数学试卷(解答)
一、填空题(本大题满分36分)
1．已知集合，。若，则_______________。
2．函数的定义域为________________。
3．满足不等式的的取值范围是________________。
4．若球的体积为，则球的半径为____________。
5．若直线与直线平行，则_____________。
6．若向量与的夹角为，，，则____________。
7．在中，角、、所对边的长分别为、、。若，，，则___________。
8．若无穷等比数列的首项为，公比为，则该数列各项的和为_____。
9．在的二项展开式中，常数项的值为____________。
(用组合数表示不给分)
10．若为虚数单位是关于的方程
的根，则实数____。
11．执行右图所示算法，输出的结果是_____________。
12．已知圆： 与圆：
。设圆与轴正半轴的交点为，圆与圆在轴上方的交点为，直线交轴于点。当趋向于无穷大时，点无限趋近于定点，则定点的横坐标为________。
(点的坐标写对也给满分)
二、选择题(本大题满分36分)
13．若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则( )答案
14．函数的反函数是( ) 答案
15．抛物线的焦点到其准线的距离是( ) 答案
16．某校高一、高二、高三分别有学生名、名、名。为了解他们课外活动情况，用分层抽样的方法从中取出名学生进行调查，应抽取高二学生人数为( ) 答案
17．函数( ) 答案
是奇函数且为增函数 是偶函数且为增函数
是奇函数且为减函数 是偶函数且为减函数
18．已知扇形的圆心角为，半径为，该扇形的面积为( ) 答案
19.函数的最大值是( ) 答案
20．函数的大致图像是( ) 答案
21.若椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，则直线的方程为( ) 答案
22.设、是空间两条直线.“、没有公共点”是“、为异面直线”的( )
答案
充分但非必要条件 必要但非充分条件
充分必要条件 既非充分又非必要条件
23．从名男同学和名女同学中随机抽取名，组成环保志愿者小组，这个小组中必有男同学的概率（精确到）为( ) 答案
24.实数、满足且，由、、、按一定顺序构成的数列( ) 答案
可能是等差数列，但也可能是等比数列
可能是等差数列，但不可能是等比数列
不可能是等差数列，但也可能是等比数列
不可能是等差数列，但也不可能是等比数列
三、解答题（本大题满分分）
25.(本题满分分)
已知，化简并求值：.
解：原式--- （其中：，
）
---――――
∵，∴原式。--――――
26. (本题满分分)
如图所示，正四棱柱的底面边长为，表面积为，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角数值表示）.
解：∵正四棱柱，表面积为，
---------------
又∵正四棱柱的底面边长为，∴
方法一：∵，∴是异面直线与所成角。---------------
在中，，---―――
因此异面直线与所成角的大小为。---―――
方法二：利用空间向量
①建系、标点---；②向量夹角公式---；③结论---。
27. (本题满分分)
已知等比数列满足，.等差数列满足，.求数列的前项和.
解：设等比数列的公比为，――――――
则――――――
∵，∴――――――
又，――――――
设等差数列的公差为，则――――――
于是――――――
所以。――――――
28. (本题满分分 第一题满分分，第二题满分分)
已知双曲线的两个焦点分别为、，渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点的直线与双曲线的左支有两个交点，且点到的距离小于，求直线的倾斜角的范围.
解：(1)解法一：
设双曲线方程为-------
根据题意得， 解得
所以双曲线的方程为。---------------
解法二：
因为双曲线的渐近线方程为，
所以设双曲线方程为
由于焦点在轴上，于是方程是
所以，即
所以双曲线的方程为。---------------
(2)当直线与轴垂直时，点到的距离是，不合题意。---
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，则点到的距离为，由，得
又因为直线与双曲线的左支有两个交点，由渐近线的方程，得：
综上知，。所以直线的倾斜角的范围是
29. (本题满分分 第一题满分分，第二题满分分)
设函数、有相同的定义域，对任意,过点并垂直于轴的直线与、的图像分别交于点、，向量、满足（为坐标原点）.
(1)若，，求解析式，并作出大致图像；
(2)若，求的最大值和最小值.
解：(1)由，得
因为，，所以，
作图：①大致图形---；②顶点---；③渐近线---。
利用整个图形平移---
(2)由题意得
当时，
由二次函数及不等式性质，得，
且。
设是区间上任意两个实数，且，则，且，即，且，
所以，即。
故在区间上是增函数。---―――――
于是在区间上的最大值是――――，
最小值是。――――
因此在处取得最大值，在处取得最大值。――――下载本文
