一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（2分）2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法表示13000是（　　）

A．0.13×105 B．1.3×104 C．13×103 D．130×102

2．（2分）计算（a2b）3的结果是（　　）

A．a2b3 B．a5b3 C．a6b D．a6b3

3．（2分）面积为4的正方形的边长是（　　）

A．4的平方根 B．4的算术平方根    

C．4开平方的结果 D．4的立方根

4．（2分）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（　　）

A． B．    

C． D．

5．（2分）下列整数中，与10﹣最接近的是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

6．（2分）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①④ B．②③ C．②④ D．③④

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．（2分）﹣2的相反数是　   　；的倒数是　   　．

8．（2分）计算﹣的结果是　   　．

9．（2分）分解因式（a﹣b）2+4ab的结果是　   　．

10．（2分）已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝　   　．

11．（2分）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵　   　，∴a∥b．

12．（2分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有　   　cm．

13．（2分）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：

14．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝　   　．

15．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长　   　．

16．（2分）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是　   　．

三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（7分）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）

18．（7分）解方程：﹣1＝．

19．（7分）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．

20．（8分）如图是某市连续5天的天气情况．

（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；

（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．

21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．

（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？

（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　   　．

22．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．

23．（8分）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．

（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．

（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．

24．（8分）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．

（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）

25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用2000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

26．（9分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．

小明的作法

1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．

2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．

3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．

（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

27．（11分）【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

【数学理解】

（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝　   　．

②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是　   　．

（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．

（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．

【问题解决】

（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

2019年江苏省南京市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（2分）2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13000亿美元．用科学记数法表示13000是（　　）

A．0.13×105 B．1.3×104 C．13×103 D．130×102

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：13000＝1.3×104

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2．（2分）计算（a2b）3的结果是（　　）

A．a2b3 B．a5b3 C．a6b D．a6b3

【分析】根据积的乘方法则解答即可．

【解答】解：（a2b）3＝（a2）3b3＝a6b3．

故选：D．

【点评】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握法则是解答本题的关键．积的乘方，等于每个因式乘方的积．

3．（2分）面积为4的正方形的边长是（　　）

A．4的平方根 B．4的算术平方根    

C．4开平方的结果 D．4的立方根

【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；

【解答】解：面积为4的正方形的边长是，即为4的算术平方根；

故选：B．

【点评】本题考查算术平方根；熟练掌握正方形面积与边长的关系，算术平方根的意义是解题的关键．

4．（2分）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（　　）

A． B．    

C． D．

【分析】根据不等式的性质，先判断c的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．

【解答】解：因为a＞b且ac＜bc，

所以c＜0．

选项A符合a＞b，c＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A．

选项B不满足a＞b，选项C、D不满足c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D．

故选：A．

【点评】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断c的正负．

5．（2分）下列整数中，与10﹣最接近的是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】由于9＜13＜16，可判断与4最接近，从而可判断与10﹣最接近的整数为6．

【解答】解：∵9＜13＜16，

∴3＜＜4，

∴与最接近的是4，

∴与10﹣最接近的是6．

故选：C．

【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键．

6．（2分）如图，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的，△A'B'C还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①④ B．②③ C．②④ D．③④

【分析】依据旋转变换以及轴对称变换，即可使△ABC与△A'B'C'重合．

【解答】解：先将△ABC绕着B'C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B'C'的中点旋转180°，即可得到△A'B'C'；

先将△ABC沿着B'C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着B'C'的垂直平分线翻折，即可得到△A'B'C'；

故选：D．

【点评】本题主要考查了几何变换的类型，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．（2分）﹣2的相反数是　2　；的倒数是　2　．

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，可得答案．

【解答】解：﹣2的相反数是 2；的倒数是 2，

故答案为：2，2．

【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．

8．（2分）计算﹣的结果是　0　．

【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．

【解答】解：原式＝2﹣2＝0．

故答案为0．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

9．（2分）分解因式（a﹣b）2+4ab的结果是　（a+b）2　．

【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案．

【解答】解：（a﹣b）2+4ab

＝a2﹣2ab+b2+4ab

＝a2+2ab+9b2

＝（a+b）2．

故答案为：（a+b）2．

【点评】此题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

10．（2分）已知2+是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的一个根，则m＝　1　．

【分析】把x＝2+代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．

【解答】解：把x＝2+代入方程得（2+）2﹣4（2+）+m＝0，

解得m＝1．

故答案为1．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

11．（2分）结合图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵　∠1+∠3＝180°　，∴a∥b．

【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，

∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）．

故答案为：∠1+∠3＝180°．

【点评】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

12．（2分）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有　5　cm．

【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．

【解答】解：由题意可得：

杯子内的筷子长度为：＝15，

则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣15＝5（cm）．

故答案为：5．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．

13．（2分）为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：

【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得．

【解答】解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是12000×＝7200（人），

故答案为：7200．

【点评】本题主要考查用样本估计总体，用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

14．（2分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A+∠C＝　219°　．

【分析】连接AB，根据切线的性质得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到结论．

【解答】解：连接AB，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴PA＝PB，

∵∠P＝102°，

∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，

∵∠DAB+∠C＝180°，

∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，

故答案为：219°．

【点评】本题考查了切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

15．（2分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长　　．

【分析】作AM⊥BC于E，由角平分线的性质得出＝＝，设AC＝2x，则BC＝3x，由线段垂直平分线得出MN⊥BC，BN＝CN＝x，得出MN∥AE，得出＝＝，NE＝x，BE＝BN+EN＝x，CE＝CN﹣EN＝x，再由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果．

【解答】解：作AM⊥BC于E，如图所示：

∵CD平分∠ACB，

∴＝＝，

设AC＝2x，则BC＝3x，

∵MN是BC的垂直平分线，

∴MN⊥BC，BN＝CN＝x，

∴MN∥AE，

∴＝＝，

∴NE＝x，

∴BE＝BN+EN＝x，CE＝CN﹣EN＝x，

由勾股定理得：AE2＝AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2，

即52﹣（x）2＝（2x）2﹣（x）2，

解得：x＝，

∴AC＝2x＝；

故答案为：．

【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识；熟练掌握线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．

16．（2分）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是　4＜BC≤　．

【分析】作△ABC的外接圆，求出当∠BAC＝90°时，BC是直径最长＝；当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠BAC＞∠ABC，即可得出答案．

【解答】解：作△ABC的外接圆，如图所示：

∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，

当∠BAC＝90°时，BC是直径最长，

∵∠C＝60°，

∴∠ABC＝30°，

∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，

∴AC＝，

∴BC＝；

当∠BAC＝∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC＝AC＝AB＝4，

∵∠BAC＞∠ABC，

∴BC长的取值范围是4＜BC≤；

故答案为：4＜BC≤．

【点评】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出△ABC的外接圆进行推理计算是解题的关键．

三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（7分）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）

【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，计算即可．

【解答】解：（x+y）（x2﹣xy+y2），

＝x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3，

＝x3+y3．

故答案为：x3+y3．

【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．

18．（7分）解方程：﹣1＝．

【分析】方程两边都乘以最简公分母（x+1）（x﹣1）化为整式方程，然后解方程即可，最后进行检验．

【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）去分母得，

x（x+1）﹣（x2﹣1）＝3，

即x2+x﹣x2+1＝3，

解得x＝2

检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0，

∴x＝2是原方程的解，

故原分式方程的解是x＝2．

【点评】本题考查了分式方程的求解，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

19．（7分）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证：△ADF≌△CEF．

【分析】依据四边形DBCE是平行四边形，即可得出BD＝CE，依据CE∥AD，即可得出∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，即可判定△ADF≌△CEF．

【解答】证明：∵DE∥BC，CE∥AB，

∴四边形DBCE是平行四边形，

∴BD＝CE，

∵D是AB的中点，

∴AD＝BD，

∴AD＝EC，

∵CE∥AD，

∴∠A＝∠ECF，∠ADF＝∠E，

∴△ADF≌△CEF（ASA）．

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定，两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．

20．（8分）如图是某市连续5天的天气情况．

（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；

（2）根据如图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．

【分析】（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差；

（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：

s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）．

【解答】解：（1）这5天的日最高气温和日最低气温的平均数分别是

＝＝24，＝＝18，

方差分别是

＝＝0.8，

＝＝8.8，

∴＜，

∴该市这5天的日最低气温波动大；

（2）25日、26日、27日的天气依次为大雨、中雨、晴，空气质量依次良、优、优，说明下雨后空气质量改善了．

【点评】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．

（1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？

（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是　　．

【分析】（1）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果；

（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果．

【解答】解：（1）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，

∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为＝；

（2）乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；

其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），

∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是；

故答案为：．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

22．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：PA＝PC．

【分析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出＝，进而得出＝，根据等弧所对的圆周角相等得出∠C＝∠A，根据等角对等边证得结论．

【解答】证明：连接AC，

∵AB＝CD，

∴＝，

∴+＝+，即＝，

∴∠C＝∠A，

∴PA＝PC．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．

23．（8分）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．

（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．

（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．

【分析】（1）解不等式﹣2x+2＞x﹣3即可；

（2）先计算出x＝1对应的y2的函数值，然后根据x＜1时，一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）的图象在直线y2＝x﹣3的上方确定k的范围．

【解答】解：（1）k＝﹣2时，y1＝﹣2x+2，

根据题意得﹣2x+2＞x﹣3，

解得x＜；

（2）当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，把（1，﹣2）代入y1＝kx+2得k+2＝﹣2，解得k＝﹣4，

当﹣4≤k＜0时，y1＞y2；

当0＜k≤1时，y1＞y2．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

24．（8分）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．

（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）

【分析】延长AB交CD于H，利用正切的定义用CH表示出AH、BH，根据题意列式求出CH，计算即可．

【解答】解：延长AB交CD于H，

则AH⊥CD，

在Rt△AHD中，∠D＝45°，

∴AH＝DH，

在Rt△AHC中，tan∠ACH＝，

∴AH＝CH•tan∠ACH≈0.51CH，

在Rt△BHC中，tan∠BCH＝，

∴BH＝CH•tan∠BCH≈0.4CH，

由题意得，0.51CH﹣0.4CH＝33，

解得，CH＝300，

∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，

∴AH＝AB+BH＝153，

∴DH＝AH＝153，

∴HF＝DH﹣DF＝103，

∴EF＝EH+FH＝323，

答：隧道EF的长度为323m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

25．（8分）某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用2000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？

【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答．

【解答】解：设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，

依题意得：3x•2x•100+30（3x•2x﹣50×40）＝2000

解得x1＝30，x2＝﹣30（舍去）．

所以3x＝90，2x＝60，

答：扩充后广场的长为90m，宽为60m．

【点评】题考查了列二元一次方程解实际问题的运用，总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键．

26．（9分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．

小明的作法

1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．

2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．

3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．

（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

【分析】（1）根据邻边相等的四边形是菱形证明即可．

（2）求出几种特殊位置的CD的值判断即可．

【解答】（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE，

∴DG＝EF，

∵DG∥EF，

∴四边形DEFG是平行四边形，

∵DG＝DE，

∴四边形DEFG是菱形．

（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．

在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，

∴AB＝＝5，

则CD＝x，AD＝x，

∵AD+CD＝AC，

∴+x＝3，

∴x＝，

∴CD＝x＝，

观察图象可知：0≤CD＜时，菱形的个数为0．

如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．

∵DG∥AB，

∴＝，

∴＝，

解得m＝，

∴CD＝3﹣＝，

如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．

∵DG∥AB，

∴＝，

∴＝，

∴n＝，

∴CG＝4﹣＝，

∴CD＝＝，

观察图象可知：当0≤CD＜或＜CD≤时，菱形的个数为0，当CD＝或＜CD≤时，菱形的个数为1，当＜CD≤时，菱形的个数为2．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图﹣复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．

27．（11分）【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

【数学理解】

（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝　3　．

②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是　（1，2）　．

（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．

（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．

【问题解决】

（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

【分析】（1）①根据定义可求出d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②由两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|及点B是函数y＝﹣2x+4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B的坐标；

（2）由条件知x＞0，根据题意得，整理得x2﹣3x+4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．

（3）根据条件可得|x|+|x2﹣5x+7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；

（4）以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处，可由d（O，P）≥d（O，E）证明结论即可．

【解答】解：（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；

②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，

∵0≤x≤2，

∴x+y＝3，

∴，

解得：，

∴B（1，2），

故答案为：3，（1，2）；

（2）假设函数的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，

根据题意，得，

∵x＞0，

∴，，

∴，

∴x2+4＝3x，

∴x2﹣3x+4＝0，

∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，

∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，

∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．

（3）设D（x，y），

根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，

∵，

又x≥0，

∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，

∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．

（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，

设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．

理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．

∵∠EFH＝45°，

∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，

同理d（O，P）＝OG，

∵OG≥OF，

∴d（O，P）≥d（O，E），

∴上述方案修建的道路最短．

【点评】考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义，解方程（组），二次函数的性质等．下载本文