1.如图，已知⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为( )
A.3 B.4 C.3 D.4
2.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A. 2 B. 1 C. D. 4
3.已知点E在半径为5的⊙O上运动，AB是⊙O的弦且AB=8，则使△ABE的面积为8 的点E共有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.下列命题正确的个数是（ ）
①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③垂直于弦的直线必过圆心；④垂直于弦的直径平分弦所对的弧.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AC=6，BC=8，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点E，D，则BE的长为( )
A. B. C. D.
6.如图， 是 的直径， 是弦， ，垂足为点 ，连接 、 、 ， ， ，那么 的长为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为( )
A. B. 2 C. D. 3
8.如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为( )
A. r B. r C. r D. 2r
9.已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（ ）
A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°
10.如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB，交圆O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（ ）
A.40° B.50° C.70° D.80°
11.如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A. B.2 C.2 D.3
12.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.2.6
13.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ）
A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm
14.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．
15.如图，AB和CD是⊙O的弦，且AB=CD，E、F分别为弦AB、CD的中点，证明：OE=OF．
16.如图所示，△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC外接圆的半径．
17.已知：如图，BC是⊙O的弦，线段AD经过圆心O，点A在圆上，AD⊥BC，垂足为点D，若AD=8，tanA= ．
（1）求弦BC的长；
（2）求⊙O半径的长．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【解析】【解答】解、过点O作OE⊥CD，垂足为E，OF⊥AB，垂足为F，连接OD，
∵AB=CD=8，
∴OE=OF，DE=CE=4，
在Rt∆ODE中，DE=4，OD=5，
∴OE==3;
∵AB⊥CD，OE⊥CD，OF⊥AB，
∴∠EPF=∠OEP=∠OFP=900，
∴四边形OEPF是矩形，
而OE=OF，
∴四边形OEPF是正方形，
∴OE=EP=3，
在Rt∆OPE中，
由勾股定理可得OP=.故选C。
【分析】过点O作OE⊥CD，OF⊥AB，连接OD，由垂径定理可得OE=OF，DE=CE，在Rt∆ODE中，用勾股定理可求得OE的长；根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形OEPF是矩形，再根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形OEPF是正方形，于是可得OE=EP，在Rt∆OPE中，用勾股定理可求得OP的长。
2.【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠A=15°,∴∠COB=30°,∵AB⊥CD,∴CD=2CE,∠CEO=90°,在△COE中，∠CEO=90°，∠COB=30°，OC=2,∴CE=,∴CD=2CE=2;
故答案为：A。
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠COB=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出CE的长，再根据垂径定理即可得出答案。
3.【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB，交AB于点C，交圆O于点E3 ，
∵OA=OB=5，
∴AC=BC=4,
∴OC= ，
∴CE3=5-3=2.
∵ ，h为E到AB的距离，
∴h=2.
∴符合题意的有3个点.
故答案为：C.
【分析】由△ABE的面积为8且AB=8，可求得点E到AB的距离；只要圆上的点到直线AB的距离为2即符合题意.
4.【答案】B
【解析】【解答】解：①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，故①正确；
②平分弦的直径平分弦所对的弧，反例：直径也是弦，当两条直径互相平分，但不一定平分一条直径所对应的弧，故②错误；
③垂直于弦的直线必过圆心，不一定，故③错误；
④垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故④正确.
故答案为：B.
【分析】①是定理，需要理解和熟记；②平分“弦”，弦有规定：不是直径；③弦有无数条直线与它垂直，并不一定过圆心；④是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，中的一部分，需要理解和熟记.
5.【答案】A
【解析】【解答】解：过C作CF⊥AB于F，
∵CF⊥AB，CF过圆心C，
∴AE=2AF，
由勾股定理得：AB=
由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CF，
6×8=10CF，
∴CF=，
在△AFC中,由勾股定理得：AF=
∴AE==2AF=
∴BE=AB-AE=
故答案为A【分析】过C作CF⊥AB于F，根据垂径定理得出AE=2AF，根据勾股定理算出AB的长，根据面积法算出CF的长，再根据勾股定理算出AF的长，进而得出答案。
6.【答案】D
【解析】【解答】∵∠DOB=60°，∴∠BCE=30°．
在Rt△BCE中，∵BE=2，∠BCE=30°，∴BC=4，CE= ．
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴CD=2CE= ．
故答案为：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BCE=30°，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出BC=4，然后利用勾股定理算出CE的长，根据垂径定理即可得出CD的长。
7.【答案】C
【解析】【解答】过A作AD⊥BC，
由题意可知AD必过点O，连接OB，∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3，∴OD=AD﹣OA=2，Rt△OBD中，根据勾股定理，得：OB= = ．故答案为：C．
【分析】过A作AD⊥BC，根据圆的轴对称性及等腰三角形的轴对称性得出AD必过点O，连接OB，根据等腰直角三角形的性质得出BD=CD=AD=3，进而得出OD的长，然后根据勾股定理即可算出OB的长。
8.【答案】B
【解析】【解答】连接AB，与OC交于点D，如图所示：
∵四边形ACBO为菱形，
∴OA=OB=AC=BC，OC⊥AB，又OA=OC=OB，
∴△AOC和△BOC都为等边三角形，AD=BD，
在Rt△AOD中，OA=r，∠AOD=60°，
∴AD=OAsin60°= ,
则AB=2AD= r.
故答案为：:B.
【分析】连接AB，与OC交于点D，如图所示：根据菱形的性质得出OA=OB=AC=BC，OC⊥AB，又OA=OC=OB，根据三边相等的三角形是等边三角形得出△AOC和△BOC都为等边三角形，根据垂径定理得出AD=BD，在Rt△AOD中，利用正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由AD=OAsin60°表示出AD，进而即可得出答案。
9.【答案】D
【解析】【解答】如图，
由图可知，OA=10，OD=5，
在Rt△OAD中，
∵OA=10，OD=5，AD= = ，
∴tan∠1= ，∴∠1=60°，
同理可得∠2=60°，
∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，
∴∠C=60°，
∴∠E=180°-60°=120°,
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，
故答案为：D．
【分析】弦AB所对的圆周角的度数，可能是优弧AB所对的度数，也可能是劣弧AB所对的度数，因此分情况讨论：利用垂径定理及勾股定理求出AD的长，再利用锐角三角函数的定义求出∠1的度数，就可得出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理及圆内接四边形的性质，可求出答案。
10.【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠ABC=20°,
∴∠AOC=40°,
又∵OC⊥AB，
∴OC平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠AOC=80°.
故答案为：D.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍得∠AOC度数，再由垂径定理得OC平分∠AOB，由角平分线定义得∠AOB=2∠AOC.
11.【答案】C
【解析】【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴ ，
∴∠E= ∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB等于： ．
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理可得出弧AC=弧BC、DB的长，由∠E=22.5°，利用圆周角定理求出∠BOD的度数，可证得△ODB是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出OB的长。
12.【答案】C
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD
∴CE=CD=×6=3
设⊙O的半径为xcm
则OC=xcm，OE=OB−BE=x−1
在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2
∴x2=32+(x−1)2
解得：x=5
∴⊙O的半径为5
故答案为：5
【分析】连接OC，由垂径定理可证得CE=CD，求出CE的长，再利用勾股定理即可得到关于半径的方程，解方程求出就可求出圆的半径。
13.【答案】D
【解析】【解答】解：连接OB
∵AC⊥BD，OF⊥BC，BD=8
∴BE= BD=4,BF= BC
设圆的半径为r，则OE=r-2
在Rt△BEO中，
∴
解之：r=5
∴EC=OE+OC=3+5=8
在Rt△BEC中，
∴
在Rt△OBF中,
故答案为：D
【分析】利用垂径定理求出BE的长，BF= BC，在Rt△BEO中，利用勾股定理求出圆的半径，就可求出EC的长，再在在Rt△BEC中，利用勾股定理求出BF的长，然后在Rt△OBF中,利用勾股定理就可求出答案。
二、解答题
14.【答案】解：连结BE，如图，
∵OD⊥AB，∴AC=BC= AB= ×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，
在Rt△ACO中，∵ ，∴ ，解得 x=5，∴AE=10，OC=3，
∵AE是直径，∴∠ABE=90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE= ．
【解析】【分析】连结BE，如图，根据垂径定理得出AC=BC= AB= ×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中，利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而得出AE,OC的长，根据直径所对的圆周角的直角得出∠ABE=90°，根据三角形的中位线定理得出BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中，利用勾股定理即可算出CE的长。
15.【答案】证明：连结OA、OC，如图，
∵E、F分别为弦AB、CD的中点，
∴OE⊥AB，AE=BE，OF⊥CD，CF=DF，
∵AB=CD，
∴AE=CF，
在Rt△AEO和Rt△COF中，
，
∴Rt△AEO≌Rt△COF（HL），
∴OE=OF．
【解析】【分析】连结OA、OC，由垂径定理和已知条件可得AE=CF，用斜边直角边定理可证Rt△AEO≌Rt△COF求解。
16.【答案】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，则O一定在AD上，
所以
设OA=r,
即
解得
答：△ABC外接圆的半径为
【解析】【分析】作AD⊥BC，垂足为D，由垂径定理可得AD经过圆心O，根据勾股定理可求得AD，在直角三角形BOD中，用勾股定理可求得关于圆的半径的方程，解方程即可求解。
17.【答案】（1）解：∵AD⊥BC， ，
∴ ．
∵AD=8，∴BD=4．
又∵经过圆心O的直线AD⊥BC，
∴BC=2BD=8．
（2）解：连接OC．
设⊙O的半径为r，那么OD=8﹣r．
在△COD中，（8﹣r）2+42=r2 ，
∴r=5，
即⊙O的半径为5．
【解析】【分析】（1）根据题意，利用锐角三角函数的定义，在Rt△ABD中求出BD的长，再根据经过圆心O的直线AD⊥BC，就可求出BC的长。
（2）连接OC，设⊙O的半径为r，那么OD=8﹣r．利用勾股定理建立方程，求解即可求出圆的半径。下载本文
