一、选择题（本大题共12个小題，每小题3分，共36分.在下列各題的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项
1．（3分）（2019•呼和浩特）甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎．射”
四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）（2019秋•岳麓区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若等边三角形的高为4，则DE+DF＝（）
A．1B．2C．3D．4
3．（3分）（2019秋•岳麓区校级期中）计算（ab3）2的结果是（）
A．2ab3B．ab6C．a2b5D．a2b6
4．（3分）（2016•赤峰）等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°5．（3分）（2018•宁波）下列计算正确的是（）
A．a3+a3＝2a3B．a3•a2＝a6C．a6÷a2＝a3D．（a3）2＝a5 6．（3分）（2019•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°
7．（3分）（2018•黔西南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（）
A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙
8．（3分）（2018•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
9．（3分）（2019秋•岳麓区校级期中）点P（2，5）关于直线x＝1的对称点的坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣3，5）C．（4，5）D．（0，5）
10．（3分）（2010•日照）由m（a+b+c）＝ma+mb+mc，可得：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3，即（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3…①
我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．
下列应用这个立方和公式进行的变形不正确的是（）
A．（x+4y）（x2﹣4xy+16y2）＝x3+y3
B．（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝8x3+y3
C．（a+1）（a2+a+1）＝a3+1
D．x3+27＝（x+3）（x2﹣3x+9）
11．（3分）（2017•资中县二模）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD ⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S
，其中正确的个数是（）
四边形AOCP
A．1B．2C．3D．4
12．（3分）（2019秋•岳麓区校级期中）设a，b是实数，定义⊗的一种运算如下：a⊗b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①a⊗b＝b⊗a；②若a⊗b＝0，则a＝0且b＝0；③若a⊗b ＝（﹣a）⊗b，则a＝0或b＝0；④a⊗（b+c）＝a⊗b+a⊗c．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2019•富平县一模）某多边形的内角和与外角和相等，这个多边形的边数是．
14．（3分）（2019秋•德州期末）定义：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“攀登值”，记作λ，若λ＝，则该等腰三角形的顶角的度数为．15．（3分）（2019•绥化）计算：（﹣m3）2÷m4＝．
16．（3分）（2019•泸州）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是．
17．（3分）（2018•玉林）已知ab＝a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）＝．
18．（3分）（2014•天津）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为（度）．
三、解答题（本大題共8个小題，第19、20題每小题6分，第21、22题每小題8分，第
23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证眀过程或演算步骤）
19．（6分）（2019秋•岳麓区校级期中）计算或化简：
（1）．
（2）（a+b）（a﹣2b）﹣a（a﹣b）+（3b）2．
20．（6分）（2019秋•岳麓区校级期中）如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB＝10，DC＝3，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数、线段BD的长度．
21．（8分）（2019秋•郾城区期末）如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），过点（l，0）作x轴的垂线l．
（1）作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1（，），B1（，），C1（，）；
（3）在△ABC内有一点P（m，n），则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（，）（结果用含m，n的式子表示）．
22．（8分）（2016•南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求证：∠M＝∠N．
23．（9分）（2019秋•岳麓区校级期中）小马、小虎两人共同计算一道题：（x+a）（2x+b）．由于小马抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到的结果是x2+2x﹣3．
（1）求a，b的值；
（2）细心的你请计算这道题的正确结果；
（3）当x＝﹣1时，计算（2）中的代数式的值．
24．（9分）（2019秋•岳麓区校级期中）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BPQ的度数；
（3）求AD的长．
25．（10分）（2019秋•岳麓区校级期中）我们知道：加、减法运算是互逆运算，乘、除法运算也是互逆运算，乘方运算也有逆运算；如指数式23＝8可以转化为3＝1og28，2＝log525也可以转化为52＝25．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b 的对数，记为log a b（即log a b＝n）．根据以上信息，解决以下问题：
（1）直接填写答案：log24＝，log216＝，log2＝；
（2）观察（1）的值有什么关系，你发现了什么结果？
（3）根据（2）中的结果，请归纳出一般性的结论并证明．
26．（10分）（2019秋•岳麓区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足：（m+n）2+|n﹣6|＝0．
（1）求：①m，n的值；②S△ABO的值；
（2）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．
（3）如图2，点E为y轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段OA上一动点，试求OM+MN的最小值（图1与图2中点A 的坐标相同）．2019-2020学年湖南师大附中八年级（上）期中数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共12个小題，每小题3分，共36分.在下列各題的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项
1．（3分）（2019•呼和浩特）甲骨文是我国的一种古代文字，下面是“北”“比”“鼎．射”
四个字的甲骨文，其中不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项正确；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
2．（3分）（2019秋•岳麓区校级期中）如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若等边三角形的高为4，则DE+DF＝（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】连接AD，过B作BM⊥AC于M，则BM＝4，根据等边三角形的性质得出AB ＝BC＝AC，根据三角形的面积公式求出DE+DF＝BM，代入求出即可．
【解答】解：
连接AD，过B作BM⊥AC于M，则BM＝4，
∵S△ABC＝S△ADB+S△ADC，
∴＝+，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴DE+DF＝BM＝4，
故选：D．
3．（3分）（2019秋•岳麓区校级期中）计算（ab3）2的结果是（）A．2ab3B．ab6C．a2b5D．a2b6
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得答案．
【解答】解：原式＝a2b6，
故选：D．
4．（3分）（2016•赤峰）等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°【分析】由于等腰三角形的两底角相等，所以90°的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角．
【解答】解：∵等腰三角形的两底角相等，
∴两底角的和为180°﹣90°＝90°，
∴两个底角分别为45°，45°，
故选：B．
5．（3分）（2018•宁波）下列计算正确的是（）
A．a3+a3＝2a3B．a3•a2＝a6C．a6÷a2＝a3D．（a3）2＝a5
【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．
【解答】解：∵a3+a3＝2a3，∴选项A符合题意；
∵a3•a2＝a5，
∴选项B不符合题意；
∵a6÷a2＝a4，
∴选项C不符合题意；
∵（a3）2＝a6，
∴选项D不符合题意．
故选：A．
6．（3分）（2019•杭州）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°
C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，把∠C＝∠A+∠B代入求出∠C即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：D．
7．（3分）（2018•黔西南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（）
A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙
【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选：B．
8．（3分）（2018•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm
【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中的三边长，即可得出结论．
【解答】解：A、∵5+4＝9，9＝9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8＝16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5＝10，10＝10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7＝13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选：B．
9．（3分）（2019秋•岳麓区校级期中）点P（2，5）关于直线x＝1的对称点的坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣3，5）C．（4，5）D．（0，5）
【分析】易得两点的纵坐标相等，横坐标在1的左边，为1﹣（2﹣1）．
【解答】解：所求点的纵坐标为5，
横坐标为1﹣（2﹣1）＝0，
∴点（2，5）关于直线x＝1的对称点的坐标为（0，5）．
故选：D．10．（3分）（2010•日照）由m（a+b+c）＝ma+mb+mc，可得：（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3，即（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3…①
我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．
下列应用这个立方和公式进行的变形不正确的是（）
A．（x+4y）（x2﹣4xy+16y2）＝x3+y3
B．（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝8x3+y3
C．（a+1）（a2+a+1）＝a3+1
D．x3+27＝（x+3）（x2﹣3x+9）
【分析】根据所给的立方和公式对各选项进行判断即可．
【解答】解：A、（x+4y）（x2﹣4xy+16y2）＝x3+y3，正确；
B、（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）＝8x3+y3，正确；
C、（a+1）（a2﹣a+1）＝a3+1；故本选项错误．
D、x3+27＝（x+3）（x2﹣3x+9），正确．
故选：C．
11．（3分）（2017•资中县二模）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD ⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S
，其中正确的个数是（）
四边形AOCP
A．1B．2C．3D．4
【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；
②证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；
③首先证明△OP A≌△CPE，则AO＝CE，AC＝AE+CE＝AO+AP．
④过点C作CH⊥AB于H，根据S四边形AOCP＝S△ACP+S△AOC，利用三角形的面积公式即
可求解．
【解答】解：如图1，连接OB，∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；故①正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故②正确；
如图2，在AC上截取AE＝P A，
∵∠P AE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝P A，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OP A和△CPE中，
，
∴△OP A≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，故③正确；
如图3，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠P AC＝∠DAC＝60°，AD⊥BC，
∴CH＝CD，
∴S△ABC＝AB•CH，
S四边形AOCP＝S△ACP+S△AOC＝AP•CH+OA•CD＝AP•CH+OA•CH＝CH•（AP+OA）＝CH•AC，
∴S△ABC＝S四边形AOCP；
故④正确．
故选：D．
12．（3分）（2019秋•岳麓区校级期中）设a，b是实数，定义⊗的一种运算如下：a⊗b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，则下列结论：①a⊗b＝b⊗a；②若a⊗b＝0，则a＝0且b＝0；③若a⊗b ＝（﹣a）⊗b，则a＝0或b＝0；④a⊗（b+c）＝a⊗b+a⊗c．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4
【分析】各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：①∵a⊗b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，b⊗a＝（b+a）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，∴a⊗b＝b⊗a，故正确；
②∵a⊗b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝0，则a＝0或b＝0或a＝b＝0，故原来的计算
错误；
③∵a⊗b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，（﹣a）⊗b＝（﹣a+b）2﹣（﹣a﹣b）2＝（a﹣b）2
﹣（a+b）2，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝（a﹣b）2﹣（a+b）2，∴（a﹣b）2＝（a+b）2，∴a＝0或b＝0，故正确；
④∵a⊗（b+c）＝（a+b+c）2﹣（a﹣b﹣c）2＝4a（b+c），a⊗b+a⊗c＝（a+b）2﹣（a
﹣b）2+（a+c）2﹣（a﹣c）2＝4ab+4ac＝4a（b+c），∴a⊗（b+c）＝a⊗b+a⊗c，故正确．故其中正确的个数是3．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2019•富平县一模）某多边形的内角和与外角和相等，这个多边形的边数是四．
【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列式进行计算即可求解．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
则（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故答案为：四．
14．（3分）（2019秋•德州期末）定义：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“攀登值”，记作λ，若λ＝，则该等腰三角形的顶角的度数为20°．【分析】先根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，再根据三角形内角和定理得出9∠A ＝180°，即可求解．
【解答】解：如图．
∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“攀登值”，记作k，若λ＝，
∴∠A：∠B＝1：4，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+4∠A+4∠A＝180°，
即9∠A＝180°，∴∠A＝20°，
故答案为：20°．
15．（3分）（2019•绥化）计算：（﹣m3）2÷m4＝m2．
【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣m3）2÷m4＝：m6÷m4＝m2．
故答案为：m2．
16．（3分）（2019•泸州）在平面直角坐标系中，点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，则a+b的值是4．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点M（a，b）与点N（3，﹣1）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝1，
则a+b的值是：4．
故答案为：4．
17．（3分）（2018•玉林）已知ab＝a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）＝2．【分析】将ab＝a+b+1代入原式＝ab﹣a﹣b+1合并即可得．
【解答】解：当ab＝a+b+1时，
原式＝ab﹣a﹣b+1
＝a+b+1﹣a﹣b+1
＝2，
故答案为：2．
18．（3分）（2014•天津）如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为45（度）．
【分析】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE＝∠AEC＝x+y，∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，解方程即可求出∠DCE的大小．
【解答】解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣x﹣y．
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝90°﹣x﹣y+x＝90°﹣y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，
∴x+（90°﹣y）+（x+y）＝180°，
解得x＝45°，
∴∠DCE＝45°．
故答案为：45．
三、解答题（本大題共8个小題，第19、20題每小题6分，第21、22题每小題8分，第
23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证眀过程或演算步骤）
19．（6分）（2019秋•岳麓区校级期中）计算或化简：
（1）．
（2）（a+b）（a﹣2b）﹣a（a﹣b）+（3b）2．
【分析】（1）先根据绝对值，算术平方根，有理数的乘法，零指数幂进行计算，再求出即可；
（2）先根据整式的乘法法则和乘法公式算乘法，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝2﹣3﹣2﹣1
＝﹣4；（2）原式＝a2﹣2ab+ab﹣2b2﹣a2+ab+9b2
＝7b2．
20．（6分）（2019秋•岳麓区校级期中）如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB＝10，DC＝3，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数、线段BD的长度．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到∠DBA的度数，DA＝DB，计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝30°；
∵AB＝AC，AB＝10，DC＝3，
∴BD＝DA＝10﹣3＝7．
21．（8分）（2019秋•郾城区期末）如图，平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，4），C（﹣1，3），过点（l，0）作x轴的垂线l．
（1）作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1（4，1），B1（5，4），C1（3，3）；
（3）在△ABC内有一点P（m，n），则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（﹣m+2，n）（结果用含m，n的式子表示）．
【分析】（1）（2）利用网格特点和对称的性质画出A、B、C的对称点A1、B1、C1，从而得到△A1B1C1各顶点的坐标；
（3）可先把得到P点关于y轴的对称点，然后把此对称点向右平移2个单位得到可得到点P1的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）A（4，1），B，（5，4），G（3，3）；
（3）点P关于直线l的对称点P1的坐标为（2﹣m，n）．
故答案为4，1；5，4；3，3；﹣m+2，n．
22．（8分）（2016•南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求证：∠M＝∠N．
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可
（2）证出∠BAN＝∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B＝∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．
【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAE＝∠2+∠DAE，
即∠BAN＝∠CAM，
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C，
在△ACM和△ABN中，
∴△ACM≌△ABN（ASA），
∴∠M＝∠N．
23．（9分）（2019秋•岳麓区校级期中）小马、小虎两人共同计算一道题：（x+a）（2x+b）．由于小马抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到的结果是x2+2x﹣3．
（1）求a，b的值；
（2）细心的你请计算这道题的正确结果；
（3）当x＝﹣1时，计算（2）中的代数式的值．
【分析】（1）根据题意得出算式，再根据多项式乘以多项式法则进行计算，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可；
（3）把x＝﹣1代入后求出结果即可．
【解答】解：（1）根据题意得：小马抄错得：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+bx﹣2ax﹣ab＝2x2+（b﹣2a）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，
小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3，所以，
联立得：；
（2）由（1）得：正确的算式是（x+3）（2x﹣1）＝2x2﹣x+6x﹣3＝2x2+5x﹣3；
（3）当x＝﹣1时，2x2+5x﹣3＝2×1+5×（﹣1）﹣3＝﹣6．
24．（9分）（2019秋•岳麓区校级期中）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ＝3，PE＝1．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）求AD的长．
【分析】（1）根据SAS证明△ABE与△CAD全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠ABE＝∠CAD，进而解答即可；
（3）根据含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，
又∵AE＝CD，
在△ABE与△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS）
（2）由上得∠ABE＝∠CAD AD＝BE，
∴∠BPQ＝∠BAD+∠ABE
＝∠BAD+∠CAD
＝60°；
（3）∵BQ⊥AD，∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∴BP＝2PQ＝6，
又∵AD＝BE，
∴BE＝BP+PE＝6+1＝7．
25．（10分）（2019秋•岳麓区校级期中）我们知道：加、减法运算是互逆运算，乘、除法运算也是互逆运算，乘方运算也有逆运算；如指数式23＝8可以转化为3＝1og28，2＝log525也可以转化为52＝25．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b 的对数，记为log a b（即log a b＝n）．根据以上信息，解决以下问题：
（1）直接填写答案：log24＝2，log216＝4，log2＝6；
（2）观察（1）的值有什么关系，你发现了什么结果？
（3）根据（2）中的结果，请归纳出一般性的结论并证明．
【分析】（1）利用对数的定义求解；
（2）利用（1）的计算结果得到log24+log216＝log2；
（3）设a m＝M，a n＝N，利用对数的定义得到log a M＝m，log a N＝n，再根据积的乘方得到MN＝a m•a n＝a m+n，利用对数的定义得到log a（MN）＝m+n，从而得到log a M+log a N ＝log a（MN）．
【解答】解：（1）log24＝2，log216＝4，log2＝6；
故答案为2，4，6；
（2）结果为：log24+log216＝log2；
（3）一般结论为log a M+log a N＝log a（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；
证明：设a m＝M，a n＝N，
∴log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝m+n，
∵MN＝a m•a n＝a m+n，
∴log a（MN）＝m+n，
∴log a M+log a N＝log a（MN）．
26．（10分）（2019秋•岳麓区校级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（m，0），与y轴交于点B（0，n），且m，n满足：（m+n）2+|n﹣6|＝0．
（1）求：①m，n的值；②S△ABO的值；
（2）D为OA延长线上一动点，以BD为直角边作等腰直角△BDE，连接EA，求直线EA与y轴交点F的坐标．
（3）如图2，点E为y轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段OA上一动点，试求OM+MN的最小值（图1与图2中点A 的坐标相同）．
【分析】（1）①利用非负数的性质即可解决问题．②先确定出OA＝OB＝6，从而求得△ABO的面积．
（2）先判断出△DEM≌△BDO得出EM＝DO，MD＝OB＝OA＝6，进而判断出AM＝EM，即可得出∠OAF＝45°，即可得出点F坐标，最后用待定系数法得出直线EA解析式．（3）过点O作OG⊥AE于G，交AF于M，作MN⊥OA于N，连接MN，此时OM+MN 的值最小．
【解答】解：（1）①∵（m+n）2+|n﹣6|＝0，
又∵（m+n）2≥0，|n﹣6|≥0．
∴m+n＝0，n＝6，
∴m＝﹣6，n＝6．
②∵直线AB与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于B（0，6）．∴OA＝6，OB＝6，
∴S△ABO＝OA•OB＝×6×6＝18；（2）如图1，过点E作EM⊥x轴于M，
∴∠MDE+∠DEM＝90°，
∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝DB，∠BDE＝90°，
∴∠MDE+∠BDO＝90°，
∴∠DEM＝∠BDO，
在△DEM和△BDO中，
，
∴△DEM≌△BDO（AAS），
∴EM＝DO，MD＝OB＝OA＝6，
∴AM＝DM+AD＝6+AD，
EM＝OD＝OA+AD＝6+AD，
∴EM＝AM，
∴∠MAE＝45°＝∠OAF，
∴OA＝OF，
∴F（0，﹣6）．
（3）如图2中，
过点O作OG⊥AE于G，交AF于M，作MN⊥OA于N，连接MN，此时OM+MN的值最小．
∵∠MAG＝∠MAN，MG⊥AG，MN⊥AN，
∴MG＝MN，
∴OM+MN＝OM+MG＝OG，
在Rt△OAG中，∠OAE＝30°，OA＝6，
∴OG＝3，
∴OM+MN的最小值为3．下载本文
