一、仔细选一选

1．一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（　　）

A．锐角三角形    B．直角三角形     C．钝角三角形       D．等腰三角形

2．把点（2，﹣1）向右平移5个单位得到点（　　）

A．（2，﹣6）       B．（2，5）         C．（7，﹣1）       D．（﹣3，﹣1）

3．下列四选项中，以三个实数为边长，能构成直角三角形的是（　　）

A．，2，    B．，，    C．，，    D．3，4，6

4．y关于x的一次函数y=2x+m2+1的图象不可能经过（　　）

A．第一象限       B．第二象限         C．第三象限       D．第四象限

5．不等式3x﹣1≤2（x+2）的正整数解有几个（　　）

A．3               B．4                 C．5               D．6

6．若x＜y，且（a+5）x＞（a+5）y，则a的取值范围（　　）

A．a＞﹣5       B．a≥﹣5             C．a＜﹣5           D．a＜5

7．下列命题是真命题的有：①若a＞b，则a2＞b2；②三角形一边上的中点到另外两边的距离相等；③若一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；④同位角相等；⑤“作两条相交的直线”这句话是一个命题．（　　）

A．1               B．2                 C．3             D．4

8．已知点P1（a﹣1，4）和P2（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2013的值为（　　）

A．72013           B．﹣1             C．1              D．（﹣3）2013

9．若直线y=kx+b是由直线y=2x+4沿x轴向右平移4个单位所得，则k，b的值分别是（　　）

A．k=﹣2，b=﹣4    ;B．k=2，b=﹣4    ; C．k=﹣4，b=2      D．k=4，b=2

10．在 Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论①AE+BF=AB，②AE2+BF2=EF2，③S四边形CEDF=S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（　　）

A．①②④      B．①②③        C．①③④           D．①②③④

二、认真填一填

11．写一个经过点（0，2），且y随x增大而增大的一次函数　　．

12．三角形的两边长分别为4，7，请写一个适当偶数作为第三边：　　．

13．游泳池的水质要求三次检验的PH的平均值不小于7.2，且不大于7.8，前两次检验，PH的读数分别为7.4和7.9，要使水质合格，则第三次检验的PH的取值范围是　　．

14．已知点A（4，﹣3），B（x，﹣3），若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x=　　．

15．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为　　．

16．已知，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数交于点A，并与y轴交于点B（0，﹣4），△AOB的面积为6，则kb=　　．

三、全面答一答

17．如图，若AB是CD的垂直平分线，E，F是AC，AD的中点，连结BE，BF．

（1）请写出图中任意两对相等线段：　　，　　；

（2）证明：BE=BF．

18．解不等式（组），并把第（2）的解集表示在数轴上．

（1）7x﹣2≥5x+2；

（2）．

19．证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”是真命题．

20．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A（﹣4，5），B（﹣4，1），∠B=90°，AC=5，点P是AC的中点，线段DE的两个端点坐标分别为D（4，5），E（4，1）．

（1）求C点的坐标，直接写出P点的坐标；

（2）用尺规作图作△DEF，使得△DEF≌△ABC（保留作图痕迹）；

（3）请说明△DEF是由△ABC通过怎样的图形变换方式得到．

21．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠ACB=45°，CE是AB边上的中线．

（1）CD=AB；

（2）若CG=EG，求证：DG⊥CE．

22．某学校计划租用7辆客车送八年级师生去秋游，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表，设租用甲种客车x辆． 

（2）租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式；指出自变量的取值范围；

（3）若该校八年级师生共有254名师生参加这次秋游，甲种客车不多于5辆，问：有几种可行的租车方案？哪种方案租车费最省？

23．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=5，OB=3，点D坐标为（0，1），点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿线段BC﹣CA的方向运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．

（1）点P运动到与点C重合时，求直线DP的函数解析式；

（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式，并写出对应t的取值范围；

（3）点P在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

2016-2017学年浙江省杭州市江干区八年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、仔细选一选

1．一个三角形三个内角的度数之比为3：4：5，这个三角形一定是（　　）

A．锐角三角形    B．直角三角形    C．钝角三角形    D．等腰三角形

【考点】三角形内角和定理．

【分析】由题意知：把这个三角形的内角和180°平均分了12份，最大角占总和的，根据分数乘法的意义求出三角形最大内角即可．

【解答】解：因为3+4+5=12，

5÷12=，

180°×=75°，

所以这个三角形里最大的角是锐角，

所以另两个角也是锐角，

三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，

所以这个三角形是锐角三角形．

故选：A．

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2．把点（2，﹣1）向右平移5个单位得到点（　　）

A．（2，﹣6）    B．（2，5）    C．（7，﹣1）    D．（﹣3，﹣1）

【考点】坐标与图形变化﹣平移．

【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

【解答】解：把点（2，﹣1）向右平移5个单位得到点坐标为（2+5，﹣1）即（7，﹣1），

故选：C．

3．下列四选项中，以三个实数为边长，能构成直角三角形的是（　　）

A．，2，    B．，，    C．，，    D．3，4，6

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

【解答】解：A、（）2+22≠（）2，不能构成直角三角形；

B、（）2+（）2=（）2，能构成直角三角形；

C、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形；

D、32+42≠62，不能构成直角三角形．

故选B．

4．y关于x的一次函数y=2x+m2+1的图象不可能经过（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【考点】一次函数图象与系数的关系．

【分析】先判断出m2+1的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．

【解答】解：∵m2+1≥1，2＞0，

∴此函数的图象经过第一、二、三象限，一定不经过第四象限．

故选D．

5．不等式3x﹣1≤2（x+2）的正整数解有几个（　　）

A．3    B．4    C．5    D．6

【考点】一元一次不等式的整数解．

【分析】首先去括号、然后移项、合并同类项求得不等式的解集，然后确定正整数解．

【解答】解：去括号，得3x﹣1≤2x+4，

移项，得3x﹣2x≤4+1，

合并同类项得x≤5．

则正整数解是1，2，3，4，5共5个．

故选C．

6．若x＜y，且（a+5）x＞（a+5）y，则a的取值范围（　　）

A．a＞﹣5    B．a≥﹣5    C．a＜﹣5    D．a＜5

【考点】不等式的性质．

【分析】直接根据不等式的基本性质即可得出结论．

【解答】解：∵x＜y，且（a+5）x＞（a+5）y，

∴a+5＜0，即a＜﹣5．

故选C．

7．下列命题是真命题的有：①若a＞b，则a2＞b2；②三角形一边上的中点到另外两边的距离相等；③若一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；④同位角相等；⑤“作两条相交的直线”这句话是一个命题．（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

【考点】命题与定理．

【分析】利用反例对①进行判断；根据等腰三角形的性质对②进行判断；根据圆周角定理的推论对③进行判断；根据平行线的性质对④进行判断；根据命题的定义对⑤进行判断．

【解答】解：若a=1，b=﹣2，则a2＜b2，所以①为假命题；

等腰三角形底边上的中点到另外两边的距离相等，所以②为真命题；

若一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，所以③为真命题；

两直线平行，同位角相等，所以④为真命题；

“作两条相交的直线”这句话不是命题，所以⑤为假命题．

故选C．

8．已知点P1（a﹣1，4）和P2（2，b）关于x轴对称，则（a+b）2013的值为（　　）

A．72013    B．﹣1    C．1    D．（﹣3）2013

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解答】解：∵点P1（a﹣1，4）和P2（2，b）关于x轴对称，

∴a﹣1=2，b=﹣4，

解得a=3，b=﹣4，

∴（a+b）2013=（3﹣4）2013=﹣1．

故选B．

9．若直线y=kx+b是由直线y=2x+4沿x轴向右平移4个单位所得，则k，b的值分别是（　　）

A．k=﹣2，b=﹣4    B．k=2，b=﹣4    C．k=﹣4，b=2    D．k=4，b=2

【考点】一次函数图象与几何变换．

【分析】直接根据“左加右减”的平移规律求解即可．

【解答】解：直线y=2x+4沿x轴向右平移4个单位，所得直线的函数解析式为y=2（x﹣4）+4，即y=2x﹣4，

所以k=2，b=﹣4．

故选B．

10．在 Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论①AE+BF=AB，②AE2+BF2=EF2，③S四边形CEDF=S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（　　）

A．①②④    B．①②③    C．①③④    D．①②③④

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【分析】连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE=CF，进而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，由勾股定理就可以求出结论．

【解答】解：连接CD，∵AC=BC，点D为AB中点，∠ACB=90°，

∴AD=CD=BD=AB．∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°．

∴∠ADE+∠EDC=90°，

∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°，

∴∠ADE=CDF．

在△ADE和△CDF中，，

∴△ADE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，DE=DF，S△ADE=S△CDF．

∵AC=BC，

∴AC﹣AE=BC﹣CF，

∴CE=BF．

∵AC=AE+CE，

∴AC=AE+BF．

∵AC2+BC2=AB2，

∴AC=AB，

∴AE+BF=AB．

∵DE=DF，∠GDH=90°，

∴△DEF始终为等腰直角三角形．

∵CE2+CF2=EF2，

∴AE2+BF2=EF2．

∵S四边形CEDF=S△EDC+S△EDF，

∴S四边形CEDF=S△EDC+S△ADE=S△ABC．

∴正确的有①②③④．

故选D．

二、认真填一填

11．写一个经过点（0，2），且y随x增大而增大的一次函数　y=x+2（答案不唯一）　．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．

【分析】首先可由y随x的增大而增大确定x的系数k＞0，再根据函数图象经过点（0，2），写出符合题意的函数表达式即可．

【解答】解：设一次函数的解析式为y=kx+b．

∵y随x的增大而增大，

∴k＞0．

∵函数图象需要经过点（0，2），

∴b=2，

∴函数表达式可以是y=x+2．

故答案为：y=x+2（答案不唯一）．

12．三角形的两边长分别为4，7，请写一个适当偶数作为第三边：　4（或6或8或10）．　．

【考点】三角形三边关系．

【分析】根据三角形的三边关系定理可得7﹣4＜x＜7+4，计算出不等式的解集，再根据第三边为偶数，确定x的值即可．

【解答】解：设第三边长为x，

则7﹣4＜x＜7+4，

∴3＜x＜11，

∵第三边长是偶数，

∴x=4或6或8或10．

故答案为：4（或6或8或10）．

13．游泳池的水质要求三次检验的PH的平均值不小于7.2，且不大于7.8，前两次检验，PH的读数分别为7.4和7.9，要使水质合格，则第三次检验的PH的取值范围是　6.3≤x≤8.1　．

【考点】一元一次不等式组的应用．

【分析】关系式为：7.2≤三次检验的PH的平均值≤7.8，把相关数值代入计算即可．

【解答】解：设第三次检验的PH值为x，则有：，

解之得6.3≤x≤8.1，

故答案为6.3≤x≤8.1．

14．已知点A（4，﹣3），B（x，﹣3），若AB∥x轴，且线段AB的长为5，x=　﹣1或9　．

【考点】坐标与图形性质．

【分析】由AB平行于x轴，A、B两点的纵坐标均为3，由线段AB的长为5，分点B在A的左、右两侧分别求之．

【解答】解：∵AB平行于x轴，且A（4，﹣3），B（x，﹣3），线段AB的长为5，

∴点B的坐标为（﹣1，﹣3）或（9，﹣3）．

故x=﹣1或9．

故答案为：﹣1或9．

15．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为　16　．

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．

【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．

【解答】解：如图，∵AB=AC=6，AD⊥BC，AD=6，

∴BD===8，

∴BC=2BD=16．

故答案为：16．

16．已知，一次函数y=kx+b的图象与正比例函数交于点A，并与y轴交于点B（0，﹣4），△AOB的面积为6，则kb=　4或﹣　．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】一次函数经过点（0，﹣4），代入即可求得b的值，即已知△AOB中，OB的值，根据△AOB的面积为6，即可求得k的值，从而求解．

【解答】解：把（0，﹣4）代入y=kx+b，得到b=﹣4；

则OB=4，设A的横坐标是m，则根据△AOB的面积为6，得到×4×|m|=6，解得m=±3．

把x=±3代入正比例函数y=x，解得y=±1，则A的坐标是（3，1）或（﹣3，﹣1）．

当A是（3，1）时，代入y=kx﹣4，得到k=．则kb=﹣×4=﹣；

当A是（﹣3，﹣1）时，代入y=kx﹣4，得到k=﹣1，则kb=（﹣1）×（﹣4）=4．

故答案为4或﹣．

三、全面答一答

17．如图，若AB是CD的垂直平分线，E，F是AC，AD的中点，连结BE，BF．

（1）请写出图中任意两对相等线段：　AC=AD　，　BC=BD　；

（2）证明：BE=BF．

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答；

（2）证明△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质证明结论．

【解答】解：（1）∵AB是CD的垂直平分线，

∴AC=AD，BC=BD，

故答案为：AC=AD；BC=BD；

（2）∵AC=AD，E，F是AC，AD的中点，

∴AE=AF，

∵AC=AD，AB⊥CD，

∴∠CAB=∠DAB，

在△ACB和△ADB中，

，

∴△ACB≌△ADB，

∴BE=BF．

18．解不等式（组），并把第（2）的解集表示在数轴上．

（1）7x﹣2≥5x+2；

（2）．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．

【分析】（1）移项，合并同类项，系数化成1即可；

（2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后表示出来即可．

【解答】解：（1）7x﹣2≥5x+2，

7x﹣5x≥2+2，

2x≥4，

x≥2；

（2）

∵解不等式①得：x＞﹣4，

解不等式②得：x≤1，

∴不等式组的解集为：﹣4＜x≤1，

在数轴上表示为：．

19．证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”是真命题．

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】作出图形，连接AD，由AB=AC，D为BC中点，利用等腰三角形的“三线合一”性质得到AD为顶角的平分线，由DE与AB垂直，DF与AC垂直，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到DE=DF，得证．

【解答】已知：如图，AB=AC，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，

求证：DE=DF，

证明：连接AD，

∵AB=AC，D是BC中点，

∴AD为∠BAC的角平分线（三线合一的性质），

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边相等）．

20．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A（﹣4，5），B（﹣4，1），∠B=90°，AC=5，点P是AC的中点，线段DE的两个端点坐标分别为D（4，5），E（4，1）．

（1）求C点的坐标，直接写出P点的坐标；

（2）用尺规作图作△DEF，使得△DEF≌△ABC（保留作图痕迹）；

（3）请说明△DEF是由△ABC通过怎样的图形变换方式得到．

【考点】作图—复杂作图；坐标与图形性质；全等三角形的判定；翻折变换（折叠问题）．

【分析】（1）根据AB=4，∠B=90°，AC=5，运用勾股定理得出BC=3，进而得到C点的坐标，P点的坐标；

（2）根据△DEF≌△ABC，运用SSS进行作图即可；

（3）根据图中△DEF、△DEF'的位置可得，△DEF是由△ABC沿着y轴翻折得到，△DEF'是由△ABC向右平移8个单位长度得到．

【解答】解：（1）∵A（﹣4，5），B（﹣4，1），

∴AB=4，

又∵∠B=90°，AC=5，

∴BC=3，

∴C（﹣7，1），

又∵点P是AC的中点，点A（﹣4，5），

∴P（﹣5.5，3）；

（2）如图所示，△DEF、△DEF'即为所求；

（3）由图可得，△DEF是由△ABC沿着y轴翻折得到，△DEF'是由△ABC向右平移8个单位长度得到．

21．已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠ACB=45°，CE是AB边上的中线．

（1）CD=AB；

（2）若CG=EG，求证：DG⊥CE．

【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．

【分析】（1）含30°角的直角三角形的性质得出AD=AB，证得△ACD是等腰直角三角形，得出CD=AD，即可得出结论；

（2）连接DE，证得DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，得出DE=AB，证得DE=CD，即可得出结论．

【解答】证明：（1）∵AD是BC边上的高，

∴AD⊥BC，

∵∠B=30°，

∴AD=AB，

∵∠ACB=45°，

∴△ACD是等腰直角三角形，

∴CD=AD，

∴CD=AB；

（2）连接DE，如图所示：

∵CE是AB边上的中线，AD⊥BC，

∴DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，

∴DE=AB，

∵CD=AB，

∴DE=CD，

∵CG=EG，

∴DG⊥CE．

22．某学校计划租用7辆客车送八年级师生去秋游，现有甲、乙两种型号客车，它们的载客量和租金如表，设租用甲种客车x辆． 

（2）租车总费用为y元．求出y（元）与x（辆）之间的函数关系式；指出自变量的取值范围；

（3）若该校八年级师生共有254名师生参加这次秋游，甲种客车不多于5辆，问：有几种可行的租车方案？哪种方案租车费最省？

【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．

【分析】（1）租用乙种客车（7﹣x）辆，分别表示出两种车的载客量，然后求和即可；

（2）设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车（7﹣x）辆，租用甲种客车的费用为500x元，租用乙种客车的费用为320（7﹣x）元，租车总费用就等于两种租车费用之和；

（3）根据题意列出不等式组，求出不等式组的解救可以确定租车方案，再根据（1）的解析式就可以求出最节省的方案．

【解答】解：（1）租用乙种客车（7﹣x）辆，则W=45x+30（7﹣x），即W=15x+210．

故答案是：W=15x+210；

（2）设租用甲种客车x辆，则租用乙种客车（7﹣x）辆，根据题意得租车总费用为y元．

则y=500x+320（7﹣x）=180x+2240 （0≤x≤7且x为整数）；

（3）根据题意列不等式组得：，

解得：，

∵x为整数，

∴x可取的值为3、4，

∴可行的租车方案有两种：3辆45座，4辆30座的，或4辆45座3辆30座的．

∵3×500+4×320=2780，4×500+320×3=2960＞2780

∴第一种方案租用3辆45座，4辆30座的能使租车费用剩余最多．

23．如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=5，OB=3，点D坐标为（0，1），点P从点B出发以每秒1个单位的速度沿线段BC﹣CA的方向运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．

（1）点P运动到与点C重合时，求直线DP的函数解析式；

（2）求△OPD的面积S关于t的函数解析式，并写出对应t的取值范围；

（3）点P在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）由长方形的性质可求得C点坐标，再利用待定系数法可求得直线DP的解析式；

（2）可分点P在线段BC上和在线段AC上两种情况，利用三角形的面积可求得S关于t的函数解析式；

（3）当点P在线段BC上时，可用t表示出P点坐标，则可分别表示出DP、AP和AD的长，分DP=AP、DP=AD和AP=AD三种情况分别得到关于t的方程，可求得P点坐标；当点P在线段AC上时，则只能有PD=AD，则点D在线段AP的垂直平分线上，可求得线段AP中点的坐标，从而可求得P点坐标．

【解答】解：

（1）∵OA=5，OB=3，且四边形OACB为长方形，

∴C（5，3），

∴当点P与点C重合时，P点坐标为（5，3），

∵D（0，1），

∴可设直线DP解析式为y=kx+1，

∴3=5k+1，解得k=，

∴直线DP解析式为y=x+1；

（2）当点P在线段BC上时，即0≤t≤5时，如图1，

则BP=t，且OD=1，

∴S=•OD•BP=×1×t=t，

当点P在线段AC上时，即5＜t≤8时，则S=OD•BC=×1×5=，

∴S=；

（3）当点P在线段BC上时，如图2，

则可设P点坐标为（t，3）（0≤t≤5），

∵A（5，0），D（0，1），

∴DP==，AP==，AD==，

当△APD为等腰三角形时，则有DP=AP、DP=AD和AP=AD三种情况，

①当DP=AP时，则有=，解得t=3，此时P点坐标为（3，3）；

②当DP=AD时，则有=，解得t=﹣（舍去）或t=，此时P点坐标为（，3）；

③当AP=AD时，则有=，解得t=5+（舍去）或t=5﹣，此时P点坐标为（5﹣，3）；

当点P在线段AC上时，则AP＜AD，只有AD=DP，

∴D在线段AC的垂直平分线上，

∴线段AP的中点坐标为（5，1），

∴P点坐标为（5，2）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（3，3）或（，3）或（5﹣，3）或（5，1）．

2017年4月16日下载本文