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作为整式乘除的前奏，幂的运算看似非常简单，实际运用起来却灵活多变。不过，只要熟悉运算的一些基本方法原则，问题就迎刃而解了。而且通过这些方法原则的学习，不但能使我们熟悉幂的运算，还可得到全面的思维训练，现在对此做一探索。

幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式：

①am×an=am+n  ②(am)n=amn

③(ab)m=ambm  ④am÷an=am-n

只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。

问题1

已知a7am=a3a10，求m的值。

思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。

方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。

方法原则：可用公式套一套。

但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。

问题2

已知xn=2,yn=3,求(x2y)3n的值。

思路探索：

(x2y)3n中没有xn和yn，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有xn和yn的运算。

因此可简解为，(x2y)3n=x6ny3n=(xn)6(yn)3=26×33=1728

方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。

方法原则：整体不同靠一靠。

然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？

问题3

已知a3=2,am=3,an=5，求am+2n+6的值。

思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。

简解：am+2n+6=ama2na6=am(an)2(a3)2=3×25×4=300

方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。

方法原则：逆用公式倒一倒。

当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？

问题4

已知22x+3－22x+1=48，求x的值。

思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。

简解：

22x+3－22x+1

=22x×23－22x×21

=8×22x－2×22x

=6×22x=48 

∴22x=8 ∴2x=3∴x=1.5

方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。

问题5

已知m+1÷2n÷33m=81,求正整数m、n的值。

思路探索：幂的底数不一致使运算没法进行，怎样把它们变一致呢？把常数底数都变成质数底数就统一了。

简解：

m+1÷2n÷33m

=24m+1×34m+1÷2n÷33m

=24m+1-n×3m+1

=81=34

∵m、n是正整数 

∴m+1=4,4m+1－n=0

∴m=3,n=13

方法思考：冪的底数是常数时，通常把它们分解质因数，然后按公式3展开，即可化成同底数冪了。

问题6

已知2a=3,2b=6,2c=12，求a、b、c的关系。

思路探索：求a、b、c的关系，关键看2a、2b、2c的关系，即3、6、12的关系。6是3的2倍，12是6的2倍，所以2c=2×2b=4×2a,由此可求。

简解：

由题意知

2c=2×2b=4×2a

∴2c=2b+1=2a+2

∴c=b+1=a+2

方法思考：底数是相同的常数时，通常把冪的值同乘以适当的常数变相同，然后比较它们的指数。

方法原则：系数质数和指数，常数底数造一造。

综合用到以上方法就更需要引起注意。

问题7

已知2x=m,2y=n,求22x+3y+1的值。

思路探索：要求的代数式与已知距离甚远，考虑逆用公式将其变成已知的代数式的形式。

简解：

22x+3y+1

=22x×23y×21

=(2x)2×(2y)3×2

=m2n3×2

=2m2n3

方法思考：综合运用化质数、逆用公式和整体代人的方法。

问题8

已知a=244,b=333,c=422，比较a、b、c的大小。

思路探索：同底数幂比较大小观察指数大小即可，底数不能变相同的，只好逆用公式将指数变相同，比较底数大小了。

简解：

a=244=24×11=（24）11=1611,

b=333=33×11=（33）11=2711

c=422=42×11=1611

∴a=c＜b

方法思考：化同指数冪是比较底数不能化相同的冪的又一种方法。

思考归纳

幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，不但会直接套用公式，还要能逆用。其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解。第三，底数是常数时通常将其化成质数积的乘方的形式，有常数指数的通常求出其值，作为该项的系数。第四，底数不同而指数可变相同的可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘。

一、同底数幂的乘法

1、同底数幂的乘法

同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

公式表示为：am·an＝am＋n（m，n都是正整数）

2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘

注意点：

（1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.

（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.

简单练习

一、选择题

1.下列计算正确的是(     )

A.ａ2+ａ3=ａ5 

B.ａ2·ａ3=ａ5

C.3m+2m=5m 

D.ａ2+ａ2=2ａ4

2.下列计算错误的是(     )

A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2

B.ａm+ａm=2ａm 

C.3m+2m=5m

D.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m

3.下列四个算式中

①ａ3·ａ3=2ａ3 

②ｘ3+ｘ3=ｘ6

③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ5 　　　　 

④p2+p2+p2=3p2 正确的有(     )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是(     )

A.100×102=103 B.1000×1010=103

C.100×103=105 D.100×1000=104

二、填空题

1.ａ4·ａ4=  ；ａ4＋ａ4=  。  

2、 b2·b·b7=  。

3、103·  =1010

4、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5=  。

5、ａ5·ａ(     )=ａ2·(     )4=ａ18

6、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5=  。

中等练习：

1、(-10)3·10+100·(-102)的运算结果是(     )

A.108 B.-2×104 C.0 D.-104

2、(ｘ-ｙ)6·(ｙ-ｘ)5=  。

3、10m·10m-1·100=  。

4、a与b互为相反数且都不为0，n为正整数，则下列两数互为相反数的是(     )

A.ａ2n-1与-ｂ2n-1

B.ａ2n-1与ｂ2n-1

C.ａ2n与ｂ2n

D.ａ2n与ｂ2n

5.※计算(ａ-ｂ)n·(ｂ-ａ)n-1等于(     )

A.(ａ-ｂ)2n-1 

B.(ｂ-ａ)2n-1

C.＋(ａ-ｂ)2n-1

D.非以上答案

6.※ｘ7等于(     )

A.(-ｘ2)·ｘ5

B、(-ｘ2)·(-ｘ5) 

C.(-ｘ)3·ｘ4

D.(-ｘ)·(-ｘ)6

7、解答题

(1)–ｘ2·(-ｘ3) 

(2)–ａ·(-ａ)2·ａ3

(3)–ｂ2·(-ｂ)2·(-ｂ)3

(4) ｘ·(-ｘ2)·(-ｘ)2·(-ｘ3)·(-ｘ)3

(5)x4－m·x4+m·(-x)

(6) x6·(-x)5-(-x)8·(-x)3

(7) -ａ3·(-ａ)4·(-ａ)5

8.计算(-2)1999+(-2)2000等于(     )

A.-23999 B.-2 C.-21999D.21999

9.若ａ2n+1·ａx=ａ3那么x=   

二、幂的乘方与积的乘方

1、幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘.

公式表示为：（am）n＝amn（m，n都是正整数）.

2、积的乘方

积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

公式表示为：（ab）n＝anbn（n为正整数）.

注意点：

（1） 幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数.

（2） 指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开.

（3） 运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果;

（4） 运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式.下载本文