（共30题）

一、选择题（共10题）

1. 已知 ，，则  是  的  

 ．必要非充分条件 ．充分非必要条件

 ．充分且必要条件 ．既非充分又非必要条件

2. 已知集合 ，，且  有  个子集，则实数  的取值范围是  

 ．   ．  

 ．   ．  

3. 设 ，则“”是“”的  

 ．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件

 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件

4. 已知点  在幂函数  的图象上，则  的表达式为  

 ．   ．   ．   ．  

5. 已知 ，且 ，，则  的最小值为  

 ．   ．   ．   ．  

6. 若 ，则  的终边在  

 ．第一或第三象限 ．第二或第三象限

 ．第二或第四象限 ．第三或第四象限

7. 设 ，则“”是“”的  

 ．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件

 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件

8. 定义在  上的奇函数 ，当  时，，则函数  的所有零点之和为  

 ．   ．   ．   ．  

9. 已知幂函数  的图象过点 ，则这个函数的解析式    

 ．   ．   ．   ．  

10. 设 ，，，则 ，， 的大小关系是  

 ．   ．   ．   ．  

二、填空题（共10题）

11. “ 成立”是“ 成立”的    条件．（选择确切的一个填空：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）

12. 设集合 ，集合 ，若 ，则实数      ．

13. 若 ，则  的最小值为    ．

14. 已知  是角  终边上一点，则      ．

15. 下列所给的对象能构成集合的有    ．（填序号）

①所有的正三角形；

②我国的小城市；

③接近  的所有实数；

④某校高一年级  岁以下的学生；

⑤平面直角坐标系内到坐标原点的距离等于  的点．

16. 已知常数 ，若函数  的反函数的图象经过点 ，则      ．

17. 已知 ，则      ．

18. 正实数 ， 满足：，则  的最小值为    ．

19. 计算：     ．

20. 已知  是奇函数，当  时，，且 ，则  的值为    ．

三、解答题（共10题）

21. 常见分式不等式的转化思路．

 ；

 ；

问题：分式不等式解题的方法是什么？

22. 已知 ，且角  的  倍角的终边与角  的终边重合，求角 ．

23. 已知函数  的定义域为 ，求实数  的取值范围．

24. 判断下列命题的真假：

(，；

(，．

25. 设 ，，若  是  的充分条件，求  的值．

26. 面对拥堵难题，济南治堵不舍昼夜，轨道交通  号线已于  年元旦通车试运行，比原定工期提前  个月，其他各条地铁线路的建设也正在如火如荼的进行中，完工投入运行后将给市民出行带来便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔为 （单位：分钟），并且 ，经市场调研测算，地铁载客量与发车时间间隔  相关，当  时，地铁为满载状态，载客量为  人；当  时，载客量会减少，减少的人数与  的平方成正比，且发车时间间隔为  分钟时的的载客量为  人，记地铁载客量为 （单位：人）．

(1)  求  的表达式，并求当发车时间间隔为  分钟时，地铁的载客量．

(2)  若该线路每分钟的利润为 （单位：元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的利润最大．

27. 函数  的定义域为 ．

(1)  设 ，求  的取值范围；

(2)  求函数  的值域．

28. 将下列集合用区间表示出来：

(；

(；

(；

(．

29. 已知函数  对任意实数 ，，都有  成立．

(1)  求 ， 的值；

(2)  若 ，（， 为常数），求  的值．

30. 若甲是乙的充分条件，乙是丙的必要条件，丙是丁的必要条件，丁是乙的必要条件，问：

(1)  甲是丁的什么条件？

(2)  乙是丙的什么条件？

答案

一、选择题（共10题）

1.  【答案】A

【解析】记 ，，

所以 ，

所以  是  的必要而不充分条件．

【知识点】充分条件与必要条件

2.  【答案】B

【解析】因为  有  个子集，所以  中有  个不同的元素，

所以 ，所以 ，解得 ．

又 ，所以实数  的取值范围是 ．

【知识点】n元集合的子集个数

3.  【答案】B

【解析】因为 ，所以 ，

因为  推不出 ，

 ，

所以  是  的必要不充分条件，

即  是  的必要不充分条件．

故选：B．

【知识点】充分条件与必要条件

4.  【答案】D

【知识点】幂函数及其性质

5.  【答案】D

【解析】 ，即 ，且 ，，由均值不等式可得，

 ，当且仅当 ， 时取等号．

【知识点】均值不等式的应用

6.  【答案】A

【解析】当  时，， 在第一象限；

当  时，， 在第三象限．

【知识点】任意角的概念

7.  【答案】A

【解析】由  可得 ，

由  可得  或 ．

故“”是“”的充分而不必要条件．

【知识点】充分条件与必要条件

8.  【答案】B

【解析】因为函数  是定义在  上的奇函数，

当  时，，

故函数  的图象如图所示：

故关于  的方程  共有  个根：，，，，，

则 ，，

由  得：，

故关于  的方程  的所有根之和为 ．

【知识点】函数的奇偶性、函数的零点分布

9.  【答案】B

【知识点】幂函数及其性质

10.  【答案】A

【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质

二、填空题（共10题）

11.  【答案】充分不必要

【解析】由  得 ，由  不能得出 ，则“ 成立”是“ 成立”的充分不必要条件，故答案为充分不必要．

【知识点】充分条件与必要条件

12.  【答案】  

【解析】由集合相等的概念，得  

解得 ．

【知识点】集合相等

13.  【答案】  

【知识点】函数的最大（小）值、对数的概念与运算

14.  【答案】  

【知识点】任意角的三角函数定义

15.  【答案】①④⑤

【解析】①能构成集合，其中的元素需满足三条边相等；

②不能构成集合，因为“我国的小城市”无明确的标准，对于某个城市是否“小”无法客观地判断，故不能构成集合；

③不能构成集合，因为“接近  的实数”无明确的标准，所以元素不确定，故不能构成集合；

④能构成集合，其中的元素是“该校高一年级  岁以下的学生”；

⑤能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到坐标原点的距离等于  的点”．

【知识点】集合的概念

16.  【答案】  

【知识点】指数函数及其性质

17.  【答案】  

【知识点】同角三角函数的基本关系

18.  【答案】  

【解析】 ，

当且仅当  时取等号．

【知识点】均值不等式的应用

19.  【答案】  

【知识点】幂的概念与运算

20.  【答案】  

【知识点】函数的奇偶性

三、解答题（共10题）

21.  【答案】分式不等式解题的方法是化为整式不等式，利用的原理是符号法则，但不要忽略分式不等式的分母不为  的条件．

【知识点】不等式的性质

22.  【答案】 ，，，，．

【知识点】任意角的概念

23.  【答案】由  的解集为 ，分  与  进行分类讨论得 ．

【知识点】恒成立问题、函数的定义域的概念与求法

24.  【答案】

(1)  因为 ，都有 ，

所以 ．

所以“，”是真命题．

(2)  因为 ，当  时，，即  不成立，

所以“，”是假命题．

【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断

25.  【答案】令 ，，则 ．

因为 ，

所以 ，

所以 ．

①当  时，；

②当  时，；

③当  时，．

综上所述，．

【知识点】充分条件与必要条件

26.  【答案】

(1)  由题意知，，

因为 ，

所以 ，

所以 ，

 ．

(2)  由  得：

当  时，，

  在  单调递增，则 ．

综上，当发生时间间隔为  时，线路每分钟利润最大，利润最大为  元．

【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型

27.  【答案】

(1)  因为  在  上单调递增，所以 ．

(2)  函数可化为 ，

  在  上递减，在  上递增，

比较得 ．

所以 ，．

所以函数的值域为 ．

【知识点】函数的解析式的概念与求法、指数函数及其性质、函数的单调性、函数的值域的概念与求法

28.  【答案】

(．

(．

(．

(．

【知识点】函数的相关概念

29.  【答案】

(1)  令 ，得 ，解得 ；

令 ，，得 ，解得 ．

(2)  方法一：

令 ，得 ，

令 ，得 ，

令 ，，得 ．

方法二：

因为 ，

所以 

【知识点】函数的相关概念

30.  【答案】

(1)  充分条件．

(2)  充要条件．

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