2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n0)卷积x(n- n0),所以（1）结果为h(n)   (3)结果h(n-2)

（2）列表法

x(m)

（4）                                                   

3 .已知  ，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为的线性移不变系统的阶跃响应。

4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：

分析：

序列为或时，不一定是周期序列，

当整数，则周期为；

当无理数 ，则不是周期序列。

解：（1），周期为14

（2），周期为6

（2），不是周期的

7.（1）

所以是线性的

T[x(n-m)]=g(n)x(n-m)   y(n-m)=g(n-m)x(n-m)

两者不相等，所以是移变的

y(n)=g(n)x(n)  y和x括号内相等，所以是因果的。（x括号内表达式满足小于等于y括号内表达式，系统是因果的）

│y(n)│=│g(n)x(n)│<=│g(n)││x(n)│x(n)有界，只有在g(n)有界时，y(n)有界，系统才稳定，否则系统不稳定

（3）T[x(n)]=x(n-n0)

线性，移不变，n-n0<=n即n0>=0时系统是因果的，稳定

（5）线性，移变，因果，非稳定

（7）线性，移不变，非因果，稳定

（8）线性，移变，非因果，稳定

8.

第二章   Z变换

1．求以下序列的z变换，并画出零极点图和收敛域。

   （7）

分析：

Z 变换定义，n的取值是的有值范围。

Z变换的收敛域是满足的z值范围。

 解：(1) 由Z变换的定义可知：

解：(2)  由z变换的定义可知：  

解:（3）

解： (4)  

   ， 

解：(5) 设 

则有 

而  

∴

因此，收敛域为 ： 

解：(6)  

（7）Z[u(n)]=z/z-1

   Z[nu(n)]= 

零点为z=0,±j,极点为z=1

分析：

长除法：对右边序列（包括因果序列）H（z）的分子、分母都要按

z的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H（z）的分子、分

母都要按z的升幂排列。

部分分式法：若X（z）用z的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分

式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得

x（n）。

留数定理法：

（1）（i）长除法： 

所以： 

（1）(ii)留数定理法：

        , 设 c为

内的逆时针方向闭合曲线：

         当时，

在c内有

一个单极点

        则 

（1）(iii)部分分式法：

     因为     

     所以   

（2）(i). 长除法：

  ,

因而是左边序列,所以要按的

升幂排列：

     所以  

（2）(ii)留数定理法:

内的逆时针方向闭合曲线

在c外有一个单极点 

在c内有一个单极点

     ∴

综上所述，有：

(2)(iii).  部分分式法：

    则  

   因为    则是左边序列

   所以   

(3)(i).  长除法：

因为极点为，由可知,为

因果序列, 因而要按    的降幂排列:

         则 

        所以

(3)(ii).  留数定理法:

内的逆时针方向闭合曲线。

(3)(iii).  部分分式法：

      则

      所以

(4) 

A=5/8, B=3/8

5．对因果序列,初值定理是,如果序列为时,问相应的定理是什么? 讨论一个序列x(n)，其z变换为：

分析：

这道题讨论如何由双边序列Z变换来求序列初值，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，[它们各自由求表达式是不同的]，将它们各自的相加即得所求。

       若序列的Z变换为：

由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆,则其收敛域应该为： 

6.有一信号，它与另两个信号和的关系是:  ，其中，，已知，，利用z变换性质求y(n)的z变换Y(z)。  

解：

8.    若是因果稳定序列，求证：

分析：

利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解

再利用的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。

证明:

∴

10. 分析：

利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式

解：

由帕塞瓦尔公式可得：

∵ 

∴

即

由帕塞瓦尔公式可得：

13.   研究一个输入为和输出为的时域线性离散移不变系统，已知它满足    并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。

分析：

在Z变换域中求出，然后和题12（c）一样分解成部分分式分别

求Z反变换。

解：  

对给定的差分方程两边作Z变换，得：

，

为了使它是稳定的，收敛区域必须包括单位圆，故为1/3<│z│<3

即可求得    

14.研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统不限定为因果、稳定系统。利用方程的零极点图，试求系统单位抽样响应的三种可能选择方案。

解 :

     对题中给定的差分方程的两边

  作Z变 换，得：

因此

      其零点为   

     极点为     , 

      因为该系统不限定为因果，稳定系统,所以其收敛域情况有三种，分别如左图所示。

   收敛域情况有：

       零极点图一： 

     零极点图二： 

      零极点图三： 

注：如果想要参看具体题解，请先选择方案，然后单击 解答 按键即可。

(1)按12题结果(此处z1=2, z2=1/2),

可知当收敛区域为,则系统是非稳定的，但是因果的。其单位抽样响应为： 

(2) 同样按12题，当收敛区域为  ，则系统是稳定的但是非因果的。

其单位抽样响应为：

(其中     )

(3) 类似 , 当收敛区域为时，则统是非稳定的，又是非因果的。

  其单位抽样响应为：

(其中)

第三章 离散傅立叶变换

1.如下图，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅立叶级数的系数。

计算求得:

解：在一个周期内的计算值

4.分析：此题需注意周期延拓的数值，如果N比序列的点数多，则需补零；如果N比序列的点数少，则需将序列按N为周期进行周期延拓，混叠相加形成新序列。先周期延拓再翻褶、移位

x((-n))5为周期序列{1,0,2,3,1}

x((n))6为周期序列{1, 1,3,2,0,0}

x((-n))6R6(n)为6点有限长序列{1,0,0,2,3,1}

x((n))3R3(n)为3点有限长序列{3,1,3}

x((n-3))5R5(n)为5点有限长序列{3,2,0,1,1}

x((n))7R7(n)为7点有限长序列{1, 1,3,2,0,0,0}

8. 解：（1）x(n)*x(n)= 

x(m)

x(m)

10.，，求f(n)=x(n)⑦y(n)。

解： f(n)=x(n)⑦y(n)= 

x(m)

解:  解: ⑴ 直接计算:

      复乘所需时间:

      复加所需时间:

          ⑵用FFT计算:

      复乘所需时间:

      复加所需时间:

3. 

运算量：复数乘法次数（乘±1、±j不计算在内，要减去系数为±1、±j的，即），即8*4-（1+2+4+8）-（1+2+4）=10

复数加法次数为次

第五章   数字滤波器的基本结构

1.用直接I型及典范型结构实现以下系统函数

分析：注意系统函数H(z)分母的  项的系数应该化简为1。

分母的系数取负号，即为反馈链的系数。

解：

    ∵

    ∴， 

        ， ， 

2.用级联型结构实现以下系统函数 

  试问一共能构成几种级联型网络。

分析：用二阶基本节的级联来表达（某些节可能是一阶的）。

解： 

∴ 

由此可得：采用二阶节实现，还考虑分子分母组合成二阶（一阶）基本节的方式，则有四种实现形式。

4．用横截型结构实现以下系统函数： 

分析：FIR滤波器的横截型又称横向型，也就是直接型。

7．设某FIR数字滤波器的系统函数为： 

试画出此滤波器的线性相位结构。

分析：FIR线性相位滤波器满足，即对呈现偶对称或奇对称，因而可简化结构。

解：由题中所给条件可知：由题中所给条件可知：

第六章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法

1.用冲激响应不变法将以下变换为  ，抽样周期为T

  分析：

冲激响应不变法满足，

T为抽样间隔。这种变换法必须先用部分分式展开。

第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式

,

，

可求出   ，

又  ，则可递推求解。

解: (1)

         由冲激响应不变法可得：

(2)先引用拉氏变换的结论

可得：  

3．设有一模拟滤波器  抽样周期T = 2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数。

分析：

双线性变换法将模拟系统函数的S平面和离散的系统函数的Z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为。

解：

由变换公式     及    可得：

T = 2时：    

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