2021-2022年度哈尔滨市第九中学高一下学期期末考试数学
学科试卷
（考试时间：120分钟
满分：150分）
I 卷（选择题，12小题，共60分）
一、单项选择题（每题5分，共40分）
1.若复数z 满足(13)2z i +=，则z 的共轭复数为A.
135
i - B.135
i + C.
132
i - D.
132
i +2.已知()()1,1,2,6,a b m a b ==+⊥
,则||b =
A.2
C.
3.从2022年北京冬奥会、冬残奥会志愿者的30000人中随机抽取10人，测得他们的身高分别为（单位:cm ）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根据样本频率分布估计总体分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm 170.5cm -之间的人数约为A ．18000B ．15000C ．12000D ．10000
4.如图一所示，某市5月1日至10日 2.5PM 的日均值（单位：3/g m μ）变化的折线图，则该组数据第百分位数为
A ．45
B ．48
C ．78
D ．80
5.已知a 、b 是两条不相同的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题为假命题的是A.若b αβ= ，a α⊂，则a 与β相交 B.若a α⊥，a β⊥，b α⊂，则//b β
C.若αβ⊥，a α⊥，b β⊥，则a b
⊥ D.若a α⊥，//b β，//αβ，则a b
⊥6.在平面四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 上的点，3DC DF = ，3AB AE = ，AD m = ，BC n =
，则EF =
A ．1233m n +
B ．2133m n +
C ．3144m n +
D ．1344m n
+ 7.梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠= ，1AD =，2BC =，60DCB ∠= ，在平面ABCD 内过点C 作l CB ⊥以l 所在直线为轴旋转一周，则该旋转体的表面积为
A ．(10π
+B ．(9π
+C ．(8π
+D ．(7π
+8.将地球看作一个以O 为球心的球体，地球上点P 的纬度是指OP 与赤道面所成角的度数.一个地球仪，
在其北半球某纬线圈上有,,A B C 三点，其中2AB =，AC =，60ABC ∠= ，且三棱锥O ABC -的
，
体积为
3，则这个纬线圈的纬度为
A.30
B.45
C.60
D.75
二、多项选择题（全选对得5分，漏选得2分，有错误选项得0分）
9.在正方体1111
ABCD A B C D
-中，下列说法正确的是
A.与1
AC垂直的面对角线有6条 B.直线1
AC与直线1
AA所成的角为45
C.直线1
AC与平面11
CC D D所成的角为45 D.二面角111
A B D C
--
的余弦值为
3
-
10.某校为了解学生对食堂的满意程度，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试分数按照[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，
11.已知在ABC
∆中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若
[80,90)，[90,100]分组，画出频率分布直方图，已知随机抽取的学生测试分数不低于80分的学生有27人，则以下结论中正确的是
A.此次测试众数的估计值为85
B.此次测试分数在[50,60)的学生人数为6人
C.随机抽取的学生测试分数的第55百分位数约为80
D.平均数m在中位数n
右侧
a=，222sin
a b c ab C
=
+-，cos sin
a B
b A c
+=，则下列结论正确的是
A.
4
Aπ
= B.tan2
C=
C.b=
D.ABC
∆的面积为6 12.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.
例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是
3
π
，所以正四面体在每个顶点的曲率为
23
3
π
ππ
-⨯=，故其总曲率为4π.给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有
A.正方体在每个顶点的曲率均为
2
π
；
B.任意四棱锥的总曲率均为4π；
C.若一个多面体满足顶点数6
V=，棱数8
E=，面数12
F=，则该类多面体的总曲率是3π；
D.若某类多面体的顶点数V，棱数E，面数F满足2
V E F
-+=，则该类多面体的总曲率是常数
.
II 卷（主观题，10小题，共90分）
三、填空题（单空题每题5分，双空题第一处答案正确得2分，第二处答案正确得3分）
13.如图所示，电路原件123,,R R R 正常工作的概率分别为311
422
，，则电路能正常
工作的概率为.
14.为实现学生高中选科和大学专业选择的有效衔接，黑龙江省于2022年采用312++“”模式改革考试科目设置，即考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩，物理或历史中的1门成绩，和生物、政治、地理、化学中的2个科目成绩组成，则学生选课的情况有
种．
15.已知1i +是关于x 的实系数一元二次方程20x ax b ++=的一个根，则a+b 的值为.
16.满足下述条件的两组基底12{,}a a 与12{,}b b 叫做一组“对偶基底”：1,,,{1,2}0,i j i j a b i j i j =⎧⋅=∈⎨≠⎩
。当1a ，
2a 均为单位向量，且122,3a a π
<>= 时，12b b ⋅= .四、解答题（共70分）
17．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D 为BC 中点.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；
（2
）若12,4AB AC BC AA ====，求三棱锥1B ACC -的体积.18.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足sin 2sin 2b c
B C
=
；（1）判断ABC ∆的形状；
（2）如图，延长BA 至点D ，连接CD ，过A 作//AE BC 交CD 于E ，若6DC DE =
5AB =，125
ACD
S ∆=，0AB AC ⋅>
，求BC 的长度.19.一位同学想调查某学校学生阅读古典四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《西游记》、《水浒传》的情况，他随机问了5名同学(√表示已读)，得到了以下表格：
《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》
同学A √√
√
同学B √
√同学C √√
同学D √√√同学E
√
√
（1）现在从这五位同学中选出两位，设事件A 为“两位同学都读过《红楼梦》和《三国演义》”，请用集合的形式分别写出样本空间和事件A 所包含的所有结果，并计算出事件A 的概率；
（2）经过统计，该学校读过《红楼梦》、《三国演义》、《西游记》、《水浒传》四本名著的概率分别为
34，23，12，3
4
，求一位同学恰好读过其中三本书的概率.20．如图，AB 是O 的直径，,C D 是圆周上异于A B 、且在直径AB 同侧的点，2AB =，
60DAB ABC ∠=∠=︒，P 是平面ABC 外一点，且PA PB PC ===．
（1）设平面PAB 平面PCD l =，求证：//l CD ；（2）求PC 与平面POD 成角的正弦值．
21.某厂为估计其产品某项指标的平均数，从生产的产品中随机抽取10件作为样本，得到各件产品该项指标数据如下：9.8
10.3
10.0
10.2
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7 9.9
将该项指标的样本平均数记为x ，样本标准差记为s ，总体平均数记为X ；
（1）求x 与s （s 1.7≈）
（2）记样本量为n ，查阅资料可知：关于X | 2.262x X -≤的解集是总体平均数X
的一个较好的估计范围；
（i ）根据以上资料，求出该产品的总体平均数X 的估计范围；
（ii ）在（i ）的估计结果下，将指标不在总体平均数X 的估计范围内的产品称作“超标产品”。现从这10件样品中不放回随机抽取2件，将事件“抽到的2件产品都是超标产品”记为A ，求()P A .22.如图（1），平面四边形ABDC 中，90ABC D ∠=∠=︒2AB BC ==，1CD =，将ABC ∆沿BC 边折起如图（2），使________，点M ，N 分别为AC ，AD 中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．
①
AD =．
②AC 为四面体ABDC 外接球的直径．③平面ABC ⊥平面BCD ．
（1）判断直线MN 与平面ABD 是否垂直，并说明理由；图（1）
（2）求二面角A MN B --的正弦值．
单选BCCBABBB 多选9.AD
10.ABC 11.ABD 12.ABD
填空13.
716
14.12
15.0
16.
23
17.（1）因为三棱锥111ABC A B C -是直三棱锥，
所以1BB ABC ⊥平面（1分）因为AD ABC ⊂平面所以1AD BB ⊥（1分）因为AB AC =，D 为BC 中点所以AD BC ⊥（1分）又因为1BC BB B = ，（1分）
11BC BCC B ⊂平面，111
BB BCC B ⊂平面所以11AD BCC B ⊥平面（1分）（2）因为1CC ABC ⊥平面（1分）
1111
3
B AC
C C ABC ABC V V S CC --==⋅ （1分）
因为AB AC ==
D 为BC 中点，2
BC =所以1BD CD ==，2AD =所以1
22ABC S BC AD =⋅= （2分）所以1
18
33
24B ACC V -⨯⨯==（1分）18.（1）因为
sin 2sin 2b c
B C
=
，所以2sin cos 2sin cos b c
B B
C C
=
，（1分）根据正弦定理sin sin b c
B C
=
，（1分）得cos cos B C =所以B C =，（1分）
所以ABC 为等腰三角形（1分）（2）因为B C =，
所以5AB AC ==，因为//AE BC
所以DA DE DB DC
=
，（1分）
因为6DC DE = ，所以||16
||DE DC =
所以6DB DA =且5AB =所以1AD =（1分）
112sin 25
ACD S AD AC CAD =
⋅∠= 解得24
sin 25CAD ∠=
所以24
sin 25
BAC ∠=（2分）
因为0AB AC ⋅> 所以BAC ∠为锐角
所以7
cos 25
BAC ∠==
（2分）所以2
2
2
2cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠所以6BC =（2分）
19.（1）设五位同学分别为,,,,a b c d e
样本空间{,,,,,,,,,}ab ac ad ae bc bd be cd ce de Ω=（2分）事件{,,}A ad ae de =（2分）则()3
()()10n A P A n =
=
Ω（2分）
（2）设一位同学读过《红楼梦》，《三国演义》，《西游记》，《水浒传》分别为事件A ,B ,C ,D 则一位同学恰好读过其中三本的概率为（1分）
()()()()P P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =+++（2分）3211321331131213
4324432443244324=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯（2分）133116163216=+++13
32
=（1分）20.（1）连接OC 、OD
因为60DAB ABC ∠=∠=
，OA OD =，OB OC =所以AOD ，BOC 为等边三角形
所以12
OD OC OA OB AB =====，60AOD BOC ∠=∠=
所以60COD ∠=
所以COD 为等边三角形
所以60
CDO AOD ∠=∠=
所以//AB CD （2分）
且AB PAB ⊂平面，CD PAB ⊄平面，（1分）所以//CD PAB 平面（1分）
且CD PCD ⊂平面 平面PAB 平面PCD=l
所以//l CD （2分）
（2）过C 作CH OD ⊥于H ，连接PH
因为PA PB PC ===O 为AB 中点
所以PO AB
⊥所以222
OA OP PA +=且OA OC r ==，PA PC
=所以222
OC OP PC +=所以OP OC ⊥（1分）
又因为AB ABCD ⊂平面，OC ABCD ⊂平面，AB OC O = 所以OP ABCD ⊥平面（1分）
因为CH ABCD
⊂平面所以OP CH
⊥又因为CH OD ⊥，OP OD O = ，OP POD ⊂平面，OD POD ⊂平面所以CH POD ⊥平面（1分）
所以CP 与平面POD 所成角为CPH ∠（1分）因为CH POD ⊥平面，PH POD
⊂平面
所以CH PH
⊥所以sin CH CPH CP
∠=（1分）因为COD 为等边三角形所以3322
CH ==所以312sin 2
CPH ∠==（1分）21.（1）9.810.31010.29.81010.110.29.79.91010x +++++++++==（2分）
1[(9.810)(10.310)(1010)(10.210)(9.810)(1010)(10.110)(10.210)(9.710)(9.910)]0.0361022222222222s =-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=（2
分）
0.190s =≈（1分）
（2）（i ）因为1|| 2.262x X s
- 所以
2101|10|0.19 2.026X - （1分）解得691.80567124.43X （3分）
（ii ）共有6件超标产品，（1分）故概率为2621012C P C ==（2分）
22.若选①
：AD =（1）在Rt BCD ∆中，2BC =，1CD =
，BD ∴=又2AB = ，222AB BD AD ∴+=，AB BD ∴⊥，（1分）
AB BC ⊥ ，且BC BD B = ，,BC BD ⊂平面CBD ，AB ∴⊥平面CBD ，
（1分）又CD ⊂ 平面CBD ，AB CD ∴⊥，（1分）
又CD BD ⊥ ，AB BD B = 且,AB BD ⊂平面ABD ，CD ∴⊥平面ABD ，（2分）又M ，N 分别为AC ，AD 中点，//MN CD ∴，MN ∴⊥平面ABD ．（1
分）
（2）MN ⊥ 平面ABD ，,AN BN ⊂平面ABD MN AN ∴⊥，MN BN
⊥且AN AMN ⊂，BN BMN
⊂ANB ∴∠为二面角（2分）
AB BD ⊥ ，N 为BD
中点，AD =7
2
AN BN ∴=
=22222221cos 27AN BN AB ANB AN BN +-+-∴∠==-⋅（3
分）sin 7
ANB ∴∠=（1分）若选②：AC 为四面体ABDC 外接球的直径.（1）则90ADC ∠=︒，CD AD ⊥，（2分）又CD BD ⊥ ，AB BD B = 且,AB BD ⊂平面ABD ，CD ∴⊥平面ABD ，（3分）又M ，N 分别为AC ，AD 中点，//MN CD ∴，MN ∴⊥平面ABD ．（1分）
（2）90ABC ∠=︒ ，2AB BC ==
，AC ∴=又90ADC ∠=︒ ，1CD =
，AD ∴=在Rt BCD ∆中，2BC =，1CD =
，BD ∴=又2AB = ，222AB BD AD ∴+=，AB BD ∴⊥，MN ⊥ 平面ABD ，,AN BN ⊂平面ABD MN AN ∴⊥，MN BN
⊥且AN AMN ⊂，BN BMN
⊂ANB ∴∠为二面角（2分）
AB BD ⊥ ，N 为BD
中点，AD =7
2
AN BN ∴=
=
22222221cos 27AN BN AB ANB AN BN +-+-∴∠==-⋅（3
分）sin 7
ANB ∴∠=（1分）若选③：平面ABC ⊥平面BCD ，（1） 平面ABC ⊥平面BCD ，
平面ABC 平面BCD BC =，AB BC ⊥，且AB Ì平面ABC ，AB ∴⊥平面CBD ，
（2分）又CD ⊂ 平面CBD ，AB CD ∴⊥，（1分）又CD BD ⊥ ，AB BD B = 且,AB BD ⊂平面ABD ，CD ∴⊥平面ABD ，（2分）又M ，N 分别为AC ，AD 中点，//MN CD ∴，MN ∴⊥平面ABD ．（1分）
（2）90ABC ∠=︒ ，2AB BC ==
，AC ∴=CD ⊥ 平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，CD AD ∴⊥，又90ADC ∠=︒ ，1CD =
，AD ∴=MN ⊥ 平面ABD ，,AN BN ⊂平面ABD MN AN ∴⊥，MN BN
⊥且AN AMN ⊂，BN BMN ⊂ANB ∴∠为二面角（2分）
AB BD ⊥ ，N 为BD
中点，AD =7
2
AN BN ∴==22222277(2122cos 277722
AN BN AB ANB AN BN +-+-∴∠==-⋅（3
分）43sin 7ANB ∴∠=（1
分）
