1．设某产品的供给函数与需求函数皆为线性函数：

其中为商品单价，试推导满足什么条件使市场稳定。

解：设Pn表示t=n时的市场价格，由供求平衡可知：

                                               2分

即：                          

经递推有：                             6分

表示初始时的市场价格

若。               10分

2．某植物园的植物基因型为AA、Aa、aa，人们计划用AA型植物与每种基

因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？

依题意设未杂交时aa 、Aa、AA的分布分别为，杂交n代后分别为an  bn  cn (向为白分手)

由遗传学原理有：

                                 4分

设向量

式中                 

递推可得： 

对M矩阵进行相似对角化后可得：

其相似对角阵

从而

                          8分

当时，。                               10分

3．试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为什么？

解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为M，当前人口数量为N（t），r 为比例系数。建立模型：

                                        4分

求解得到

                        6分

注意到当时，并说明r即为自然增长率。     10分

4．1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT进一步杀死介壳虫。谁料，DDT同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。

解：依据题意，设介壳虫的数量为x(t)，澳洲瓢虫的数量为y(t),则有数模方程组：

（1）式中a b c f均大于零。             4分

解方程组（1）         

得：                

（3）                    

式（3）给出一族封闭曲线，显然x(t)、y(t)即为以下为周期（T>0）的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值

则有  

                                           6分

当使用杀虫剂DDT后，设杀死介壳虫，，澳洲瓢虫

则有模型为： 

显然此时有：  

即介壳虫的数量增加，澳洲瓢虫的数量反而减小。                 10分

5．根据水情资料， 某地汛期出现平水水情的概率为0.9, 出现高水水情的概

率为0.05，出现洪水水情的概率为0.05。位于江边的某工地对其大型施工设备拟定三个处置方案：

（1）运走，需支付运费15万元。

（2）修堤坝保护，需支付修坝费5万元。

（3）不作任何防范，不需任何支出。

若采用方案（1），那么无论出现任何水情都不会遭受损失；若采用方案（2），则仅当发生洪水时，因堤坝冲垮而损失400万元的设备；若采用方案（3），那么当出现平水水位时不遭受损失，发生高水水位时损失部分设备而损失200万元，发生洪水时损失设备400万元。根据上述条件，选择最佳决策方案。

解：我们利用数学期望来评判方案的优劣：

            运走                                   -15

                            不发生洪水0.95          -5           

A  -15  修坝  B  

                        发生洪水0.05               -405

                        平水0.9                    0

              C         高水0.05                -200

                         洪水0.05                -400

E(A)=-15                                               （2分）

E(B)=0.95×(-5)+0.05×（-405）= -25                           （5分）

E(C)=0×0.75+(-200)×0.05+0.05×(-400)=-30                    （8分）

所以-E(A)< -E(B)< -E(C)，因而A方案是最佳决策方案。          （10分）

6．某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10,15,25,20台同一规格的

柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果生产出的柴油机当季不交货，每台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元，建立一个数学模型（不要求求解），要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。

                      （3分）

又由生产能力的要求，有

                        （6分）

再设表示第季度生产的用于第季度交货的每台柴油机的实际成本，其值如下表：

                          （10分）

7．考虑某地区影响青年生长发育主要因素分析。已知13岁至18岁各年龄组

的四项指标为——生长发育不良的比率；——五项身体素质不及格的比率；——营养不良比率；——患病比率，数据见下表：

解：

（1）进行初始化处理

      （2分）

同理得到

及，                                                              （5分）

（2）利用公式

计算各个关联系数：

                   （8分）       

（3）计算关联度

利用公式得到

，， 

从而即五项身体素质不及格的比率对生长发育不良的比率影响最大。（10分）下载本文