期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（4分）化简的结果是（ ）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
2．（4分）在，0，﹣2这四个数中，为无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．﹣2
3．（4分）下面四个 应用图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列计算，正确的是（ ）
A．﹣= B．|﹣2|=﹣ C． =2 D．（）﹣1=2
5．（4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=4cm，则△DBE的周长是（ ）
A．4 cm B． cm C． cm D．4cm
6．（4分）方程组的解中与y的值相等，则等于（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
7．（4分）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C，∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
8．（4分）一次函数y=b满足b＞0，且y随的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（4分）在创建“全国园林城市”期间，郴州市某中学组织共青团员去植树，其中七位同学植树的棵树分别为：3，1，1，3，2，3，2，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．3，2 B．2，3 C．2，2 D．3，3
10．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（ ）
A．45° B．60° C．70° D．65°
11．（4分）如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=﹣上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=﹣上，依次进行下去若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为（ ）
A．93 B．9 C．186 D．18
12．（4分）如图，点，3），则方程2=a4的解为= ．
16．（4分）如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点）与点．
17．（4分）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 ．
18．（4分）如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点E在CA的延长线上，E，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离S（m）与时间t（h）的关系，结合图象回答下列问题：
（1）表示甲离A地的距离与时间关系的图象是 （填l1或l2）；
甲的速度是 m/h；乙的速度是 m/h．
（2）甲出发后多少时间两人恰好相距15m
25．（10分）【操作发现】
（1）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB交于点D．在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请探究结果：
①直接写出∠EAF的度数= 度；若旋转角∠BCD=α°，则∠AEF= 度（可以用含α的代数式表示）；
②DE与EF相等吗请说明理由；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB交于点D．在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．
①直接写出∠EAF的度数= 度；
②若AE=1，BD=2，求线段DE的长度．
26．（10分）如图，将边长为8的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点．
（1）探求AO与OD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若，则△DBE的周长是（ ）
A．4 cm B． cm C． cm D．4cm
【解答】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DE=CD，
又∵AC=BC，AC=AE，
∴AC=BC=AE，
∴△DBE的周长=DEBDEB=CDBDEB=BCEB=AEEB=AB，
∵AB=4cm，
∴△DBE的周长=4cm．
故选：A．
6．（4分）方程组的解中与y的值相等，则等于（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
【解答】解：根据题意得：y=，
代入方程组得：，
解得：，
故选：B．
7．（4分）如图，直线a∥b，直线l与a，b分别相交于A，B两点，AC⊥AB交b于点C，∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠1=∠CBA，
∵∠1=40°，
∴∠CBA=40°，
∵AC⊥AB，
∴∠2∠CBA=90°，
∴∠2=50°，
故选：C．
8．（4分）一次函数y=b满足b＞0，且y随的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：根据y随的增大而减小得：＜0，又b＞0，则b＜0，
故此函数的图象经过第二、三、四象限，
即不经过第一象限．
故选：A．
9．（4分）在创建“全国园林城市”期间，郴州市某中学组织共青团员去植树，其中七位同学植树的棵树分别为：3，1，1，3，2，3，2，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．3，2 B．2，3 C．2，2 D．3，3
【解答】解：在这一组数据中3是出现次数最多的，故众数是3；
处于这组数据中间位置的那个数是2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是2．
故选：B．
10．（4分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD的度数是（ ）
A．45° B．60° C．70° D．65°
【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠AOC=45°，
∵∠AOB=15°，
∴∠AOD=45°15°=60°，
故选：B．
11．（4分）如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=﹣上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y=﹣上，依次进行下去若点B的坐标是（0，1），则点O12的纵坐标为（ ）
A．93 B．9 C．186 D．18
【解答】解：观察图象可知，O12在直线y=﹣时，
OO12=6•OO2=6（12）=186，
∴O12的横坐标=﹣（186）•cos30°=﹣9﹣9，
O12的纵坐标=OO12=93，
故选：A．
12．（4分）如图，点，3），则方程2=a4的解为= ．
【解答】解：∵A点在直线y=2上，
∴3=2m，解得：m=，
∴A点坐标为（，3），
∵y=2，y=a4，
∴方程2=a4的解即为两函数图象的交点横坐标，
∴方程2=a4的解为：=，
故答案为：．
16．（4分）如图①，在边长为4cm的正方形ABCD中，点的速度从点A出发，沿AB→BC的路径运动，到点C停止．过点）与点．
【解答】解：由题可得：点，
此时，点，
Rt△，
故答案为：．
17．（4分）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为 6 ．
【解答】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴BE=CE．
∵△EDC的周长为24，
∴EDDCEC=24，①
∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，
∴（ABACBC）﹣（AEEDDCAC）=（ABACBC）﹣（AEDCAC）﹣DE=12，
∴BEBD﹣DE=12，②
∵BE=CE，BD=DC，
∴①﹣②得，DE=6．
故答案为：6．
18．（4分）如图，△ABC是边长为5的等边三角形，点E在CA的延长线上，E，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中l1，l2表示两人离A地的距离S（m）与时间t（h）的关系，结合图象回答下列问题：
（1）表示甲离A地的距离与时间关系的图象是 l1 （填l1或l2）；
甲的速度是 45 m/h；乙的速度是 30 m/h．
（2）甲出发后多少时间两人恰好相距15m
【解答】解：（1）∵甲先出发，
∴表示甲离A地的距离与时间关系的图象是l1，
甲的速度是：90÷2=45m/h，乙的速度是：90÷（﹣）=90÷3=30m/h，
故答案为：l1，45，30；
（2）设甲对应的函数解析式为y=ab，
，得，
∴甲对应的函数解析式为y=﹣4590，
设乙对应的函数解析式为y=cd，
，得，
即乙对应的函数解析式为y=30﹣15，
∴|（﹣4590）﹣（30﹣15）|=15，
解得，1=，2=，
答：甲出发后或时两人恰好相距15m．
25．（10分）【操作发现】
（1）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°）．旋转后三角板的一直角边与AB交于点D．在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF．请探究结果：
①直接写出∠EAF的度数= 90 度；若旋转角∠BCD=α°，则∠AEF= 2α 度（可以用含α的代数式表示）；
②DE与EF相等吗请说明理由；
【类比探究】
（2）如图2，△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°）．旋转后三角板的一直角边与AB交于点D．在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．
①直接写出∠EAF的度数= 120 度；
②若AE=1，BD=2，求线段DE的长度．
【解答】解：（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，
∵∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△BCD中，，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，
∴∠EAF=∠BAC∠CAF=90；
②DE=EF；理由如下：
∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，
∴∠FCE=60°﹣30°=30°，
∴∠DCE=∠FCE，
在△DCE和△FCE中，，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE=EF；
（2）①∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，
∵∠DCF=60°，
∴∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△BCD中，，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF=∠B=60°，
∴∠EAF=∠BAC∠CAF=120°；
②AE2DB2=DE2，理由如下：
∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，
∴∠FCE=90°﹣45°=45°，
∴∠DCE=∠FCE，
在△DCE和△FCE中，，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE=EF，
在Rt△AEF中，AE2AF2=EF2，
又∵AF=DB，
∴AE2DB2=DE2．
∵AE=1，BD=2，
∴DE=．
故答案为：（1）90；2α；（2）120．
26．（10分）如图，将边长为8的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点．
（1）探求AO与OD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点．
①当PNPD的长度取得最小值时，求BP的长度；
②如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则三线段QN，NP，PD 的和（即QNNPPD）是否存在最小值若存在，请直接写出最小值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）AO=2OD，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，
∴AO=OB，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠BDO=90°，
∴OB=2OD，
∴OA=2OD；
（2）①如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，
则此时PNPD的长度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，
∴BD=BD′，
∵∠ABC=60°，
∴△BDD′是等边三角形，
∴BN=BD=2，
∵∠PBN=30°，
∴=，
∴PB=；
②如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，
连接Q′D′，即为QNNPPD的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，
∴∠D′BQ′=90°，
∴在Rt△D′BQ′中，
D′Q′==．
∴QNNPPD的最小值=．
