数学理工农医类(天津卷)

本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．

参考公式：

·如果事件A，B互斥，那么

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

·棱柱的体积公式V＝Sh．

其中S表示棱柱的底面面积，

h表示棱柱的高．

·圆锥的体积公式V＝Sh．

其中S表示圆锥的底面面积，

h表示圆锥的高．

第Ⅰ卷

本卷共8小题，每小题5分，共40分．

一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1． i是虚数单位，复数(　　)

A．2＋i　　　B．2－i　　　C．－2＋i　　　D．－2－i

2．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　)

A．充分而不必要条件      B．必要而不充分条件

C．充分必要条件          D．既不充分也不必要条件

3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为－25时，输出x的值为(　　)

A．－1      B．1      C．3      D．9

4．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)

A．0      B．1      C．2      D．3

5．在(2x2－)5的二项展开式中，x的系数为(　　)

A．10      B．－10      C．40      D．－40

6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝(　　)

A．      B．      C．      D． 

7．已知△ABC为等边三角形，AB＝2．设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R．若，则λ＝(　　)

A．      B．      C．      D． 

8．设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是(　　)

A．［，］       B．(－∞，］∪［，＋∞)

C．［，］    D．(－∞，］∪［，＋∞)

第Ⅱ卷

本卷共12小题，共110分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取__________所学校，中学中抽取__________所学校．

10．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m3．

11．已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝__________，n＝__________．

12．已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝__________．

13．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D．过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，，则线段CD的长为__________．

14．已知函数的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是__________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．已知函数f(x)＝sin(2x＋)＋sin(2x－)＋2cos2x－1，x∈R．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求函数f(x)在区间［，］上的最大值和最小值．

16．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．

(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望 E(ξ)．

17．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1．

(1)证明PC⊥AD；

(2)求二面角A－PC－D的正弦值；

(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

18．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．

19．设椭圆(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．

(1)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；

(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足．

20．已知函数f(x)＝x－ln(x＋a)的最小值为0，其中a＞0．

(1)求a的值；

(2)若对任意的x∈［0，＋∞)，有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值；

(3)证明－ln(2n＋1)＜2(n∈N*)．

1． B　．

2． A　φ＝0时，f(x)＝cosx，f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数；若f(x)为偶函数，则f(0)＝±1，∴cosφ＝±1，

∴φ＝kπ(k∈Z)．∴是充分而不必要条件．

3． C　x＝|－25|＞1，x＝－1＝4；

x＝|4|＞1，x＝－1＝1；

x＝|1|＞1不成立，

∴x＝2×1＋1＝3．

4．B　f′(x)＝2xln2＋3x2，在(0,1)上f′(x)＞0恒成立，

∴f(x)在区间(0,1)上单调递增．

又∵f(0)＝20＋03－2＝－1＜0，f(1)＝21＋13－2＝1＞0，

∴f(x)在区间(0,1)上存在一个零点．

5． D　Tr＋1＝(2x2)5－r()r＝(－1)r25－rx10－3r，

∴当10－3r＝1时，r＝3．∴(－1)325－3＝－40．

6． A　在△ABC中，由正弦定理：，∴， 

∴，∴．

∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝．

7． A　设，，

则|a|=|b|=2，且〈a，b〉=．

，．

=［(1－λ)b－a］·(λa－b)

=［λ(1－λ)+1］a·b－λa2－(1－λ)b2

=(λ－λ2+1)×2－4λ－4(1－λ)

=－2λ2+2λ－2=．

即(2λ－1)2=0，∴．

8．)D　直线与圆相切，∴，

∴，即：mn＝m＋n＋1，

设m＋n＝t，则，

∴t＋1≤，∴t2－4t－4≥0，解得：或．

9．答案：18　9

解析：共有学校150＋75＋25＝250所，∴小学中应抽取：所，中学中应抽取：所．

10．答案：18＋9π

解析：由几何体的三视图可知该几何体的顶部是长、宽、高分别为6 m,3 m,1 m的长方体，底部为两个直径为3 m的球．

∴该几何体的体积为：V＝6×3×1＋2×＝18＋9π(m3)．

11．答案：－1　1

解析：A＝{x∈R||x＋2|＜3}，∴|x＋2|＜3．

∴－3＜x＋2＜3，∴－5＜x＜1．

又∵B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝(－1，n)，

∴－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根，n是区间(－5,1)的右端点，

∴m＝－1，n＝1．

12．答案：2

解析：由参数方程(t为参数)，p＞0，可得曲线方程为：y2＝2px(p＞0)．

∵|EF|＝|MF|，且|MF|＝|ME|(抛物线定义)，

∴△MEF为等边三角形，

E的横坐标为，M的横坐标为3．

∴EM中点的横坐标为：，与F的横坐标相同，

∴，∴p＝2．

13．答案： 

解析：在圆中，由相交弦定理：

AF·FB＝EF·FC，

∴，

由三角形相似，，

∴．

由切割弦定理：DB2＝DC·DA，

又DA＝4CD，

∴4DC2＝DB2＝．

∴．

14．答案：(0,1)∪(1,4)

解析： 

函数y=kx－2过定点(0，－2)，由数形结合：

kAB＜k＜1或1＜k＜kAC，

∴0＜k＜1或1＜k＜4．

15．解：(1)f(x)＝sin2x·cos＋cos2x·sin＋sin2x·cos－cos2x·sin＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝．

所以，f(x)的最小正周期．

(2)因为f(x)在区间［，］上是增函数，在区间［，］上是减函数，又，，，故函数f(x)在区间［，］上的最大值为，最小值为－1．

16．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为．

设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，

则．

(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率．

(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4．由于A3与A4互斥，故

P(B)＝P(A3)＋P(A4)

＝．

所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为．

(3)ξ的所有可能取值为0,2,4．

由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故

P(ξ＝0)＝P(A2)＝，

P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，

P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝．

所以ξ的分布列是

17．解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B(，,0)，P(0,0,2)．

(1)证明：易得

=(0,1，－2)， =(2,0,0)，

于是，

所以PC⊥AD．

(2) =(0,1，－2)， =(2，－1,0)．

设平面PCD的法向量n=(x，y，z)，

则

即

不妨令z=1，

可得n=(1,2,1)．

可取平面PAC的法向量m=(1,0,0)．

于是，

从而．

所以二面角A－PC－D的正弦值为．

(3)设点E的坐标为(0,0，h)，其中h∈［0,2］，由此得．由=(2，－1,0)，故

，

所以，，解得，即．

解法二：(1)证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC．又PC平面PAC，所以PC⊥AD．

(2)如图，作AH⊥PC于点H，连接DH．

由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH．

因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A－PC－D的平面角．

在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝1，由此得．

由(1)知AD⊥AH，故在Rt△DAH中，．因此．所以二面角A－PC－D的正弦值为．

(3)如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF．故∠EBF或其补角为异面直线BE与CD所成的角．

由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC．在Rt△DAC中，，，故．

在△AFB中，由，，sin∠FAB＝sin135°＝，可得．

由余弦定理，BF2＝AB2＋AF2－2AB·AF·cos∠FAB，

可得．

设AE＝h．

在Rt△EAF中，．

在Rt△BAE中，．

在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF＝30°，由余弦定理得

，可解得．

所以．

18．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．

由条件，得方程组解得

所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N*．

(2)证明：(方法一)

由(1)得

Tn＝2an＋22an－1＋23an－2＋…＋2na1，①

2Tn＝22an＋23an－1＋…＋2na2＋2n＋1a1．②

由②－①，得

Tn＝－2(3n－1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n＋2n＋2

＝＋2n＋2－6n＋2＝10×2n－6n－10．

而－2an＋10bn－12＝－2(3n－1)＋10×2n－12＝10×2n－6n－10，故Tn＋12＝－2an＋10bn，n∈N*．

(方法二：数学归纳法)

①当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；

②假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则当n＝k＋1时有：

Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1

＝ak＋1b1＋q(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk)

＝ak＋1b1＋qTk

＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12)

＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24

＝－2ak＋1＋10bk＋1－12，

即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1，因此n＝k＋1时等式也成立．

由①和②，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．

19．解：(1)设点P的坐标为(x0，y0)．由题意，有

①

由A(－a,0)，B(a,0)，得，．

由kAP·kBP＝，可得x02＝a2－2y02，代入①并整理得(a2－2b2)y02＝0．

由于y0≠0，故a2＝2b2．于是，所以椭圆的离心率．

(2)证明：(方法一)

依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得

消去y0并整理得

．②

由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，

得(x0＋a)2＋k2x02＝a2．整理得

(1＋k2)x02＋2ax0＝0．而x0≠0，于是，代入②，整理得

(1＋k2)2＝4k2()2＋4．由a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，即k2＋1＞4，因此k2＞3．所以．

(方法二)

依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)，由点P在椭圆上，有．因为a＞b＞0，kx0≠0，所以，即(1＋k2)x02＜a2．③

由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x02＝a2，整理得(1＋k2)x02＋2ax0＝0，于是．

代入③，得(1＋k2)＜a2，解得k2＞3，

所以．

20．解：(1)f(x)的定义域为(－a，＋∞)．．

由f′(x)＝0，得x＝1－a＞－a．

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

(2)当k≤0时，取x＝1，有f(1)＝1－ln2＞0，故k≤0不合题意．当k＞0时，令g(x)＝f(x)－kx2，即g(x)＝x－ln(x＋1)－kx2．

g′(x)＝－2kx＝．

令g′(x)＝0，得x1＝0，．

①当时，，g′(x)＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g(x)在［0，＋∞)上单调递减．从而对于任意的x∈［0，＋∞)，总有g(x)≤g(0)＝0，即f(x)≤kx2在［0，＋∞)上恒成立，故符合题意．

②当0＜k＜时，，对于x∈(0，)，g′(x)＞0，故g(x)在(0，)内单调递增．因此当取x0∈(0，)时，g(x0)＞g(0)＝0，即f(x0)≤kx02不成立．

故0＜k＜不合题意．

综上，k的最小值为．

(3)证明：当n＝1时，不等式左边＝2－ln3＜2＝右边，所以不等式成立．

当n≥2时， 

＝

＝－ln(2n＋1)．

在(2)中取，得f(x)≤(x≥0)，从而

(i∈N*，i≥2)，

所以有

－ln(2n＋1)

＝

＜2－ln3＋

＝2－ln3＋＝2－ln3＋1－＜2．

综上，－ln(2n＋1)＜2，n∈N*．下载本文