一、导数的概念和几何意义

    1。 函数的平均变化率：函数在区间上的平均变化率为:。

    2. 导数的定义：设函数在区间上有定义，，若无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称函数在处可导,并称该常数A为函数在处的导数，记作.函数在处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

    3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量；(2）求平均变化率:；（3）取极限，当无限趋近与0时，无限趋近与一个常数A，则.

    4. 导数的几何意义:

    函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。由此,可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：

   （1）求出在x0处的导数，即为曲线在点处的切线的斜率;

   （2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。

    当点不在上时,求经过点P的的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线在点处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为。

    5。 导数的物理意义：

质点做直线运动的位移S是时间t的函数，则表示瞬时速度,表示瞬时加速度。

二、导数的运算

1。 常见函数的导数：

（1）（k， b为常数）;        （2）(C为常数)；

（3）；                        （4)；

(5)；                        (6);

（7)；                    （8）（α为常数）；

（9）;        （10）；

（11)；                        （12）；

(13）；                    （14）。

    2. 函数的和、差、积、商的导数：

   （1)；         （2）(C为常数）；

   (3）； （4）.

    3。 简单复合函数的导数：

    若，则，即。

三、导数的应用

    1. 求函数的单调性：

    利用导数求函数单调性的基本方法:设函数在区间内可导，

   (1）如果恒,则函数在区间上为增函数；

   （2）如果恒，则函数在区间上为减函数；

   （3)如果恒,则函数在区间上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数的定义域；求导数；

解不等式，解集在定义域内的不间断区间为增区间; 解不等式，解集在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来， 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围）：

设函数在区间内可导，

(1）如果函数在区间上为增函数,则（其中使的值不构成区间）;

(2) 如果函数在区间上为减函数，则(其中使的值不构成区间）;

(3） 如果函数在区间上为常数函数,则恒成立.

    2. 求函数的极值：

    设函数在及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有（或），则称是函数的极小值（或极大值）。

可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是:

（1）确定函数的定义域;（2）求导数；(3）求方程的全部实根,，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时,和值的变化情况：

    3。 求函数的最大值与最小值:

    如果函数在定义域I内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一,但在定义域内的最值是唯一的。

求函数在区间上的最大值和最小值的步骤:

   （1）求在区间上的极值;

   （2）将第一步中求得的极值与比较，得到在区间上的最大值与最小值。

    4。 解决不等式的有关问题：

（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题)可考虑值域.

的值域是时，不等式恒成立的充要条件是,即;不等式恒成立的充要条件是,即。

的值域是时,不等式恒成立的充要条件是；不等式恒成立的充要条件是.

   （2）证明不等式可转化为证明，或利用函数的单调性，转化为证明。

    5. 导数在实际生活中的应用：

    实际生活求解最大(小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明.下载本文