇．
设的速度为，经过后，点运动到的位置恰好是线段的中点
点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，∴点对应数轴上的，点对应数轴上的，
∵点运动到的位置恰好是线段的中点，
∴，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴解得：＝或＝，
当＝时，
此时＝，
而点到达点所需要时间为，
当＝时，
此时，而点到达点所需要的时间为，
综上所述，当＝或．
设经过时，点在之间，
点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，点对应数轴上的，∴点对应数轴上的，
∵和的中点，
∴点对应数轴上的，点对应数轴上的，
∴＝，＝，＝，
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