一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.集合的子集个数为

A. 4    B. 6    C. 7    D. 8

2.函数的定义域为

A.     B. 

C.     D. 

3.下列函数中，最小正周期为的是

A.     B.     C.     D. 

4.已知数列的前n项和，则

A. 3    B. 6    C. 7    D. 8

5.设，为非零向量，则“”是“”的

A. 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件    D. 既不充分也不必要条件

6.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则p的值为

A.     B. 2    C.     D. 4

7.已知函数，则

A. 是奇函数，且在定义域上是增函数

B. 是奇函数，且在定义域上是减函数

C. 是偶函数，且在区间上是增函数

D. 是偶函数，且在区间上是减函数

8.如图所示，一个三棱锥的主视图和左视图均为等边三角形，俯视图为等腰直角三角形，则该棱锥的体积为

A. 

B. 

C. 

D. 

A.     B.     C.     D. 

10.某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，，且a，b，；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是

A. 每场比赛的第一名得分a为4

B. 甲至少有一场比赛获得第二名

C. 乙在四场比赛中没有获得过第二名

D. 丙至少有一场比赛获得第三名

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.已知复数，则______．

12.已知直线的倾斜角为，则______．

13.已知双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为______．

14.天干地支纪年法简称干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：

15.已知集合，由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”给出下列结论：

“水滴”图形与y轴相交，最高点记为A，则点A的坐标为；

在集合P中任取一点M，则M到原点的距离的最大值为3；

阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记为C，D，则；

白色“水滴”图形的面积是．

其中正确的有______．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）

16.如图，四边形ABCD为正方形，，，，，．

Ⅰ求证：平面ABCD；

Ⅱ求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．

17.已知等差数列的前n项和为，，．

Ⅰ求数列的通项公式；

Ⅱ若等比数列满足，且公比为q，从；；这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列的前n项和．

18.为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动．为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：

Ⅰ现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查．求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率；

Ⅱ现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导，记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数，求X的分布列和数学期望；

Ⅲ某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导．规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化？请说明理由．

19.已知函数．

Ⅰ求函数的极值；

Ⅱ求证：当时，；

Ⅲ当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围．

20.已知椭圆经过，两点．O为坐标原点，且的面积为过点且斜率为的直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且直线AM，AN分别与y轴交于点S，T．

Ⅰ求椭圆C的方程；

Ⅱ求直线l的斜率k的取值范围；

Ⅲ设，求的取值范围．

21.已知无穷集合A，B，且，，记，定义：满足时，则称集合A，B互为“完美加法补集”．

Ⅰ已知集合，判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；

Ⅱ设集合1；，1，，s，，1；，，s，

求证：集合A，B互为“完美加法补集”；

记和分别表示集合A，B中不大于的元素个数，写出满足的元素n的集合．只需写出结果，不需要证明

-------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：解：0，，

集合A的子集个数为个，

故选：D．

先求出集合A，再根据集合A的元素个数即可求出集合A的子集个数．

本题主要考查了集合子集个数的求法，掌握公式是关键，属于基础题．

2.答案：C

解析：解：由，得或．

函数的定义域为．

故选：C．

由分母中根式内部的代数式大于0求解一元二次不等式得答案．

本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．

3.答案：D

解析：解：函数的最小正周期为，故排除A；

函数的最小正周期为，故排除B；

函数的最小正周期为，故排除C；

函数的最小正周期为，故D满足条件，

故选：D．

由题意利用三角函数的周期性，得出结论．

本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．

4.答案：B

解析：解：，

时，．

则．

故选：B．

，可得时，即可得出结论．

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

5.答案：C

解析：解：，为非零向量，“”展开为：．

“”是“”的充要条件．

故选：C．

，为非零向量，“”展开，进而判断出结论．

本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6.答案：D

解析：分析：求出抛物线和双曲线的焦点坐标，即可得到结论．

本题主要考查抛物线和双曲线的性质，求出对应的焦点坐标是解决本题的关键．

解：抛物线的焦点坐标为，

双曲线的方程为，

，，则，

即，

抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，

，

即，

故选：D

7.答案：B

解析：解：根据题意，函数，则有，解可得，即的定义域为；

设任意，，则函数为奇函数；

，其导数，

在区间上，，则为上的减函数；

故选：B．

根据题意，先求出函数的定义域，进而分析可得，即可得函数为奇函数，求出函数的导数，分析可得为上的减函数；即可得答案．

本题考查函数奇偶性与单调性的判断，涉及对数的运算性质，属于基础题．

8.答案：A

解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体．

如图所示：

所以：，

由于三棱锥体的左视图和主视图都为等边三角形，

所以，

所以．

故选：A．

首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．

本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．

9.答案：B

解析：解：，，，

由余弦定理可得：，可得，

设AB边上的高为h，则，

，解得：．

故选：B．

由已知及余弦定理可求cosA的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，设AB边上的高为h，利用三角形面积公式即可计算得解．

本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

10.答案：C

解析：解：甲最后得分为16分，

，

接下来以乙为主要研究对象，

若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则，则，而，则，

又，，此时不合题意；

若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，则，则，

由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；

若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，则，则，

由，且a，b，可知，此时没有符合该不等式的解，不合题意；

若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，则，此时显然，，

则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共分，

乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共分，

丙的得分情况为4场第二名，则，即，此时符合题意．

综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．

故选：C．

根据四场比赛总得分，结合a，b，c满足的条件，可求出a，b，c，再根据已知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决．

本题考查了合情推理的问题，考查了推理论证能力，考查了化归与转化思想，审清题意是正确解题的关键，属于中档题．

11.答案：

解析：解：复数，

．

故答案为：．

根据复数模长的定义直接进行计算即可．

本题主要考查复数的长度的计算，比较基础．

12.答案：

解析：解：直线的斜率，

直线的倾斜角．

．

故答案为：．

先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，即可求解的值．

本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．

13.答案：

解析：解：由题意可得，

即，，

可得双曲线的渐近线方程，

即为

故答案为：

运用离心率公式和a，b，c的关系，可得，即可得到所求双曲线的渐近线方程．

本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．

14.答案：己卯  60

解析：解：根据题意，天干有十，即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，

地支有十二，即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥；

其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、、癸未，甲申、乙酉、丙戌、、癸巳，，

若2049年是己巳年，则2059年是己卯年；

天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，

则天干地支共有60种组合，即使用干支纪年法可以得到60种不同的干支纪年；

故答案为：己卯，60．

根据题意，分析干支纪年法的规律，可得天干地支的对应顺序，据此可得2059年是己卯年，又由天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，据此可得天干地支共有60种组合，即可得答案．

本题考查合情推理的应用，关键是掌握“干支纪年法”的规律，属于基础题．

15.答案：

解析：解：对于，方程中，

令，得，

所以，其中，

所以，

所以，

解得；

所以点，点，点，点，所以错误；

对于，由，设，

则点M到原点的距离为

，

当时，，d取得最大值为3，所以正确；

对于，由知最高点为，最低点为，

所以，正确；

对于，“水滴”图形是由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成；

计算它的面积是，

所以正确；

综上知，正确的命题序号是．

故答案为：．

方程中，令求得y的取值范围，得出最高点的坐标；

利用参数法求出点M到原点的距离d，求出最大值；

求出知最高点C与最低点D的距离；

计算“水滴”图形的面积是由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成．

本题考查命题真假的判断，考查三角函数和圆的综合知识应用问题，也考查运算求解能力，是难题．

16.答案：证明：Ⅰ因为，，所以，

因为，，

所以平面ABCD．

Ⅱ解：因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，

所以，．

因为四边形ABCD为正方形，所以．

如图建立空间直角坐标系，

则0，，0，，2，，2，，

，，．

设平面PDM的法向量为y，，

则，即

令，则，于是1，．

平面PDM的法向量为1，．

设直线PC与平面PDM所成的角为，所以．

所以直线PC与平面PDM所成角的正弦值为．

解析：Ⅰ推导出，，由此能证明平面ABCD．

Ⅱ推导出，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PC与平面PDM所成角的正弦值．

本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

17.答案：解：Ⅰ设等差数列的公差为d，又因为，且，所以，故，

所以；

Ⅱ由Ⅰ可知，，又，所以．

若选择条件，可得，；

若选择条件，可得，；

若选择条件，可得，．

解析：Ⅰ先由题设条件求出等差数列的基本量：首项与公差，再求其通项公式；

Ⅱ先选择公比q的值，再结合其它题设条件计算出结果．

本题主要考查等差、等比数列中基本量的运算及数列的求和，属于中档题．

18.答案：解：Ⅰ记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为．

参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，

所以分

Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．

，，．

X的分布列为：

Ⅲ答案不唯一．

答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下：

指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：．

指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．

答案示例2：无法确定．理由如下：

指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：．

虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化．                        分

解析：Ⅰ记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式即可得出概率．

Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．利用超几何分布列计算公式即可得出．

Ⅲ答案不唯一．示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．

本题考查了超几何分布列计算公式及其数学期望、小概率事件问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19.答案：解：Ⅰ因为，定义域R，

所以．

令，解得．

随x的变化，和的情况如下：

Ⅱ证明：令，．

由得，

于是，

故函数是上的增函数．

所以当时，，即；

Ⅲ当时，由Ⅱ知，满足题意．

令，．

当时，若，，则在上是减函数．

所以时，，不合题意．

当时，，则在上是减函数，所以，不合题意．

综上所述，实数a的取值范围．

解析：Ⅰ求导，列出随x的变化，和的情况表，进而求得极值；

Ⅱ令，求导，由得，则，进而得出函数的单调性，由此得证；

Ⅲ当时，由Ⅱ知符合题意，再令，分及均可判断不合题意，进而得出实数a的取值范围．

本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．

20.答案：解：Ⅰ因为椭圆经过点，

所以解得．

由的面积为可知，，

解得，

所以椭圆C的方程为．

Ⅱ 设直线l的方程为，，

联立，消y整理可得：．

因为直线与椭圆有两个不同的交点，

所以，解得．

因为，所以k的取值范围是．

Ⅲ因为，，，

所以直线AM的方程是：．

令，解得．

所以点S的坐标为．

同理可得：点T的坐标为．

所以，，．

由，

可得：，

所以．

同理．

由Ⅱ得，

所以 

所以的范围是．

解析：Ⅰ把点A坐标代入椭圆的方程得由的面积为可知，，解得b，进而得椭圆C的方程．

Ⅱ 设直线l的方程为，，联立直线l与椭圆C的方程的关于x的一元二次方程．，进而解得k的取值范围．

Ⅲ因为，，，，写出直线AM的方程，令，解得点S的坐标为同理可得：点T的坐标为用坐标表示，，，代入，得同理由Ⅱ得，代入 ，化简再求取值范围．

本题考查椭圆的标准方程，及取值范围，属于中档题．

21.答案：解：Ⅰ由，得是奇数，

当，时，，

所以，；

Ⅱ首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组，

其中，1；，1，，k，，

使得，

由于，

这种形式的自然数p至多有个，且最大数不超过．

由，1；，1，，k，，每个都有两种可能，

所以这种形式的自然数p共有个结果．

下证，

其中，1；，1；，1，，k，，则．

假设存在中，取i最大数为j，

则

，

所以不可能．

综上，任意正整数p可唯一表示为

显然，

满足，所以集合A，B互为“完美加法补集”．

解析：Ⅰ由a为奇数，b为偶数，可得为奇数，即可判断2019和2020是否属于集合；

Ⅱ首先证明：对于任意自然数p可表示为唯一一数组，其中，1；，1，，k，，使得，考虑自然数p的个数即可得证；

下证，其中，1；，1；，1，，k，，则由反证法即可得证；

考虑集合中元素为奇数，可为

本题考查集合的新定义的理解和应用，考查综合法的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题．下载本文