一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）

A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）

2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）

A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤b

C．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c

3．双曲线的离心率为（）

A．4 B．C．D．

4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）

A．一B．C．﹣D．

5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）

A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l

6．已知x与y之间的一组数据：

x1234

y m 3.2 4.87.5

若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.5

7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）

A．﹣B．C．﹣D．

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）

A．B．C．5 D．3

9．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）

A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）

10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）

A．3 B．2C．2 D．﹣3

12．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）

A．4e2B．4e C．D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为．

14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为．

15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．某省2018年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．

（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；

（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．

18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

（I）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．

19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；

（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．

20．已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

（I）若直线l1的倾斜角为，|AB|的值；

（Ⅱ）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．

21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．

（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．

（I）求不等式f（x）≤6的解集；

（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．2018年四川省成都市高考数学一诊试卷（文科）

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}，则∁U A=（）

A．（一∞，﹣1）∪（2，+∞） B．[﹣l，2]C．（一∞，﹣1]∪[2，+∞）D．（一1，2）

【考点】补集及其运算．

【分析】解不等式求出集合A，根据补集的定义写出∁U A．

【解答】解：集合U=R，A={x|（x+l）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，

则∁U A={x|x≤﹣1或x≥2}=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．

故选：C．

2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）

A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤b

C．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c

【考点】四种命题．

【分析】根据命题“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，写出即可．

【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是

“若a+c＞b+c，则a＞b”．

故选：C．

3．双曲线的离心率为（）

A．4 B．C．D．

【考点】双曲线的标准方程．

【分析】通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．

【解答】解：因为双曲线，所以a=，b=2，所以c=3，

所以双曲线的离心率为：e==．

故选B．

4．已知α为锐角，且sinα=，则cos（π+α）=（）

A．一B．C．﹣D．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】根据α为锐角，且sinα=，可得cosα=，利用诱导公式化简cos（π+α）=﹣cosα可得答案．

【解答】解：∵α为锐角，sinα=，

∴cosα=，

那么cos（π+α）=﹣cosα=﹣．

故选A．

5．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）

A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l

【考点】程序框图．

【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，

x＞0，y=3x+2=0，无解，

故选：C．

6．已知x与y之间的一组数据：

x1234

y m 3.2 4.87.5

若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）

A．l B．0.85 C．0.7 D．0.5

【考点】线性回归方程．

【分析】根据回归直线经过样本数据中心点，求出y的平均数，进而可求出m 值．

【解答】解：∵=2.5，=2.1x﹣1.25，

∴=4，

∴m+3.2+4.8+7.5=16，

解得m=0.5，

故选：D．

7．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），且当x∈[0，）时，f（x）=一x3．则f（）=（）

A．﹣B．C．﹣D．

【考点】函数奇偶性的性质．

【分析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为3的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．

【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），

∴函数f（x）是周期为3的函数，∵当x∈[0，）时，f（x）=﹣x3，

∴f（）=f（﹣6）=f（﹣）=﹣f（）=，

故选：B．

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的所有棱中，最长的棱的长度为（）

A．B．C．5 D．3

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．可得最长的棱长为PC．

【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，

其中PA⊥底面ABCD，底面是边长为3的正方形，高PA=4．

连接AC，则最长的棱长为PC===．

故选：B．

9．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一个对称中心是（）

A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（，0）

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一个对称中心．

【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+sin2x）=2sin（2x+）图象上所有点向右平移个单位长度，

得到函数g （x）=2sin2x的图象，令2x=kπ，求得x=，k∈Z，

令k=1，可得g（x）图象的一个对称中心为（，0），

故选：D．

10．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

【考点】棱柱的结构特征．

【分析】在①中，由AA1EH GF，知四边形EFGH是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC1B1平行或相交；在③中，EH⊥平面BCEF，从而平面α⊥平面BCFE．

【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，

平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．

∴AA1EH GF，∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确；

∵EF与BC不一定平行，∴平面α与平面BCC1B1平行或相交，故②错误；

∵AA1EH GF，且AA1⊥平面BCEF，∴EH⊥平面BCEF，

∵EH⊂平面α，∴平面α⊥平面BCFE，故③正确．

故选：C．11．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）

A．3 B．2C．2 D．﹣3

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．

【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，

∴与的夹角为，

∴•=||•||•cos=2×2×=2，

∵M是线段AB的中点，

∴=（+），

∵=﹣，

∴•=（+）•（﹣）

=（5||2+3••﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，

故选：A

12．已知曲线C1：y2=tx （y＞0，t＞0）在点M（，2）处的切线与曲线C2：y=e x+l﹣1也相切，则t的值为（）A．4e2B．4e C．D．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出y=的导数，求出斜率，由点斜式方程可得切线的方程，设切点为（m，n），求出y=e x+1﹣1的导数，可得切线的斜率，得到t的方程，解方程可得．

【解答】解：曲线C1：y2=tx（y＞0，t＞0），即有y=，

y′=•，

在点M（，2）处的切线斜率为•=，

可得切线方程为y﹣2=（x﹣），即y=x+1，

设切点为（m，n），则曲线C2：y=e x+1﹣1，

y′=e x+1，e m+1=，

∴m=ln﹣1，n=m•﹣1，n=e m+1﹣1，

可得（ln﹣1）•﹣1=e﹣1，

即有（ln﹣1）•=，可得=e2，

即有t=4e2．

故选：A．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．复数z=（i为虚数单位）的虚部为1．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．

【解答】解：z==i+1的虚部为1．

故答案为：1．

14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（组暅原理）：“幂势既同，

则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处裁得两几何体的裁面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段始终相等，则图1的面积为8．

【考点】函数模型的选择与应用．

【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=矩形的面积，即可得出结论．

【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积为4×2=8．

故答案为8．

15．若实数x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为6．

【考点】简单线性规划．

【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x可得结论．

【解答】解：作出约束条件，所对应的可行域如图，

变形目标函数可得y=3x﹣z，平移直线y=3x可知当直线经过点A（2，0）时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z=3x﹣y的最大值为6，

故答案为：616．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD=．

【考点】正弦定理．

【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD的值．

【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC•BC•sin∠ACB=sin∠ACB，

∴sin∠ACB=，

∴∠ACB=，或，

∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，

∴∠ACB=，

∴在△ABC中，由余弦定理可得：AB===，

∴∠B=，∴在△BCD中，由正弦定理可得：CD===．

故答案为：．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．某省2018年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．

（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；

（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．

【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x=0.004，从而得到甲学校的合格率，由此能求出结果．

（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，由此利用列举法能求出随机抽取2名学生，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，解得x=0.004，

∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，

而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，

故甲乙两校的合格率相同．

（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D1，D2，

则随机抽取2名学生的基本事件有：

{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，

{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，

其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=．

18．在等比数列{a n}中，已知a4=8a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

（I）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{|a n﹣4|}的前n项和S n．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，a4=8a1，可得=8a1，解得q．又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）=a1+a3，当然解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出．

（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，可得S1=2．当n≥2时，a n﹣4≥0．数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4），再利用等比数列的求和公式即可得出．

【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵a4=8a1，∴=8a1，a1≠0，解得q=2．

又a1，a2+1，a3成等差数列，∴2（a2+1）=a1+a3，∴2（2a1+1）=a1（1+22），解得a1=2．

∴a n=2n．

（II）n=1时，a1﹣4=﹣2＜0，∴S1=2．

当n≥2时，a n﹣4≥0．

∴数列{|a n﹣4|}的前n项和S n=2+（a2﹣4）+（a3﹣4）+…+（a n﹣4）

=2+22+23+…+2n﹣4（n﹣1）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．

∴S n=．

19．如图l，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，点G，R分别在线段DH，HB上，且=．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，B，C重合于点P，如图2所示，（I）求证：GR⊥平面PEF；

（Ⅱ）若正方形ABCD的边长为4，求三棱锥P﹣DEF的内切球的半径．

【考点】球的体积和表面积；直线与平面垂直的判定．

【分析】（Ⅰ）推导出PD⊥平面PEF，RG∥PD，由此能证明GR⊥平面PEF．（Ⅱ）设三棱锥P﹣DEF的内切球半径为r，由三棱锥的体积V=，能求出棱锥P﹣DEF的内切球的半径．

【解答】证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，∠A、∠B、∠C均为直角，

∴在三棱锥P﹣DEF中，PE，PF，PD三条线段两两垂直，

∴PD ⊥平面PEF ， ∵

=

，即

，∴在△PDH 中，RG ∥PD ，

∴GR ⊥平面PEF ．

解：（Ⅱ）正方形ABCD 边长为4， 由题意PE=PF=2，PD=4，EF=2，DF=2

，

∴S △PDF =2，S △DEF =S △DPE =4，

=6，

设三棱锥P ﹣DEF 的内切球半径为r ， 则三棱锥的体积：

=

，

解得r=，

∴三棱锥P ﹣DEF 的内切球的半径为．

20．已知椭圆

的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过

点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点． （I ）若直线l 1的倾斜角为

，|AB |的值；

（Ⅱ）设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l ．

【考点】直线与椭圆的位置关系．

【分析】（I ）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|AB |的值；

（Ⅱ）设直线l 1的方程为y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，由A ，M ，N 三点共线，

求得N点坐标，y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1），代入，利用韦达定理即可求得y0=y2，则直线BN⊥l．

【解答】解：（I）由题意可知：椭圆，a=，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），

由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l的方程y=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，整理得：9x2﹣10x﹣15=0，

则x1+x2=，x1x2=﹣，

则丨AB丨=•=，

|AB|的值；

（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），

则，整理得：（4+5k2）x2﹣10k2x+5k2﹣20=0，

则x1+x2=，x1x2=，

设N（5，y0），由A，M，N三点共线，

有=，则y0=，

由y0﹣y2=﹣y2=﹣k（x2﹣1）=，

==0，∴直线BN∥x轴，

∴BN⊥l．

21．已知函数f（x）=xlnx+（l﹣k）x+k，k∈R．

（I）当k=l时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当x＞1时，求使不等式f（x）＞0恒成立的最大整数k的值．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，f′（x）=lnx+1，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．

（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，推导出k＜恒成立，设g（x）=，则g′（x）=，令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，由此利用导数秘技能求出k的最大整数值．

【解答】解：（Ⅰ）当k=1时，f（x）=xlnx+1，

∴f′（x）=lnx+1，

由f′（x）＞0，得x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜，

∴f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调减区间为（0，）．

（Ⅱ）由f（x）＞0恒成立，得xlnx+（1﹣k）x+k＞0，

∴（x﹣1）k＜xlnx+x，

∵x＞1，∴k＜恒成立，

设g（x）=，则g′（x）=，

令μ（x）=﹣lnx+x﹣2，则，

∵x＞0，∴μ′（x）＞0，μ（x）在（1，+∞）上单调递增，

而μ（3）=1﹣ln3＜0，μ（4）=2﹣ln4＞0，

∴存在x0∈（3，4），使μ（x0）=0，即x0﹣2=lnx0，

∴当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，

当x∈（x0，+∞）时，g′（x0）＞0，此时函数g（x）单调递增，

∴g（x）在x=x0处有极小值（也是最小值），∴==x0∈（3，4），

又由k＜g（x）恒成立，即k＜g（x）min=x0，

∴k的最大整数值为3．

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．

（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．

【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．

（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．

【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．

∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），

由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，

∴x2﹣4y=0，

∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．

（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），

∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，

代入x2=4y，得，

设A，B两点对应的参数为t1，t2，

∵Q为线段AB的中点，

∴点Q对应的参数值为，

又P（1，0），则|PQ|=||=3．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．

（I）求不等式f（x）≤6的解集；

（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得

或，解可得x的范围，即可得答案；

（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．

若f（x）≤6，则有或，

解可得﹣1≤x≤4，

故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；

（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，

分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；

则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．

2018年4月5日下载本文