2011—2012学年第一学期统一检测题

高二数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．在空间中，下列命题正确的是

A．垂直于同一平面的两条直线平行        B．垂直于同一平面的两个平面平行

C．平行于同一直线的两个平面平行        D．平行直线的平行投影重合

2．下列是全称命题且是真命题的是

A．                 B． 

C．                 D． 

3．双曲线的渐近线方程是

A．     B．     C．     D． 

4．命题“若a>-3，则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为

A．1            B．2            C．3            D．4

5．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是

A．1            B．           C．            D． 

6．若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数k等于

A．          B．           C．            D． 

7．若圆关于直线对称，则实数m的值为

A．-1或3  　    B．-1           C．3             D．不存在 

8．如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为

A．          B． 

C．4             D．2 

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 

9．用一个平面截半径为25的球，截面面积是225，则球心到截面的距离为  ▲  .

10．若A（-2，3）、B（3，-2）、C（，m）三点共线，则m值为  ▲  . 

11．双曲线的离心率等于  ▲  . 

12．若动点P在上，则点P与点Q（0，-1）连线中点的轨迹方程是  ▲  . 

13．不等式成立的一个充分而不必要条件是，则a的取值范围是  ▲  . 

14．如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=4，

CD=2. E、F分别为AD、BC上点，且EF=3，

EF//AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积

比为  ▲  .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

15．（本小题满分12分）

求满足下列条件的直线的方程：

（1）经过点A（3，2），且与直线4x+y-2=0平行；

（2）经过点B（2，-3），且平行于过点M（1，2）和N（-1，-5）的直线；

（3）经过点C（3，0），且与直线2x+y-5=0垂直.

16．（本小题满分12分）

如图，一个高为H的三棱柱形容器中盛有水. 若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC、BC、A1C1、B1C1的中点E、F、E1、F1. 当底面ABC水平放置时，液面高为多少？

17．（本小题满分14分）

求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为的圆的方程.

18．（本小题满分14分）

如图，棱长为a的正方体中，M、N、E、F分别是A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点.

（1）求证：B、D、E、F四点共面；

（2）求证：平面AMN//平面BEFD；

（3）求点A1到平面AMN的距离．

19．（本小题满分14分）

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1上的点，CF=AB=2CE，ABADAA1=124.

（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；

（2）证明：AF平面A1ED； 

（3）求二面角A1—ED—F的大小的正弦值．

20．（本小题满分14分）

已知F1、F2分别为椭圆C1：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且.

（1）求椭圆C1的方程；

（2）已知A（b，0），B（0，a），直线

y=kx（k>0）与椭圆C1相交于E、F两点.

求四边形AEBF面积的最大值.

2011—2012学年第一学期统一检测题

高二数学（理科）参及评分标准

一、选择题

9．20            10．            11． 

12．      13．（2，+∞）     14．75 

三、解答题

15．（本小题满分12分）

解：（1）由直线4x+y-2=0得直线的斜率为-4，                  （2分）

所以经过点A（3，2），且与直线4x+y-2=0平行的直线方程为

y-2=-4(x-3)，即4x+y-14=0.                                    （4分）

（2）由已知，经过两点M（1，2）和N（-1，-5）的直线的斜率

，                                            （6分）

所以，经过点B（2，-3），且平行于MN的直线方程为

，即7x-2y-20=0.                               （8分）

（3）由直线2x+y-5=0得直线的斜率为-2，                     （9分）

所以与直线2x+y-5=0垂直的直线的斜率为.                   （10分）

所以，经过点C（3，0），且与直线2x+y-5=0垂直的直线方程为

，即x-2y-3=0.                                   （12分）

16．（本小题满分12分）

解：当侧面AA1B1B水平放置时，水的体积V等于

四棱柱ABFE—A1B1F1E1的体积，

.           （3分）

当底面ABC水平放置时，设水面高为h，则水的体积.   （6分）

因为E、F为AC、BC的中点，所以，

所以.                                        （8分）

由，即，得.   （11分）

故当底面ABC水平放置时，液面高为.                      （12分）

17．（本小题满分14分）

解：设所求的圆的方程是，           （2分）

则圆心到直线x-y=0的距离为，                          （4分）

所以，即    ①           （6分）

因为所求的圆与x轴相切，所以             ②           （8分）

又因为所求圆心在直线3x-y=0上，所以3a-b=0       ③          （10分）

联立①②③，解得或                            （12分）

故所求圆的方程为或.     （14分）

18．（本小题满分14分）

（1）证明：如图，连接B1D1.

因为E、F为B1C1、C1D1的中点，

所以EF//B1D1.              （2分）

又因为BD//B1D1，

所以EF//BD.               （3分）

故B、D、E、F四点共面.   （4分）

（2）证明：连接EN.

因为M、N为A1B1、A1D1的中点，所以MN//B1D1. 

又EF//B1D1，所以MN/ / EF.                                  （5分）

因为EF平面BEFD，所以MN//平面BEFD.                    （6分）

因为E、N为B1C1、A1D1的中点，所以EN//A1B1，且EN=A1B1. 

又AB//A1B1，且AB=A1B1，所以NE/ / AB，且NE=AB. 

所以四边形ABEN为平行四边行，故AN//BE.                   （7分）

因为BE平面BEFD，所以AN//平面BEFD.                    （8分）

因为MN平面AMN，AN平面AMN，且MN∩AN=N，

所以平面AMN//平面BEFD.                                  （9分）

（3）证明：设A1到平面AMN的距离为d.

在AMN中，，，

所以.                   （11分）

因为，                              （12分）

即，                                （13分）

解得,故A1到平面AMN的距离为.                    （14分）

19．（本小题满分14分）

解：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

设AB=1，依题意得A（0，0，0），A1（0，0，4），

D（0，2，0），E（1，，0），F（1，2，1）.  （2分）

（1）易得，．      （3分）

所以，     （5分）

故异面直线EF与A1D所成角的余弦值为．             （6分）

（2）易得，，.   （7分）

因为，，    （8分）

所以，.                           （9分）

又A1E平面A1ED，A1D平面A1ED，A1E∩A1D= A1，

所以AF平面A1ED．                                 （10分）

（3）设平面EFD的法向量为．

由，， 

得解得

不妨令,  得．                        （11分）

由（2）可知，为平面A1ED的一个法向量.     （12分）

于是，           （13分）

从而.

所以二面角A1—ED—F的大小的正弦值为.            （14分）

20．（本小题满分14分）

解：（1）设.

由C2：，得F1（0，1）.           （1分）

因为M在抛物线C2上，故.  ①   （2分）

又，则.          ②   （3分）

解①②得                    （4分）

因为点M在椭圆上，故，即  ③   （5分）

又c=1，则    ④                                    （6分）

解③④得故椭圆C1的方程为.                 （7分）

（2）不妨设，，且.

将代入中，可得，                 （8分）

即，所以.                （9分）

由（1）可得.                                （10分）

故四边形AEBF的面积为

.          （11分）

所以                （12分）

因为，所以.                          （13分）

所以，当且仅当时，等号成立.

故四边形AEBF面积的最大值为.                          （14分）下载本文