第一试
（时间：8:00-9:20 满分：120）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共分.
1.函数的值域是
2.函数在中的零点个数为
3.设是平面上的两点,是关于的对称点,是关于的对称点, ,
若,则
4.设动点,其中参数,则线段扫过的平面区域的面积是
5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是
6.一个球外接于四面体，另一半径为1的球与平面相切，且两球内切于点，已知,
，则四面体的体积为
8. 用表示非空整数集S中所有元素的和，设是正整数集，
且，若对每个正整数，存在A的子集S，使得，
则满足上述要求的的最小值为 ．
二、解答题：本大题共3小题，共56分.
9. （本小题满分16分）已知是正实数,求证:
10. （本小题满分20分）设是不同的正实数.
证明：是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数，都有
11. （本小题满分20分）已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点．（1）用表示四边形的面积；
（2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程．
2015年全国高中数赛模拟试题05
加试
（时间：9:40-12:10 满分：180）
一、（本小题满分40分）如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，证明：为直角三角形.
二、（本小题满分40分）
对给定的自然数与，＜，任意一个由个连续整数组成的集合都含有两个不同的数，它们的乘积能被整除．
三、（本小题满分50分）
求证：数列的每一项都是整数，但都不是3的倍数
四、（本小题满分50分）
圆周上有个点，用弦两两连结起来，其中任何3条弦都不在圆内共点，求由此形成的互不重叠的圆内区域的个数．
2015年全国高中数赛模拟试题05
第一试参考解答
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共分.
1.函数的值域是
解：由(1)时,该方程有解(2)时,因为,所以所以,且综合(1)(2),故答案为
法二：,令,则
,故该函数的值域为
法三： (1)时,
(2)时, ,因为
所以或所以
或所以,且
即且所以,且
综合(1)(2),故答案为
法四：求导,该函数在区间及上单调递增,在区间上单调递减,计算即得答案为
2.函数在中的零点个数为
解:
由于
所以,在上的零点个数即是因为的最小正周期为,故之间函数的图象有1007个周期,每个周期有两个零点,考虑到两个端点为闭区间,故答案为2015
3.设是平面上的两点,是关于的对称点,是关于的对称点, ,若,则
解:设点对应的复数为由题意:
所以,
所以,
所以, ,所以,
4.设动点,其中参数,则线段扫过的平面区域的面积是
解:直线的方程为,时,直线方程为,时,直线方程为,故不妨设,直线方程为,对每个,当变化时
,所以,线段扫过的平面区域是函数及直线围成的封闭图形,由积分的几何意义,故答案为
5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是
解:将这十二个点依次标为,从十二个点中取4个点的方法数为,取出的四个点两两不相邻的包含以下两类,(1)如果不取点,则从这11个点中取4个点,两两不相邻,则方法数为(相当于把4个点插到7个点中(2)如果取点,由于不能取,故从这9个点中取三个点,两两不相邻,方法数为(相当于把三个点插到6个点中)故所求概率为
6.一个球外接于四面体，另一半径为1的球与平面相切，且两球内切于点，已知,
，则四面体的体积为
8. 用表示非空整数集S中所有元素的和，设是正整数集，且，若对每个正整数，存在A的子集S，使得，则满足上述要求的的最小值为 ．
8.解：令若则不存在，使
所以（1）又由题设得 ，于是由（1）及归纳法易得
若，则（否则750无法用表示出），所以
又于是，所以
另一方面，令
当时，可找到，使
当时，存在，使
当时，存在，使
当时，存在，使于是，的最小值为248。
二、解答题：本大题共3小题，共56分.
9.已知是正实数,求证:
证明:由于
所以,
所以,
即
法二:令
所以,
法三、不妨设,可将不等式化为,证明过程略
10. （本小题满分20分）设是不同的正实数.
证明：是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数，都有
10.必要性：若是一个等比数列，设，则
＝.
充分性：当n＝2时，两边都等于1.当n＝3时，有，
化简得，所以，成等比数列.假设成等比数列（），记，，，则，
，，
，因为，所以，即，从而成等比数列.由数学归纳法知，是一个等比数列.
11. （本小题满分20分）已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点．（1）用表示四边形的面积；
（2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程．
解 （1）直线的倾斜角为，记，则，
．而与所成的角为，则四边形面积
．…………5分
而，A点坐标为，且，
从而，，
其中或．……………10分
（2）记，而只可能在时才可能取到最大值．对求导数得到：．
令，则有． ……15分
化简得到 ．所以 ．
而 无实根，则．
经检验，符合．
故所求直线的方程为：． ……………………20分
2015年全国高中数赛模拟试题05
加试参
一、（本小题满分40分）
如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，证明：为直角三角形.
证：由于点皆在的中垂线上，设直线交于，交于，则是的中点，是的中点; 因是的内心，故共线，且.
又是的中垂线，则，而为的内、外角平分线，
故有，则为的直径，所以，，又因
，
则. 作于，则有，
，且，
所以，，故得，因此，是的中位线，从而∥，而，则.故为直角三角形．
证二：记，因是的中垂线，则，由条件
延长交于，并记，则，对圆内接四边形用托勒密定理得，即，由、得，所以，即是弦的中点，而为外心，所以，故为直角三角形．
二、（本小题满分40分）
对给定的自然数与，＜，任意一个由个连续整数组成的集合都含有两个不同的数，它们的乘积能被整除．
证明：设个连续整数为，则，由有，于是，在这个数中，必有的倍数和的倍数；
（1）若，则；
三、（本小题满分50分）
求证：数列的每一项都是整数，但都不是3的倍数
四、（本小题满分50分）
圆周上有个点，用弦两两连结起来，其中任何3条弦都不在圆内共点，求由此形成的互不重叠的圆内区域的个数下载本文
