有理数
1.大于0的数叫做正数。
2.在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。
3.整数和分数统称为有理数。
4.人们通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
5.在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点。
6.一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
7. 由绝对值的定义可知：
一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。
8.正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
9.两个负数，绝对值大的反而小。
10.有理数加法法则
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。
(3)一个数同0相加，仍得这个数。
11.有理数的加法中，两个数相加，交换交换加数的位置，和不变。
12.有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
13.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
14.有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值向乘。 任何数同0相乘，都得0。
15.有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。
16.一般的，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
17. 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
18. 一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
19.有理数除法法则
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
20.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
21. 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an 中，a叫做底数，n叫做指数。
22.根据有理数的乘法法则可以得出
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。
23.做有理数混合运算时，应注意以下运算顺序：
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2) 同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号.中括号.大括号依次进行。
24.把一个大于10的数表示成a×10的n次方 的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学计数法。
25.接近实际数字，但是与实际数字还是有差别，这个数是一个近似数。
26.从一个数的左边的第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。
有理数
一、正数和负数
1、正数和负数的概念
（1）负数：比0小的数。
（2）正数：比0大的数。
0既不是正数，也不是负数。
（3）注意：
①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）。
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2、具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃。
3、0表示的意义
（1）0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
（2）0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
二、有理数
1、有理数的概念
（1）正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）。
（2）正分数和负分数统称为分数。
（3）正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
2、理解：只有能化成分数的数才是有理数。
（1）π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
（2）②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
3、注意：
引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
4、有理数的分类
（1）按有理数的意义分类：
（2）按正、负来分类：
（3）总结：
①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
三、数轴
1、数轴的概念
（1）规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
（2）注意：
①数轴是一条向两端无限延伸的直线；
②原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；
③同一数轴上的单位长度要统一；
④数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2、数轴上的点与有理数的关系
（1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
3.利用数轴表示两数大小
（1）在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
（2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
（3）两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大（小）数
（1）最小的自然数是0，无最大的自然数；
（2）最小的正整数是1，无最大的正整数；
（3）最大的负整数是-1，无最小的负整数。
5.a可以表示什么数
（1）a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
（2）a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0；
（3）a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0。
6.数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
四、相反数
1、相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：
（1）相反数是成对出现的；
（2）相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
（3）0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
（1）任何数都有相反数，且只有一个；
（2）0的相反数是0；
（3）互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0。
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
（1）求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
（2）求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
（3）求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
5.相反数的表示方法
（1）一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
①当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
②当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
③当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
6.多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
五、绝对值
1、绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
2、绝对值的代数定义
（1）一个正数的绝对值是它本身；
（2）一个负数的绝对值是它的相反数；
（3）0的绝对值是0。
3、可用字母表示为
（1）如果a>0，那么|a|=a；
（2）如果a<0，那么|a|=-a；
（3）如果a=0，那么|a|=0。
4、可归纳为
（1）a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
（2）a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
5、绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即
（1）0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；
（2）一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；
（3）任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；
（4）绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；
（5）互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
（6）绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；
（7）若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
6、有理数大小的比较
（1）利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
（2）利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
7、绝对值的化简
（1）当a≥0时， |a|=a ；
（2）当a≤0时， |a|=-a。
8、已知一个数的绝对值，求这个数一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
六、有理数的加减法
1.有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）互为相反数的两数相加，和为零；
（4）一个数与零相加，仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
（1）加法交换律：a+b=b+a
（2）加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：
（1）当b>0时，a+b>a
（2）当b<0时，a+b 4.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 5.有理数加减法统一成加法的意义 （1）在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 （2）在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. （3）和式的读法： ①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”； ②按运算意义读作“负8减7减6加5”。 6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： （1）把符号相同的加数相结合（同号结合法） （2）把和为整数的加数相结合 （凑整法） （3）把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） （4）既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） （5）把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） （6）分组结合 2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69 原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69) =0 （7）先拆项后结合 （1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100） 七、有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同0相乘，都得0； 法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0. 2.倒数 （1）乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。 （2）注意： ①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。 3.有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc). （3）乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则 （1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 5.有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。 八、有理数的乘方 1.乘方的概念求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an 中，a 叫做底数，n 叫做指数。 2.乘方的性质 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。 （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 九、有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1、先乘方，再乘除，最后加减； 2、同级运算，从左到右进行； 3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 十、科学记数法 把一个大于10的数表示成 a*10n的形式（其中， n是正整数），这种记数法是科学记数法。 整式的加减 1.都是数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。 2.单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 3. 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 4.几个单项的和叫做多项式，其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 5.多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。 6.把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。 7.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。 8.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 9.一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 一元一次方程 1.列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出还有未知数的等式——方程。 2.含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。 3.分析实际问题中的数量关系，利用其中的等量关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。 4.等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 5.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。 6.把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。 7.应用：行程问题：s=v×t 工程问题：工作总量=工作效率×时间 盈亏问题：利润=售价－成本 利率=利润÷成本×100％ 售价=标价×折扣数×10％ 储蓄利润问题：利息=本金×利率×时间 本息和=本金+利息 图形初步认识 1. 我们把实物中抽象的各种图形统称为几何图形。 2.有些几何图形（如长方体.正方体.圆柱.圆锥.球等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形。 3.有些几何图形（如线段.角.三角形.长方形.圆等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形。 4.将由平面图形围成的立体图形表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 5.几何体简称为体。 6.包围着体的是面，面有平的面和曲的面两种。 7.面与面相交的地方形成线，线和线相交的地方是点。 8.点动成面，面动成线，线动成体。 9.经过探究可以得到一个基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 简述为：两点确定一条直线（公理）。 10.当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点。 11.点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，点M叫做线段AB的中点。 12.经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。（公理） 13.连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。 14.角∠也是一种基本的几何图形。 15.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。 16.从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 17.如果两个角的和等于90°（直角），就是说这两个叫互为余角，即其中的每一个角是另一个角的余角。 18.如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。 19.等角的补角相等，等角的余角相等。下载本文
