数学概念教学应是数学本质的教学

                           ----赏析“离散型随机变量”概念课

                 浙江省苍南县灵溪第二高级中学（325800） 林光来

2011年4月7日，温州市特级教师、骨干教师大讲台活动在浙江省瑞安中学举行，期间我们听了一节《离散型随机变量》的课，使用的教材是人民教育出版社《普通高中课程标准试验教科书·数学（选修2-3）》（A版），这堂课由浙江省瑞安中学的吴存国老师执教，学生来自瑞安中学。下面是笔者对这节课的几点体会，望与广大同仁交流学习。

一、课例赏析

1、揭示数学本质  发展思维能力  

高中数学课程标准明确指出：“形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求……，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质……把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。”在随机试验中，所有试验结果可以构成一个样本空间，而样本空间中的每一个试验结果都可以用一个实数表示，这些实数又构成一个实数空间，于是由样本空间到实数空间就确定了一个映射，这个映射就是一个随机变量，它的取值就是实数空间中的元素。如果随机变量的所有取值都可以一一列出时，这样的随机变量就是离散型随机变量。随机变量的本质，是样本点到实数的一个映射。它区别于函数关系下的变量。吴老师正是通过以下两个问题来揭示随机变量的本质的。

问题一：各个试验结果与数字之间的对应关系有什么共同特点？通过师生活动：先由学生讨论，再尝试归纳它们的共性，并逐步改进，形成随机变量的概念。吴老师再归纳： ①在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验的结果都用一个确定的数字来表示。②在这种对应关系下，数字是随着试验结果的变化而变化的。于是形成概念：像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量。引导学生发现它们的共同属性：存在一个对应关系即映射，使得每一个试验结果都可以用一个确定的数字表示，并且数字随着试验结果的变化而变化，从而归纳出随机变量的概念。

问题二：随机变量与我们学习过的哪个概念有类似的地方？通过师生活动：由学生完成表格，并比较两者的异同。相同点：随机变量与函数都是映射。不同点：随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。函数的自变量是实数x，随机变量的自变量为试验结果。试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。

吴老师指出：“通过以上比较：随机变量类似于函数，因此，我们就可以用类似于函数的观点来理解随机变量。”他通过与函数概念（三要素）的辨析比较，进一步揭示随机变量的内涵，更加清楚随机变量的对应本质，并将随机变量作为映射的外延加以理解吸收，引导学生用类似于函数的运动变化观点来理解随机变量。

2、关注认知基础   有效驾驭课堂

  数学教学的对象是学生，学生已经知道什么、需要知道什么、需要老师什么样的帮助是教学设计的依据。这节课，吴老师所教班级的学生基础是：（1）学生来自重点中学，数学基础比较扎实，接受能力也较强。（2）学生在必修3概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，随机变量这个概念其实早已存在于学生的意识之中，而且在不少场合都已不自觉的“实际使用”，只是没有明朗化而已。吴老师在教学中通过学生熟悉的掷骰子、枚硬币等随机试验让学生体会随机变量概念的发生，在师生举例中来体会随机变量概念的发展，特别是诸如抛掷一枚硬币等试验，其结果不具有数量性质，怎么让学生自然地想到用数来表示其试验结果，并且所用的数又尽量简单。而随机变量和离散型随机变量是上、下位概念的关系，从学习的认知方式看，下位学习依靠的主要是同化，上位学习依靠的主要是顺应，上位学习一般采用的思维方法主要是概括和综合，它主要通过改造原有认知结构中的有关内容而建立新的认知结构。在随机变量的教学中，吴老师特别重视学生举例，让学生在充分的自主活动中体验数学化的过程，体验将随机试验结果数量化的过程，来把握随机变量的内涵。另外吴老师的教态亲切自然、亲和力强，语言表达力、感染力强。课堂上师生交流自然、充分。吴老师能很好地驾驭课堂，课堂上凡是学生能想的、能说的、能做的，都让学生去完成。

3、重视教学设计  引导课堂生成

预设是教学的基本要求，是教学“生成”的起点，对教学的展开和推进有促进作用，我们鼓励教学过程中生成，并不是反对预设、追求随意生成，追求的应是有效生成，没有精心的预设就不可能有有效的生成。吴老师在设计时“着眼于整体，立足于个体，致力于主体”，真正关注学生的发展，更多地为学生的“学”而预设。同时这种预设应该是有弹性、有留白的。叶澜说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程”。吴老师没有拘泥于预设的教案不放，而是在课堂教学中即时引领、引导，促进课堂的动态生成。他给了学生充分表达的机会，引导学生就不同的观点展开讨论甚至争论，也让其他学生对其所说有一个理解与评价的机会。

二、课例思考

1 、正确理解随机变量的含义 

随机变量的含义可以从以下几个方面理解：

●随机变量是将随机试验的结果数量化。许多随机事件表现为数量形式，但有些随机事件并不具有数量形式，我们可以把这样的随机事件与实数之间，人为地而又合理地建立起一种对应关系，使每个随机事件都对应着一个实数，那么，随机事件就可以用这些实数为变量来表示，即可把试验的结果数量化.任何一个随机试验的结果都可以进行量化，不同的试验结果用不同的数表示，理论上同一个试验结果可以选择任意一个确定的数来表示，通常根据所关心的问题恰当地定义随机变量.

●随机变量的取值具有随机性。一方面指随着试验和观察次数的不同，随机变量可能取得不同的数值，即随机变量在不同的观察次数中数值在不断地变化，当然只有变化才称得上是变量；另一方面，由于随机变量的取值依赖试验的结果，虽然试验之前可以判断随机试验可能出现的所有结果，但在每次试验之前无法判断会出现何种结果，因而也就无法确定随机变量会取什么值，即它的取值具有随机性。

●随机变量的取值具有统计规律性。虽然随机变量在一次试验中的取值具有随机性，但多次试验或观察所得到的结果有一定的内在统计规律性，只有认识了这些规律性，才能用它来指导实践，对随机变量的研究可以通过其概率分布来描述，离散型随机变量的研究常用分布列、均值和方差等来衡量。随机变量X取每一个值的概率P(X=)，等于其相应的随机事件发生的概率P()。

2、注意区别随机变量和函数两个概念

我们在让学生通过类比函数来认识离散型随机变量的教学过程中，应该注意区别随机变量和函数两个概念。我们既要通过类比函数，让学生能够在所学函数概念的基础上，从映射的角度来认识随机变量，但还要让学生知道随机变量毕竟不是函数，不能把随机变量当做函数来研究。随机变量与函数不论是概念还是研究内容和方法都有着本质的不同。教材类比函数仅仅是为了帮助学生更好地了解随机变量的概念，但并未将随机变量看作是函数，更没有用研究函数的方法去研究随机变量。过分强调随机变量是函数关系，容易给学生一种误导——概率是随机变量的取值到概率值的函数。把随机变量的取值到其概率值看成函数关系，作为随机变量的概念比较的对象，不是很合适。

3、应注重概念延伸拓展

吴老师所在的学校是省一级重点，学生基础较好，在一节课中仅讨论离散型随机变量，内容上显得比较单薄，时间上显得比较宽余，效果上显得比较低效，从提高教学效率考虑似还有潜力可挖。引入离散型随机变量的概念，体会引入随机变量的作用，渗透将实际问题转化为数学问题进行随机分析的思想方法，是本部分的教学目标。如果只引入随机变量而不涉及概率分布，这节课至多只能使人感到随机变量是对试验结果的一种数量化表示，而无法认识这种表示与随机度量（即可能性大小）的密切联系，这使得体会随机变量作用的效果大打折扣。所以当引入了离散型随机变量后，也可以将教学的重点转向研究离散型随机变量的分布列，并加强对随机现象的认识. 

三、课例启示

 概念课应该重视几个方面的教学：

1、经历概念形成  注重学生感悟

数学概念的教学，不仅仅是“一个定义，几项注意”，更不能以解题教学来代替，应重视概念的构建过程。要以学生已有的知识为教学起点，在概念的引入、表述、辨析、性质的教学中，要舍得花时间，精心设计教学环节，为学生提供思考、探究、交流的机会，努力引导学生实现从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从感性到理性的飞跃，并逐渐学会用符号语言正确表述概念的本质属性。事实证明，只有亲身经历才能深刻感悟。如在《数列》的教学中，我们可以从实例引入、数列的概念、数列的表示、数列的通项公式、数列的图像、数列的分类等方面来学习数列这一概念。

2、优化问题设计  引导思维参与

学生的有效思维量是数学课堂效率的体现，一个好的“问题串”可以持续地引导学生思考，从而可以起到使学生对原有的知识、技能进行再认识，再加工，进一步深化提高；可以把学生头脑中已有的相关认知能力调动起来，积极参与到新的学习活动中来，为构建新知识作准备。如：

  案例1:任意角概念的形成过程

   问题1：画出学过的角

   问题2：举出日常生活中的角

   问题3:把日常生活中的角画出来

   问题4：把日常生活中的角分分类

         问题5:把角放在坐标系中，怎么放比较好?

     以问题引导学习，在关键点上给学生提供发表自己见解的机会，并引导他们通过类比、推广等思维活动，自己概括出数学的本质，使他们在学习过程中始终保持高水平的数学思维。

  3 、精心选择例题  聚焦概念核心

一个好的例题往往承载着概念的本质，蕴含着丰富的数学思想。在形成一个新的数学概念之后，精心选择有助于概念理解的例题是概念的“精致”过程中不可替代的环节。如：

案例2:讲完函数概念后可以选择这样的例题来帮助学生深化概念,

(1)下表中的数据是同学们在做水龙头验时收集的。量杯的最在容量是100毫升。

②这是一次函数吗？请解释。

（2）小张和小李一起做水龙头做漏水实验。他们每人将收集的数学据描在了直角坐标系中，是什么原因导致了他们所画的图象不同？

                    （第2小题）                    （第3小题）

（3）如图，关于水龙头漏水实验数据的图象，该图象说明了什么？

这样的例题，函数味道很浓，“变量”“一个量随着一个量的变化而变化”“对应关系”“变化规律”等，都得到了充分的体现。问题聚焦于概念的理解和应用，只要理解了概念就能回答，而不是给学生设置“陷阱”，在与函数概念没有太大关系的问题上制造麻烦。这类例题更有助于学生理解概念的本质，能让学生感受数学的作用，对学生的能力的培养也更全面。

参考文献：

[1] 孔小明. 离散型随机变量”的含义理解与教学思考[z]．http://www.pep.com.cn.

[2] 白涛. 离散型随机变量的教材设计与教学[z]．http://www.pep.com.cn.

[3] 林光来. 预设诚可贵  生成价更高[J]．数学教学研究,2009（2）.下载本文