【学习目标】

 工程问题是将一般的工作问题分数化，从分率的角度研究工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）、工作效率（单位时间内完成的工作量）三者之间关系的问题。它的特点是将工作总量看成单位“1”，用分率表示工作效率，对做工的问题进行分析解答。 

工程问题的三个基本数量关系式是：工作效率×工作时间=工作总量；工作总量÷工作时间=工作效率；工作总量÷工作效率=工作时间。

【题型精讲】

基础训练：一项工程，甲单独做要12天，乙要10天，丙要15天．

①甲乙丙同时做要多少天？=4（天）

②甲乙丙同时加工多少天能完成工程的一半？=2（天）；

③甲乙丙同时加工多少天这项工程还剩？3（天）

④如果甲先做5天，乙丙接着做，还要多少天？（天）

⑤如果甲丙合作做4天后，再由乙做，完成任务时一共用了多少天？

8（天）

重难点一：效率变化问题

例1、（1）加工一批零件，原计划每天加工20个，15天完成。实际加工了3天后，引进了新的加工设备，效率比原来提高了20%，问实际完成工作比计划提前了多少天？ 

    （2）加工一批零件，原计划15天完成。实际加工了7天后，引进了新的加工设备，效率比原来提高了，问实际完成工作比计划提前了多少天？ 

（3）加工一批零件，原计划15天完成。实际加工了一些天后，引进了新的加工设备，效率比原来提高了，结果比计划提前2天完成任务，问引进新设备后又工作了多少天？

设引进新设备工作了x天.

15(x+2)=15*(1+1/4)x

15x+30=75/4x

15/4x=30

x=8

引进新设备后工作了8天.

例2、加工一批零件，原计划每天加工15个，若干天可以完成。当完成加工任务的时，采用新技术，效率提高20%。结果，完成任务的时间提前10天。     （1）原计划多少天完成任务？     （2）这批零件共有多少个？

解析：设原计划完成需要x天,

根据零件的个数得：

15x = 3/5 X 15x + 15 X (1+20%) X （ 2x/5 - 10 ）

算出来15x=2250

零件共有2250个

重难点二：注水问题

例1、一个水池装有进水管和出水管，单开进水管40分钟可以将空池注满；单开出水管1小时可以把整池水放完，现同时打开进水管和出水管，需要多少时间才能将水池注满？（120分钟）

例2、有一个水池，装有甲、乙、丙三根水管，其中甲、乙是进水管，丙为排水管，单开甲管需要15分钟注满水池；单开乙管需要10分钟注满水池；单开丙管需要9分钟将满池水放完。现在池内存水占全池容积的2/5，则同时打开三根水管，注满水池需要用时多少分钟？

（10.8分钟）

例3、有甲乙丙三个水管，独开甲管5小时可以注满一池水；甲乙两管齐开，2小时可注满一池水；甲丙两管齐开，3小时注满一池水。现把三管一齐开，过了一段时间后甲管因故障停开，停开后2小时水池注满。问三管齐开注了多长时间水？（小时）

例4、甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排干一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？（35小时）

重难点三：交替工作问题

例1、一件工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成，如果按甲、乙、甲、乙…的顺序交替工作，每次1小时，那么需要多少时间完成？

1÷（1/6+1/10）,

=1×4/15,

=3又3/4（次）,

甲、乙交替工作三次,

2×3=6（小时）,

1-（1/6+1/10）×3,

=1-4/15×3,

=1/5,

接着甲再工作1小时完成1/6,

乙完成剩下的还要：（1/5-1/6）÷1/10,

=1/30×10,

=1/3（小时）,

6+1+1/3

=7又1/3

（小时）,

答：需要7又1/3小时才能完成．

例2、 一部书稿，甲单独打字要14小时完成，乙单独打字要20小时完成。如果先由甲打1小时，然后由乙接着甲打1小时，再由甲接替乙打1小时，……两人如此交替工作。那么，打完这部书稿时，甲、乙二人共用了多少小时？ 

例3、加工一批零件，甲、乙合作1小时完成了这批零件的，乙、丙两人接着生产1小时，又完成了，甲、丙又合作2小时，完成了，剩下的任务由甲、乙、丙三人合作，还需多少小时完成？

甲工效+乙工效=11/60

乙工效+丙工效=3/20

甲工效+丙工效=1/3÷2=1/6

所以：甲乙丙三人合作的工效=（11/60+3/20+1/6）÷2=1/4

（1-11/60-3/20-1/3）÷1/4

=1/3÷1/4

=1又1/3小时

重难点四：牛吃草问题

例1、草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周？

草场每周生长（9*23-6*27）/（9-6）=15 

则原有草27*6-6*15=72

设可供21头牛吃X周

则72+15X=21X

故X=12周

综合练习：

1、一件工程，甲、乙合做10天完成，乙、丙合作8天完成，甲、丙合作12天完成。如果甲、乙、丙三人合作，多少天可以完成？

2、有一批资料要打印，甲单独打要10小时，乙单独打要12小时，当甲、乙两人同时打印，由于相互有些干扰，每小时两人共少打30页，现在两人同时打用了6小时打完，那么这批资料一共有多少页？

3、单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？

4、星光小学进行校内植树活动，如果全由六年级同学植树，3天可以完成；如果全由五年级同学植树，则6天可以完成。如果先让六年级植树1天，再由两个年级的同学合作，还需几天可以完成？

5、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？

6、 甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行，现在已知甲走一圈的时间是75分钟，如果在出发后第45分钟两人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？

7、甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，走完全程甲需要60分钟，乙需40分钟，出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了5分钟，甲再出发后多长时间两人相遇？

8、 画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分？ 

设每个入场口每分钟能进入的观众为1份.

如果开三个入场口,从9点到9点9分进入的观众数是：

3x9=27（份）

如果开五个入场口,从9点到9点5分进入的观众数是：

5x5=25（份）

所以,

每分钟来的观众数为：(27-25)÷(9-5)=0.5（份）

9点前来的观众数是：25-5×0.5=22.5（份）

这些观众来到需要：22.5÷0.5=45（分钟）

因为,9点-45分钟=8点15分

所以,第一个观众到达时间是8点15分

9、开进水管注水入缸，5分钟可满，满后拔出底塞，那么缸里的水10分钟可流尽，有一次开管注水入缸，过了若干分钟后发现未把底塞堵上，这时赶紧堵上底塞，过了相同时间水才注满，问一共注了多少时间才把缸注满？

10、放满一个水池的水，若同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开2，3，4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？

11、一件工程，甲队单独完成需要12天。甲队工作3天后乙队再工作2天可以完成全部工作量的一半。现在甲队、乙队合作了若干天以后。余下的工作量由乙队单独完成。之后发现完成两部份工作量所用时间相同。问完成全部工作量用了多少天？

12、 一项工程，由甲、乙合做12天完成。现在由甲、乙合做4天后，余下的工程先由甲独做10天后，再由乙独做5天，正好完成这项工程，求：甲、乙独做各需几天完成？下载本文