一、选择题（每小题3分，共30分）第1～10题均有四个选项，符合题意的选项只有
一个.
1．﹣5的相反数是（ ）
A．B．﹣C．5D．﹣5
2．10月18日上午9时，中国党第十九次全国代表大会在京开幕，网站PC端成为报道大会的主阵地．据统计，关键词“十九大”在1.3万个网站中产生数据
174000条，其中174000用科学记数法表示为（ ）
A．17.4×105B．1.74×105C．17.4×104D．1.74×106
3．下列各式中，不相等的是（ ）
A．（﹣3）2和﹣32B．（﹣3）2和32C．（﹣2）3和﹣23
D．|﹣2|3和|﹣23|
4．下列是一元一次方程的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0B．2x+y＝5C．D．x+1＝0
5．如图，下列结论正确的是（ ）
A．c＞a＞b B．C．|a|＜|b|D．abc＞0
6．下列等式变形正确的是（ ）
A．若﹣3x＝5，则x＝﹣
B．若，则2x+3（x﹣1）＝1
C．若5x﹣6＝2x+8，则5x+2x＝8+6
D．若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1
7．下列结论正确的是（ ）
A．﹣3ab2和b2a是同类项B．不是单项式
C．a比﹣a大D．2是方程2x+1＝4的解
8．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知点A，B，C在同一条直线上，若线段AB＝3，BC＝2，AC＝1，则下列判断正确的是（ ）
A．点A在线段BC上
B．点B在线段AC上
C．点C在线段AB上
D．点A在线段CB的延长线上
10．由m个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则m能取到的最大值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
二、填空题（每小题2分，共16分）
11．计算：48°37'+53°35'＝ ．
12．小何买了4本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a元，圆珠笔的单价为b 元则小何共花费 元．（用含a，b的代数式表示）
13．已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则b a的值等于 ．
14．北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A，B，C分别表示天安门、北京西站、北京南站，经测量，北京西站在天安门的南偏西77°方向，北京南站在天安门的南偏西18°方向．则∠BAC＝ °．
15．若2是关于x的一元一次方程2（x﹣1）＝ax的解，则a＝ ．
16．规定图形表示运算a﹣b﹣c，图形表示运算x﹣z﹣y+w．则
+＝ （直接写出答案）．
17．线段AB＝6，点C在直线AB上，BC＝4，则AC的长度为 ．
18．在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化．如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n次变化时，图形的面积是否会变化， （填写“会”或者“不会”），图形的周长为 ．
三、解答题（本题共54分，第19，20题每题6分，第21题4分，第22～25题每题
6分，第26，27题每题7分）
19．计算：
（1）（﹣）×（﹣8）+（﹣6）2；（2）﹣14+（﹣2）．
20．解方程：
（1）3（2x﹣1）＝15；
（2）．
21．已知3a﹣7b＝﹣3，求代数式2（2a+b﹣1）+5（a﹣4b）﹣3b的值．
22．作图题：
如图，已知点A，点B，直线l及l上一点M．
（1）连接MA，并在直线l上作出一点N，使得点N在点M的左边，且满足MN＝MA；
（2）请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出画图的依据．
23．几何计算：
如图，已知∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOB，OD平分∠AOC，求∠COD的度数．解：因为∠BOC＝3∠AOB，∠AOB＝40°
所以∠BOC＝ °
所以∠AOC＝ + ＝ °+ °＝ °
因为OD平分∠AOC
所以∠COD＝ ＝ °．
24．如图1，线段AB＝10，点C，E，F在线段AB上．
（1）如图2，当点E，点F是线段AC和线段BC的中点时，求线段EF的长；
（2）当点E，点F是线段AB和线段BC的中点时，请你写出线段EF与线段AC之间的数量关系并简要说明理由．
25．先阅读，然后答题．
阿基米德测皇冠的故事
叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠．王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻．他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重．国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难题．回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解．一天，他的夫人逼他洗澡．当他跳入池中时，水从池中溢了出来．阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下子冒了出来．他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：“优勒加！优勒加！（意为发现了）“．夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着“真疯了，真疯了“，便随后追了出去．街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看．原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同．如果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假．阿基为德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假．在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银．烦人的王冠之谜终于解开了．
小明受阿基米德测皇冠的故事的启发，想要做以下的一个探究：
小明准备了一个长方体的无盖容器和A，B两种型号的钢球若干．先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为30mm，水足以淹没所有的钢球．
探究一：小明做了两次实验，先放入3个A型号钢球，水面的高度涨到36mm；把3个A型号钢球捞出，再放入2个B型号钢球，水面的高度恰好也涨到36mm．
由此可知A型号与B型号钢球的体积比为 ；
探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入A型号与B型号钢球共10个后，水面高度涨到57mm，问放入水中的A型号与B型号钢球各几个？
26．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：
（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad．
例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（2，﹣3）★（3，﹣2）＝ ；
（2）若有理数对（﹣3，2x﹣1）★（1，x+1）＝7，则x＝ ；
（3）当满足等式（﹣3，2x﹣1）★（k，x+k）＝5+2k的x是整数时，求整数k的值．27．如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE＝90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）
（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF＝ ；
（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕点顶点
C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α．
①当t＝1时，α＝ ；
②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；
（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1＝β，若α与β满足|α﹣β|＝20°，请直接写出t的值为 ．2017-2018学年北京市海淀区七年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）第1～10题均有四个选项，符合题意的选项只有
一个.
1．﹣5的相反数是（ ）
A．B．﹣C．5D．﹣5
【分析】依据相反数的定义求解即可．
【解答】解：﹣5的相反数是5．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．10月18日上午9时，中国党第十九次全国代表大会在京开幕，网站PC端成为报道大会的主阵地．据统计，关键词“十九大”在1.3万个网站中产生数据
174000条，其中174000用科学记数法表示为（ ）
A．17.4×105B．1.74×105C．17.4×104D．1.74×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：174000用科学记数法表示为1.74×105，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列各式中，不相等的是（ ）
A．（﹣3）2和﹣32B．（﹣3）2和32C．（﹣2）3和﹣23
D．|﹣2|3和|﹣23|
【分析】根据有理数的乘方、绝对值和负整数指数幂的知识点进行解答，即可判断．【解答】解：A、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，故（﹣3）2≠﹣32；
B、（﹣3）2＝9，32＝9，故（﹣3）2＝32；
C、（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，则（﹣2）3＝﹣23；D、|﹣2|3＝23＝8，|﹣23|＝|﹣8|＝8，则|﹣2|3＝|﹣23|．
故选：A．
【点评】此题确定底数是关键，要特别注意﹣32和（﹣3）2的区别．
4．下列是一元一次方程的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0B．2x+y＝5C．D．x+1＝0
【分析】根据只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程可得答案．
【解答】解：A、不是一元一次方程，故此选项错误；
B、不是一元一次方程，故此选项错误；
C、不是一元一次方程，故此选项错误；
D、是一元一次方程，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．
5．如图，下列结论正确的是（ ）
A．c＞a＞b B．C．|a|＜|b|D．abc＞0
【分析】A、根据数轴上的数右边的总比左边的大，可得结论；
B、根据0＜b＜1＜c，可得结论；
C、根据数轴上数a表示的点离原点比较远，可得|a|＞|b|；
D、根据a＜0，b＞0，c＞0，可得结论．
【解答】解：A、由数轴得：a＜b＜c，故选项A不正确；
B、∵0＜b＜1＜c，
∴＞，
故选项B正确；
C、由数轴得：|a|＞|b|，
故选项C不正确；
D、∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，
故选项D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查了数轴的意义、绝对值的定义及有理数的乘法法则，熟练掌握数轴的有关性质是关键．
6．下列等式变形正确的是（ ）
A．若﹣3x＝5，则x＝﹣
B．若，则2x+3（x﹣1）＝1
C．若5x﹣6＝2x+8，则5x+2x＝8+6
D．若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1
【分析】根据等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决．
【解答】解：A、若﹣3x＝5，则x＝﹣，错误；
B、若，则2x+3（x﹣1）＝6，错误；
C、若5x﹣6＝2x+8，则5x﹣2x＝8+6，错误；
D、若3（x+1）﹣2x＝1，则3x+3﹣2x＝1，正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质定理．
7．下列结论正确的是（ ）
A．﹣3ab2和b2a是同类项B．不是单项式
C．a比﹣a大D．2是方程2x+1＝4的解
【分析】根据同类项、单项式、有理数的大小比较、一元一次方程的解逐个判断即可．
【解答】解：A、﹣3ab2和b2a是同类项，故本选项符合题意；
B、是单项式，故本选项不符合题意；
C、当a＝0时，a＝﹣a，故本选项不符合题意；D、1.5是方程2x+1＝4的解，2不是方程的解，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了同类项、单项式、有理数的大小比较、一元一次方程的解，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
8．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．
【解答】解：A、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
B、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
C、∠α与∠β互余，故本选项正确；
D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
9．已知点A，B，C在同一条直线上，若线段AB＝3，BC＝2，AC＝1，则下列判断正确的是（ ）
A．点A在线段BC上
B．点B在线段AC上
C．点C在线段AB上
D．点A在线段CB的延长线上【分析】依据点A，B，C在同一条直线上，线段AB＝3，BC＝2，AC＝1，即可得到点C在线段AB上．
【解答】解：如图，∵点A，B，C在同一条直线上，线段AB＝3，BC＝2，AC＝1，∴点A在线段BC的延长线上，故A错误；
点B在线段AC延长线上，故B错误；
点C在线段AB上，故C正确；
点A在线段CB的反向延长线上，故D错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是判段点C的位置在线段AB 上．
10．由m个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则m能取到的最大值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；
由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，出可能两行都是两层．
所以图中的小正方体最少4块，最多5块．
故选：B．
【点评】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
二、填空题（每小题2分，共16分）
11．计算：48°37'+53°35'＝ 102°12' ．
【分析】1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″，依据度分秒的换算即可得到结果．
【解答】解：48°37'+53°35'＝101°72'＝102°12'，
故答案为：102°12'．
【点评】本题主要考查了度分秒的换算，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
12．小何买了4本笔记本，10支圆珠笔，设笔记本的单价为a元，圆珠笔的单价为b 元则小何共花费 （4a+10b） 元．（用含a，b的代数式表示）
【分析】根据单价×数量＝总费用进行解答．
【解答】解：依题意得：4a+10b；
故答案是：（4a+10b）．
【点评】本题考查列代数式．解题的关键是读懂题意，找到题目相关条件间的数量关系．
13．已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则b a的值等于 9 ．
【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出a、b的值，再代入原式中即可．
【解答】解：依题意得：a﹣2＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3．
∴b a＝（﹣3）2＝9．
【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．
当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
14．北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A，B，C分别表示天安门、北京西站、北京南站，
经测量，北京西站在天安门的南偏西77°方向，北京南站在天安门的南偏西18°方向．则∠BAC＝ 59 °．
【分析】根据题意可得∠CAS＝18°，∠BAS＝77°，然后利用角的和差关系可得答案．
【解答】解：∠BAC＝77°﹣18°＝59°，
故答案为：59．
【点评】此题主要考查了方向角，方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角．
15．若2是关于x的一元一次方程2（x﹣1）＝ax的解，则a＝ 1 ．
【分析】根据一元一次方程的解的定义列出方程，解方程即可．
【解答】解：∵2是关于x的一元一次方程2（x﹣1）＝ax的解，
∴2a＝2，
解得，a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是方程的解的定义，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
16．规定图形表示运算a﹣b﹣c，图形表示运算x﹣z﹣y+w．则
+＝ ﹣8 （直接写出答案）．【分析】原式利用已知的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝（1﹣2﹣3）+（4﹣6﹣7+5）＝﹣4﹣4＝﹣8，
故答案为：﹣8
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．线段AB＝6，点C在直线AB上，BC＝4，则AC的长度为 2或10 ．
【分析】分类讨论：C在线段AB上，C在线段AB的延长线上，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：当C在线段AB上时，AC＝1B﹣BC＝6﹣4＝2；
当C在线段AB的延长线上时，AC＝AB+BC＝10．
综上所述：AC的长度为2或10．
故选：2或10．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
18．在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化．如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n次变化时，图形的面积是否会变化， 不会 （填写“会”或者“不会”），图形的周长为 2n+4a ．
【分析】观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变．
【解答】解：周长依次为16a，32a，a，128a，…，2n+4a，即无限增加，
所以不断发展下去到第n次变化时，图形的周长为2n+4a；
图形进行分形时，每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变，是一个定值16a2．
故答案为：不会、2n+4a．
【点评】此题考查了图形的变化类，主要培养学生的观察能力和概括能力，观察出后一个图形的周长比它的前一个增加1倍是解题的关键，本题有一定难度．
三、解答题（本题共54分，第19，20题每题6分，第21题4分，第22～25题每题
6分，第26，27题每题7分）
19．计算：
（1）（﹣）×（﹣8）+（﹣6）2；
（2）﹣14+（﹣2）．
【分析】（1）根据有理数的乘法和加法可以解答本题；
（2）根据幂的乘方、有理数的除法和减法可以解答本题．
【解答】解：（1）（﹣）×（﹣8）+（﹣6）2
＝4+36
＝40；
（2）﹣14+（﹣2）
＝﹣1+2×3﹣9
＝﹣1+6﹣9
＝﹣4．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
20．解方程：
（1）3（2x﹣1）＝15；
（2）．
【分析】（1）根据一元一次方程的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，系数化为1，从而得到方程的解．
【解答】解：（1）去括号得，6x﹣3＝15，移项得，6x＝15+3，
合并同类项得，6x＝18，
系数化为1得，x＝3；
（2）去分母得，2（x﹣7）﹣3（1+x）＝6，
去括号得，2x﹣14﹣3﹣3x＝6，
移项得，2x﹣3x＝6+14+3，
合并同类项得，﹣x＝23，
系数化为1得，x＝﹣23．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，注意在去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
21．已知3a﹣7b＝﹣3，求代数式2（2a+b﹣1）+5（a﹣4b）﹣3b的值．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当3a﹣7b＝﹣3时，
原式＝4a+2b﹣2+5a﹣20b﹣3b
＝9a﹣21b﹣2
＝3（3a﹣7b）﹣2
＝﹣9﹣2
＝﹣11
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
22．作图题：
如图，已知点A，点B，直线l及l上一点M．
（1）连接MA，并在直线l上作出一点N，使得点N在点M的左边，且满足MN＝MA；
（2）请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出画图的依据．
【分析】（1）连接AM，以M为圆心，MA为半径画弧交直线l于N，点N即为所求；
（2）连接AB交直线l于点O，点O即为所求；
【解答】解：（1）作图如图1所示：
（2）作图如图2所示：作图依据是：两点之间线段最短．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．几何计算：
如图，已知∠AOB＝40°，∠BOC＝3∠AOB，OD平分∠AOC，求∠COD的度数．解：因为∠BOC＝3∠AOB，∠AOB＝40°
所以∠BOC＝ 120 °
所以∠AOC＝ ∠AOB + ∠BOC ＝ 40 °+ 120 °＝ 160 °
因为OD平分∠AOC
所以∠COD＝ ∠AOC ＝ 80 °．
【分析】先求出∠BOC的度数，再求出∠AOC的度数，根据角平分线定义求出即可．【解答】解：∵∠BOC＝3∠AOB，∠AOB＝40°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝40°+120°＝160°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠AOC＝＝80°，
故答案为：120，∠AOB，∠BOC，40，120，160，∠AOC，80．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，能求出∠AOC的度数和得出
∠COD＝∠AOC是解此题的关键．
24．如图1，线段AB＝10，点C，E，F在线段AB上．
（1）如图2，当点E，点F是线段AC和线段BC的中点时，求线段EF的长；
（2）当点E，点F是线段AB和线段BC的中点时，请你写出线段EF与线段AC之间的数量关系并简要说明理由．
【分析】（1）根据线段的中点得出AE＝CE＝AC，CF＝FB＝CB，求出EF＝AB，代入求出即可；
（2）根据线段的中点得出AE＝CE＝AC，CF＝FB＝CB，即可求出EF＝AC．【解答】解：（1）∵当点E、点F是线段AC和线段BC的中点，
∴AE＝CE＝AC，CF＝FB＝CB，
∵AB＝10，
∴EF＝CE+CF＝AC+CB＝（AC+CB）＝AB＝10＝5；
（2）如图：EF＝AC，
理由是：∵当点E、点F是线段AB和线段BC的中点，∴AE＝EB＝AB，CF＝FB＝CB，
∴EF＝EB﹣FB＝AB﹣CB＝（AB﹣CB）＝AC．
【点评】本题考查了求两点之间的距离和线段的中点，能根据线段的中点定义得出
AE＝EB＝AB和CF＝FB＝CB是解此题的关键．
25．先阅读，然后答题．
阿基米德测皇冠的故事
叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠．王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻．他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重．国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难题．回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解．一天，他的夫人逼他洗澡．当他跳入池中时，水从池中溢了出来．阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下子冒了出来．他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：“优勒加！优勒加！（意为发现了）“．夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着“真疯了，真疯了“，便随后追了出去．街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看．原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同．如果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假．阿基为德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假．在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银．烦人的王冠之谜终于解开了．
小明受阿基米德测皇冠的故事的启发，想要做以下的一个探究：
小明准备了一个长方体的无盖容器和A，B两种型号的钢球若干．先往容器里加入一定量的水，如图，水高度为30mm，水足以淹没所有的钢球．
探究一：小明做了两次实验，先放入3个A型号钢球，水面的高度涨到36mm；把3个A型号钢球捞出，再放入2个B型号钢球，水面的高度恰好也涨到36mm．
由此可知A型号与B型号钢球的体积比为 2：3 ；探究二：小明把之前的钢球全部捞出，然后再放入A型号与B型号钢球共10个后，水面高度涨到57mm，问放入水中的A型号与B型号钢球各几个？
【分析】探究一：依据3个A型号钢球与2个B型号钢球的体积相等，即可得到A型号与B型号钢球的体积比为2：3；
探究二：设放入水中的A型号钢球为x个，则B型号钢球为（10﹣x）个，则由放入A 型号与B型号钢球共10个后，水面高度涨到57mm，可得方程，进而得出结论．【解答】解：探究一：
由题可得，3个A型号钢球与2个B型号钢球的体积相等，
∴A型号与B型号钢球的体积比为2：3；
故答案为：2：3；
探究二：
每个A型号钢球使得水面上升（36﹣30）＝2 mm，
每个B型号钢球使得水面上升（36﹣30）＝3mm，
设放入水中的A型号钢球为x个，则B型号钢球为（10﹣x）个，则由题意列方程：
2x+3（10﹣x）＝57﹣30，
解得：x＝3，
所以10﹣x＝7，
答：放入水中的A型号钢球3个，B型号钢球7个．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是依据等量关系列方程求解．
26．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：
（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad．
例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题：（1）有理数对（2，﹣3）★（3，﹣2）＝ ﹣5 ；
（2）若有理数对（﹣3，2x﹣1）★（1，x+1）＝7，则x＝ 1 ；
（3）当满足等式（﹣3，2x﹣1）★（k，x+k）＝5+2k的x是整数时，求整数k的值．【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）原式利用题中的新定义计算即可求出x的值；
（3）原式利用题中的新定义计算，求出整数k的值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：原式＝﹣9+4＝﹣5；
故答案为：﹣5；
（2）根据题意化简得：2x﹣1+3x+3＝7，
移项合并得：5x＝5，
解得：x＝1；
故答案为：1；
（3）∵等式（﹣3，2x﹣1）★（k，x+k）＝5+2k的x是整数，
∴（2x﹣1）k﹣（﹣3）（x+k）＝5+2k，
∴（2k+3）x＝5，
∴x＝，
∵k是整数，
∴2k+3＝±1或±5，
∴k＝1，﹣1，﹣2，﹣4．
【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．
27．如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE＝90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）
（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF＝ 45° ；
（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α．
①当t＝1时，α＝ 30° ；
②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；
（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1＝β，若α与
β满足|α﹣β|＝20°，请直接写出t的值为 ．
【分析】（1）根据角平分线的定义计算即可；
（2）①根据∠FCD＝∠ACF﹣∠ACD，求出∠ACF，∠ACD即可；
②猜想：∠BCE＝2α．根据∠BCE＝∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD计算即可；
（3）求出α，β（用t表示），构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，∵∠EOD＝90°，OF平分∠EOD，
∴∠FOD＝∠EOD＝45°，
故答案为45°
（2）①如图2中，当t＝1时，∵∠DCA＝30°，∠ECD＝90°，∴∠ECA＝120°，
∵CF平分∠ACE，
∴∠FCA＝∠ECA＝60°
∴α＝∠FCD＝60°﹣30°＝30°
故答案为30°．
②如图2中，猜想：∠BCE＝2α．
理由：∵∠DCE＝90°，∠DCF＝α，
∴∠ECF＝90°﹣α，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝∠ECF＝90°﹣α，
∵点A，O，B共线
∴AOB＝180°
∴∠BCE＝∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣（90°﹣2α）＝2α．
（3）如图3中，由题意：α＝∠FCA﹣∠DCA＝（90°+30t）﹣30t＝45°﹣15t，β＝∠AC1D1+∠AC1F1＝30t+（90°﹣30t）＝45°+15t，
∵|β﹣α|＝20°，
∴|30t|＝20°，
解得t＝．
故答案为．
【点评】本题考查角的计算、角平分线的定义、数轴、旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．下载本文
