学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则集合的子集个数是（ ）

A．2 ．4 ．8 ．16

2．已知角的终边上有一点的坐标是，则的值为（ ）

A． ． ． ．

3．已知，，，则，，的大小关系为（ ）

A． ． ． ．

4．函数的零点所在的区间为（ ）

A． ． ． ．

5．若正数，满足，则的最小值为（ ）

A．2 ．4 ．6 ．8

6．函数的图象大致是(    )

A． ． ． ．

7．已知，，则的值为（ ）

A． ． ．2 ．或2

8．已知定义在上的函数满足，对于，当时，都有，则不等式的解集为（ ）

A． ． ． ．

二、多选题

9．已知且，则下列结论正确的是（ ）

A． ．

C． ．

10．已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围可以是（ ）

A． ． ． ．

11．下列说法正确的是（ ）

A．，使得

B．命题“，”的否定是“，”

C．“”的一个充分不必要条件是“”

D．若，，则“”是“”的必要不充分条件

12．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的最小正周期是

C．函数在区间上单调递减

D．把函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到的函数图象的对称轴与函数图象的对称轴完全相同

三、填空题

13．已知幂函数的图象过点，则________.

14．函数的单调递增区间为_________.

15．已知函数，若方程在上有8个实数根，则实数的取值范围是_________.

四、双空题

16．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法.如图所示，弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，若弧田所在圆的半径为6，弦的长是，则弧田的弧长为________；弧田的面积是________.

五、解答题

17．已知集合，.

（1）若集合满足，求实数的取值范围；

（2）若集合且，求集合.

18．已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离为，且________.在①函数为偶函数；②；③，；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在上的单调递增区间.

19．已知函数.

（1）若函数在区间上有两个相异的零点，求实数的取值范围；

（2）若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.

20．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为.

（1）用含的式子表示线段，的长；

（2）求的最大值.

21．漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.

（1）求函数的解析式；

（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

22．已知函数，.

（1）求的值；

（2）试求出函数的定义域，并判断该函数的单调性与奇偶性；（判断函数的单调性不必给出证明.）

（3）若函数，且对，，都有成立，求实数的取值范围.

参

1．B

【分析】

求出交集后，由子集的个数公式可得结果．

【详解】

，∴它的子集个数为.

故选：B．

2．D

【分析】

求出，由三角函数定义求得，再由诱导公式得结论．

【详解】

依题有，∴，∴.

故选：D．

3．A

【分析】

结合指数函数和对数函数性质与中间值0和1比较后可得．

【详解】

；，又∵，∴；

，∴.

故选：A．

4．C

【分析】

根据零点存在定理判断．

【详解】

∵在上单调递增，且，，

∴，所以函数的零点在区间内.

故选：C．

5．D

【分析】

由，对乘以，构造均值不等式求最值 .

【详解】

，当且仅当，即时，等号成立，∴.

故选：D

【点睛】

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”

(1) “一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．

6．D

【解析】

因为，所以函数的奇函数，排除答案A 、C ，又当时，，，函数单调递减，故排除答案B，应选答案D．

7．C

【分析】

由同角间的三角函数关系先求得，再得，然后由两角和的正切公式可求得．

【详解】

∵，∴，∴，

∴，

∴.

故选：C．

【点睛】

思路点睛：本题考查三角函数的求值．考查同角间的三角函数关系，两角和的正切公式．三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系，选用恰当的公式进行化简求值．注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系，它们是相对的．不同的场景充当的角色可能不一样．如题中在作为复角，但在中充当“单角”角色．

8．B

【分析】

对已知条件变形可得函数在上是增函数，而不等式变形为，由单调性及对数函数性质可得结论．

【详解】

∵对任意，都有，即，即函数在上是增函数.又，∴，

不等式，可化为，即，

∴，即.

故选：B．

【点睛】

关键点点睛：本题考查解函数不等式，解题方法由已知不等关系变形后得出新函数在上是增函数，同时需将不等式化为形式求解．转化是解题的关键．

9．AC

【分析】

根据不等式的性质判断各选项．

【详解】

由得：，，∴，故选项A正确；

由得：，，∴，故选项B错误；

由得：，故选项C正确；

由得：，故选项D错误.

故选：AC．

10．AD

【分析】

对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，分析即在区间上单调，利用二次函数的单调区间判断.

【详解】

二次函数图象的对称轴为直线，

∵任意且，都有，

即在区间上是单调函数，∴或，

∴或，即实数的取值范围为.

故选：AD

【点睛】

（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．

（2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系．

11．BD

【分析】

由指数函数性质判断A，根据命题的否定的定义判断B，根据充分必要条件的定义判断CD．

【详解】

∵恒成立，∴选项A错误；

命题“，”的否定是“，”，选项B正确；

∵，反之不成立，∴选项C错误；

若，则或，那么或，也即或，∴“”是“”的必要不充分条件，即选项D正确.

故选：BD．

12．BCD

【分析】

化简，代入可判断A；由的周期可以得到可判断B；令， 求出的范围，利用二次函数的单调性可判断C；根据图象的平移可判断D.

【详解】

，且，

所以图象不关于点对称，选项A错误；

的周期为，∴的周期，选项B正确；

令，则，

∴，

又∵在上单调递增，

且当即时，，而关于在单调递减，∴函数在上单调递减，即选项C正确；

的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象的对称轴与函数的图象的对称轴完全相同，选项D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查了三角函数的性质，有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题：（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题.

13．

【分析】

设，代入点的坐标求得参数得解析式，然后由解析式求函数值．

【详解】

设，由，得，又∵，∴，

故答案为：．

14．（或写成）

【分析】

由复合函数的单调性可得，由是减函数，只要求得二次函数的减区间即可得．

【详解】

二次函数开口向下，且对称轴为直线，且，

∴函数的单调递增区间为.

故答案为：．

【点睛】

本题考查对数函数的性质，掌握复合函数的单调性解题关键：（前提条件：在函数定义域内）

【分析】

确定在的性质，知在上有4个根，作出的图象，由数形结合思想可得结论．

【详解】

在上单调递增，在上单调递减，，，

又∵，，

由函数的图象（如图）知，要使得方程在上有8个实根，

在上有4个根，由图可知，实数的取值范围是.

故答案为：．

【点睛】

思路点睛：本题考查方程根的个数问题，解题方法数形结合思想方法，对于一个复杂的方程首先利用换元法，设，求出此函数在上的性质，得时有两个根，从而确定方程在上必须有4个根，作出函数图象，由图象可得结论．

16． 

【分析】

在等腰三角形中求得，由扇形弧长公式可得弧长，求出扇形面积减去三角形面积可得弧田面积．

【详解】

∵弧田所在圆的半径为6，弦的长是，∴弧田所在圆的圆心角，

∴弧田的弧长为；

扇形的面积为，三角形的面积为，∴弧田的面积为.

故答案为：；．

17．（1）；（2）或．.

【分析】

（1）解不等式确定集合，由交集的结论得，从而可得的范围；

（2）求函数定义域确定集合，求出和，根据的定义得出集合．

【详解】

解：（1），

∵，∴，

∴，∴的取值范围为.

（2）由得，即，

∴，，

∴或．

18．（1）；（2）答案见解析.

【分析】

由已知得周期从而求得，

选①：（1）得出，根据偶函数与诱导公式求得；

（2）求出的增区间，再与求交集可得；

选②：（1）解方程可得；

（2）同选①

选③：（1）由是最大值可得；

（2）同选①

【详解】

解：∵的图象与直线的相邻两个交点间的距离为，

∴，即，∴，

∴.

方案一：选条件①

（1）∵为偶函数，

∴，即，，

∵，∴，∴.

（2）令，，

得：，，

令，得，

∴函数在上的单调递增区间为（写成开区间也可得分）

方案二：选条件②

（1）方法1：∵，∴，

∴或，，

∴或，，

∵，∴，∴；

方法2：∵，∴，

∵，∴，

∴即，∴；

（2）同方案一.

方案三：选条件③

∵，，∴为的最大值，

∴，，即，，

∵，∴，∴；

（2）同方案一.

【点睛】

思路点睛：本题考查三角函数的图象与性质，掌握正弦函数的性质是解题关键．，只要把作为一个整体，用它替换中的可确定函数的性质如单调性、对称中心、对称轴，最值，也可由中的范围求出的范围，然后考虑在时的性质得出结论．

19．（1）；（2）.

【分析】

（1）利用零点存在定理及图像法建立不等式，解不等式即可；

（2）利用单调性求出最小值的表达式，令其等于0，求出a.

【详解】

解：（1）方法一：依题意可得，

∴，

∴；

方法二：由，

令，设，

∵

，

若，则，即，又，

∴，即在上单调递减，

若，同理可得在上单调递增，

∵，，

∴要使在上有两个零点，只需；

（2）∵，

①当即时，在区间的最小值为，

依题意有，即（舍）；

②当即时，在区间的最小值为，

根据题意有，即；

③当即时，在区间的最小值为，

根据题意有，即（舍）；

综上：实数的值为；

【点睛】

由根的分布求参数的范围思考的方向：

（1）有根无根；（2）根的个数；（3）对称轴的范围（4）端点处的函数值的符号.

20．（1），；，；（2）.

【分析】

（1）在和中利用三角函数的定义可表示出；

（2）求出后可得矩形面积，利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得最大值．

【详解】

解：（1）在中，，∴，，

又中，，，

∴，；

（2）在中，，∴，

∴

，

∵，∴，

∴当即时，.

【点睛】

关键点点睛：本题考查三角函数的应用，解题关键是用角表示出矩形面积，然后可利用三角函数的恒等变换公式如二倍角公式、两角和与差的正弦（余弦）公式、诱导公式等化函数为一个角的一个三角函数形式，即形式，最后利用正弦函数性质求得结论．

21．（1）；（2）3千克，最大利润是390元.

【分析】

（1）根据题意可以直接得到利润表达式；

（2）根据定义域求每段函数的利润最大值比较后可得答案.

【详解】

（1）由已知，

∴，

∴.

（2）由（1）得当时，，

∴当时，；

当时，

，

当且仅当时，即时等号成立，

∵，∴当时，，

即当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是390元.

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

22．（1）2021；（2）定义域为，函数在上为减函数；奇函数；（3）.

【分析】

(1)直接代入求值；（2）利用真数大于0求定义域，复合函数判断单调性，奇偶性的定义判断奇偶性；（3）用分离参数法求m的范围.

【详解】

解：（1）；

（2）由有，∴函数的定义域为.

∵，∴函数在上为减函数；

，且定义域关于原点对称，∴函数为奇函数；

（3）∵对，，都有恒成立，

∴，

由（2）知在上为减函数，∴，

∵，

令，则，当时，，

∴当即时，，

∴，即，

∴的取值范围为.

【点睛】

(1)函数单调性和奇偶性的判断一般用定义法；

（2）含双量词的不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

①若，，总有成立，故；

②若，，有成立，故；

③若，，有成立，故；

④若，，有，则的值域是值域的子集 ．下载本文