《数学模型》作业解答
第二章(1)（2008年9月16日）
1．学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：
（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者;
（2）. §1中的Q值方法；
（3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：
| 1 2 3 4 5 | |
| A B C | 235 117.5 78.3 58.75 … 333 166.5 111 83.25 … 432 216 144 108 86.4 |
如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.
解：先考虑N=10的分配方案，
方法一（按比例分配）
分配结果为：
方法二（Q值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
第10个席位：计算Q值为
最大，第10个席位应给C.分配结果为
方法三（d’Hondt方法）
此方法的分配结果为：
此方法的道理是：记和为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A、B、C宿舍）.是每席位代表的人数，取从而得到的中选较大者，可使对所有的尽量接近.
再考虑的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：
| 宿舍 | （1） （2） （3） | （1） （2） （3） |
| A B C | 3 2 2 3 3 3 4 5 5 | 4 4 3 5 5 5 6 6 7 |
| 总计 | 10 10 10 | 15 15 15 |
解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑到时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得两边积分，得
《数学模型》作业解答
第二章(2)（2008年10月9日）
15．速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车获得的功率与、S、的关系.
解: 设、、S、的关系为， 其量纲表达式为:
[P]=, []=,[]=,[]=,这里是基本量纲.
量纲矩阵为：
A=
齐次线性方程组为：
它的基本解为
由量纲定理得 ， ， 其中是无量纲常数.
16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.
解：设,,, 的关系为,,,=0.其量纲表达式为[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组Ay=0 ，即
的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)
由量纲定理 得 . ，其中是无量纲常数.
16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.
解：设,,,， 的关系为.其量纲表达式为
[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T0 ，[]=LM0T-2
其中L，M，T是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组Ay=0 即
的基本解为
得到两个相互的无量纲量
即 . 由 , 得
, 其中是未定函数.
20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.
解：设阻尼摆周期,摆长, 质量,重力加速度，阻力系数的关系为
其量纲表达式为：
， 其中，是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组
的基本解为
得到两个相互的无量纲量
∴, ,
∴ ，其中是未定函数 .
考虑物理模拟的比例模型，设和不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为,；,;,. 又
当无量纲量时， 就有 .
《数学模型》作业解答
第三章1（2008年10月14日）
1.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
解：设购买单位重量货物的费用为,其它假设及符号约定同课本．
对于不允许缺货模型，每天平均费用为：
令 ， 解得
由 ， 得
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．
对于允许缺货模型，每天平均费用为：
令 ， 得到驻点：
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．
2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数，销售速率为常数，．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形.设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论和的情况.
解：由题意可得贮存量的图形如下：
O
贮存费为
又
, 贮存费变为
于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为
.
, 得
易得函数取得最小值，即最优周期为：
. 相当于不考虑生产的情况.
. 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.
第三章2（2008年10月16日）
3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度与开始救火时的火势有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.
解：考虑灭火速度与火势有关，可知火势越大，灭火速度将减小，我们作如下假设: ，
分母而加的.
总费用函数
最优解为
5．在考虑最优价格问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本随时间增长，设，.又设单位时间的销售量为.今将销售期分为两段，每段的价格固定，记作.求的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T内的总售量为，再求的最优值.
解：按分段价格，单位时间内的销售量为
又 .于是总利润为
=
=
, 得到最优价格为:
在销售期T内的总销量为
于是得到如下极值问题：
利用拉格朗日乘数法，解得：
即为的最优值.
第三章3（2008年10月21日）
6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？
解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费＝2500（元）;
每天每吨角钢的贮存费＝0.18（元）.又现在的订货周期T＝30（天）
根据不允许缺货的贮存模型：
得：
令 ， 解得：
由实际意义知：当（即订货周期为）时，总费用将最小.
又＝300＋100k
=353．33＋100k
－＝（353.33＋100k）－（300＋100k）＝53．33.
故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T=，能节约费用约53．33元.
《数学模型》作业解答
第四章（2008年10月28日）
1.某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用原料1千克, 原料5千克；一件乙产品用原料2千克, 原料4千克.现有原料20千克, 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？
解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S
则此问题的数学模型为：
max S=20x+30y
s.t.
这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解
可行域为：由直线：x+2y=20, :5x+4y＝70
y
以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.
直线：20x+30y=c在可行域内
平行移动.
易知：当过与的交点时， x
S取最大值.
由 解得
此时 ＝20＝350（元）
2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
| 货物 | 体积 （立方米/箱） | 重量 （百斤/箱） | 利润 （百元/箱） |
| 甲 | 5 | 2 | 20 |
| 乙 | 4 | 5 | 10 |
解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为,,所获利润为则问题的数学模型可表示为
这是一个整线性规划问题.
用图解法求解.
可行域为：由直线
及组成
直线 在此凸四边形区域内平行移动.
易知：当过与的交点时，取最大值
由 解得
.
3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.
解：设安排生产甲型微波炉件,乙型微波炉件,相应的利润为S.
则此问题的数学模型为：
max S=3x +2y
s.t.
这是一个整线性规划问题
用图解法进行求解
可行域为：由直线：2x+3y=100, :4x+2y＝120
及x=6,y=12组成的凸四边形区域.
直线：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当过与的交点时, S取最大值.
由 解得
.
＝3＝100.
《数学模型》作业解答
第五章1（2008年11月12日）
1.对于5.1节传染病的模型，证明：
（1）若，然后减少并趋于零；单调减少至
（2）
解：传染病的模型（14）可写成
（1）
（2）
4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为
初始兵力相同.
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
(2) 若甲方在战斗开始后有后备以不变的速率增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
解:用表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
现求(1)的解: (1)的系数矩阵为
.
再由初始条件，得
又由
其解为
(1)
即乙方取胜时的剩余兵力数为
又令
注意到.
(2) 若甲方在战斗开始后有后备以不变的速率增援.则
相轨线为
此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为
第五章2（2008年11月14日）
6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.
解: 设给药速率为
(1)快速静脉注射: 设给药量为 则
(2)恒速静脉滴注(持续时间为): 设滴注速率为解得
(3) 口服或肌肉注射:
3种情况下的血药浓度曲线如下：
t
第五章3（2008年11月18日）
8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,
(1) 设
求
(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到处的情况下，进入人体毒物量的区别.
解
，
(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为
只吸到处就扔掉的情况下的毒物量为
4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为
初始兵力相同.
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
(2) 若甲方在战斗开始后有后备以不变的速率增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
解:用表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
现求(1)的解: (1)的系数矩阵为
.
再由初始条件，得
又由
其解为
(1)
即乙方取胜时的剩余兵力数为
又令
注意到.
(2) 若甲方在战斗开始后有后备以不变的速率增援.则
相轨线为
此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为
《数学模型》作业解答
第六章（2008年11月20日）
1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．
(1)分别就，，这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．
(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．
解：设时刻t的渔场中鱼的数量为，则由题设条件知：变化规律的数学模型为
记
(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：
由，得 ．
即
，
(1)的解为：
①当，，(1)无实根，此时无平衡点；
②当，，(1)有两个相等的实根，平衡点为.
， 不能断定其稳定性.
但 及 均有 ，即．不稳定；
③当，时，得到两个平衡点：
，
易知： ， ， ，
平衡点不稳定，平衡点稳定
(2)最大持续产量的数学模型为
即 ，
易得 此时 ，
但这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量，且尽量接近，但不能等于．
2.与Logistic模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz模型：．其中r和N的意义与Logistic模型相同．
设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量及获得最大产量的捕捞强度和渔场鱼量水平．
解：变化规律的数学模型为
记
① 令，得 ，．
平衡点为 . 又，．
平衡点是稳定的，而平衡点不稳定.
0
②最大持续产量的数学模型为：
由前面的结果可得
，令
得最大产量的捕捞强度．从而得到最大持续产量，此时渔场鱼量水平．
3．设某渔场鱼量(时刻渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：
其中为固有增长率,为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数.
1．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;
2．试确定捕捞强度,使渔场单位时间内具有最大持续产量,求此时渔场鱼量水平.
解：1．变化规律的数学模型为
记,令 ，即 ----（1） ， （1）的解为：
① 当时，（1）无实根，此时无平衡点；
② 当时，（1）有两个相等的实根，平衡点为.
， 不能断定其稳定性.
但 及 均有 ，即不稳定；
③ 当时，得到两个平衡点：
，
易知 ， ，
平衡点不稳定 ，平衡点稳定.
2．最大持续产量的数学模型为：
即 ， 易得 此时 ，但这个平衡点不稳定.
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量,且尽量接近,但不能等于.
《数学模型》第七章作业
（2008年12月4日）
1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：
（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第时段的价格由第和第时段的数量和决定，如果仍设仍只取决于，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.
2．已知某商品在时段的数量和价格分别为和，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
3． 已知某商品在时段的数量和价格分别为和，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
《数学模型》作业解答
第七章（2008年12月4日）
2．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：
（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第时段的价格由第和第时段的数量和决定，如果仍设仍只取决于，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.
（2）若除了由和决定之外，也由前两个时段的价格和确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.
解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：
在点附近用直线来近似曲线，得到
由（2）得
（1）代入（3）得
对应齐次方程的特征方程为
特征根为
当时，则有特征根在单位圆外，设，则
即平衡稳定的条件为与的结果一致.
（2）此时需求函数、供应函数在处附近的直线近似表达式分别为：
由（5）得，
将（4）代入（6），得
对应齐次方程的特征方程为
代数方程（7）无正实根，且不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为，则
对（7）作变换： 则
其中
用卡丹公式：
其中
求出，从而得到，于是得到所有特征根的条件.
2．已知某商品在时段的数量和价格分别为和，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
解：已知商品的需求函数和供应函数分别为和.
设曲线和相交于点，在点附近可以用直线来近似表示曲线和：
----------------------（1）
--------------------（2）
从上述两式中消去可得
， -----------（3）
上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.
为了寻求点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：
容易算出其特征根为
---------------（4）
当8时，显然有
-----------（5）
从而 2，在单位圆外．下面设，由(5)式可以算出
要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 ．
故点稳定平衡条件为 ．
3． 已知某商品在时段的数量和价格分别为和，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
解：已知商品的需求函数和供应函数分别为和.
设曲线和相交于点，在点附近可以用直线来近似表示曲线和：
--------------------（1）
--- ----------------（2）
由（2）得 --------------------（3）
（1）代入（3），可得
， --------------（4）
上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.
为了寻求点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：
容易算出其特征根为
---------------（4）
当8时，显然有
-----------（5）
从而 2，在单位圆外．下面设，由(5)式可以算出
要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 ．
故点稳定平衡条件为 ．
《数学模型》作业解答
第八章（2008年12月9日）
1．证明8.1节层次分析模型中定义的阶一致阵有下列性质：
（1） 的秩为1，唯一非零特征根为；
（2） 的任一列向量都是对应于的特征向量.
证明： （1）由一致阵的定义知：满足
，
于是对于任意两列，有，.即列与列对应分量成比例.
从而对作初等行变换可得：
B
这里.，从而秩
再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵，使，于是
C
易知C的特征根为（只有一个非零特征根）.
又～，与C有相同的特征根，从而A的非零特征根为，又对于任意矩阵有.故A的唯一非零特征根为.
（2）对于A的任一列向量，
有
的任一列向量都是对应于的特征向量.
7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.
5
解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton图.其一个有向Hamilton圈为3.所以此竞赛图是双向连通的.
等都是完全路径.
此竞赛图的邻接矩阵为
令，各级得分向量为
， ，
，
由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.
注：给5位网球选手排名次也可由计算A的最大特征根和对应特征向量得到：
，
数学模型作业（12月16日）解答
1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.
越海方案的最优经济效益
解：目标层
建筑就 业
岸间商 业
当地商业
收入
省时
准则层
修隧道
建桥梁
设渡轮
方案层
2.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？
答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.
3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次？试给出一致性指标的定义以及n阶正负反阵A为一致阵的充要条件.
答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次； 一致性指标的定义为：．n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为：A的最大特征根=n．
《数学模型》作业解答
第九章（2008年12月18日）
1．在节传送带效率模型中,设工人数固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．
解：两种情况的钩子数均为．第一种办法是个位置，单钩放置个钩子；第二种办法是个位置，成对放置个钩子．
① 由节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为
当较小，时，有
，
② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：
对于个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的个钩对．
任一只钩对被一名工人接触到的概率是；
任一只钩对不被一名工人接触到的概率是；
记．由工人生产的性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空的概率为，其空钩的数为；任一钩对上只挂上１件产品的概率为，其空钩数为．所以一个周期内通过的个钩子中，空钩的平均数为
于是带走产品的平均数是 ，
未带走产品的平均数是 ）
此时传送带效率公式为
③ 近似效率公式：
由于
当时，并令，则
④ 两种办法的比较：
由上知：，
，当时，， ．
所以第二种办法比第一种办法好．
《数学模型》作业解答
第九章（2008年12月23日）
一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数是一随机变量，其概率分布如下表：
| 售出报纸数（百份） | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 概率 | 0．05 | 0.1 | 0.25 | 0.35 | 0.15 | 0.1 |
解：设每天订购百份纸，则收益函数为
收益的期望值为G(n) = +
现分别求出 =时的收益期望值.
G(0)=0；G(1)=×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45;
G(2)= ();
G(3)=()
G(4)=() G(5)=
当报童每天订300份时，收益的期望值最大.
数模复习资料
第一章
1.原型与模型
原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型, 按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.
模型
2. 数学模型
对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型. 例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式来描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.或又如描述人口随时间自由增长过程的微分方程.
3. 数学建模
所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对于现实世界的某一特定系统或特定问题,为了一个特定的目的,运用数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善.
数学建模过程流程图为：
| 实际问题 | 抽象、简化、假设 确定变量、参数 | 归结 数学模型 | 数学地、数值地 求解模型 估计参数 |
| 检验模型 (用实例或有关知识) | 符合否？ | 是 | 评价、推广并交付使用 产生经济、社会效益 |
依次为：模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用
5.数学模型的分类
数学模型可以按照不同的方式分类,常见的有：
a. 按模型的应用领域分类 数学模型
b. 按建模的数学方法分类
数学模型
c. 按建模目的来分类 数学模型
d.层次分析法的基本步骤：1.建立层次结构模型2.构造成对比较阵3.计算权向量并作一致性检验4.计算组合权向量并作组合一致性检验
e.n阶正互反正A是一致阵的充要条件为A的最大特征值为n
f.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法：幂法、和法、根法
4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.
解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB与CD的对称轴为轴，用中心点的转角表示椅子的位置.将相邻两脚A、B与地面距离之和记为;C、D与地面距离之和记为.并旋转.于是，设就得到.
数学模型：设是上的非负连续函数.若,有,且,则,使.
模型求解:令 .就有 .再由的连续性,得到是一个连续函数. 从而是上的连续函数.由连续函数的介值定理：,使.即,使.
又因为,有.故.
9．（1）某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿.
次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经
过路径中的同一地点.为什么？
（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者
进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是支球队比赛呢？
解：（1）方法一：以时间为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程为纵坐标，
第一天的行程可用曲线（）表示 ，第二天的行程可用曲线（）表示，（）（）是连续曲线必有交点,
两天都在时刻经过地点. x
d
方法二：设想有两个人， ()
一人上山，一人下山，同一天同
时出发，沿同一路径,必定相遇. ()
t
早8 晚5
方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为(即t时刻走的路程为),同样设从山顶到山下旅店的路函数为,并设山下旅店到山顶的距离为(>0).由题意知：,,.令,则有，，由于,都是时间t的连续函数,因此也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,,使,即.
（2）36场比赛，因为除冠外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. 队需赛场，若，则需赛轮.
2．已知某商品在时段的数量和价格分别为和，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为和.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.
解：已知商品的需求函数和供应函数分别为和.
设曲线和相交于点，在点附近可以用直线来近似表示曲线和：
--------------------（1）
--- ----------------（2）
由（2）得 --------------------（3）
（1）代入（3），可得
， --------------（4）
上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.
为了寻求点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：
容易算出其特征根为
---------------（5）
当8时，显然有
-----------（6）
从而 2，在单位圆外．下面设，由(5)式可以算出
要使特征根均在单位圆内，即 ，必须 ．
故点稳定平衡条件为 ．
3．设某渔场鱼量(时刻渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：
其中为固有增长率,为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数.
（1）．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;
（2）．试确定捕捞强度,使渔场单位时间内具有最大持续产量,并求此时渔场鱼量水平.
解：（1）.变化规律的数学模型为
记,令 ，即 ----（1） ， （1）的解为：
1当时，（1）无实根，此时无平衡点；
②当时，（1）有两个相等的实根，平衡点为.
， 不能断定其稳定性.
但 及 均有 ，即不稳定；
③ 当时，得到两个平衡点：
，
易知 ， ，
平衡点不稳定 ，平衡点稳定.
（2）．最大持续产量的数学模型为：
即 ， 易得 此时 ，但这个平衡点不稳定.
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量,且尽量接近,但不能等于.
5．某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原材料、能源消耗、劳动力及所获利润如下表所示：
| 品种 | 原材料 | 能源消耗(百元) | 劳动力(人) | 利润(千元) |
| 甲 | 2 | 1 | 4 | 4 |
| 乙 | 3 | 6 | 2 | 5 |
解：设安排生产甲产品件，乙产品件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为
模型的求解：
用图解法.可行域为：由直线
组成的凸五边形区域.
直线在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当过的交点时，S取最大值. 由 解得：
（千元）.
故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元.
6. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
| 货物 | 体积 （立方米/箱） | 重量 （百斤/箱） | 利润 （百元/箱） |
| 甲 | 5 | 2 | 20 |
| 乙 | 4 | 5 | 10 |
解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为,,所获利润为则问题的数学模型可表示为
这是一个整线性规划问题.
用图解法求解.
可行域为：由直线
及组成
直线 在此凸四边形区域内平行移动.
易知：当过与的交点时，取最大值
由 解得
.
7.深水中的波速与波长、水深、水的密度和重力加速度有关，试用量纲分析方法给出波速的表达式.
解：设,,,， 的关系为=0.其量纲表达式为[]=LM0T-1，[]=LM0T0，[]=LM0T0，[]=L-3MT0， []=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲. ---------4分
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组Ay=0 ，即
的基本解为= =
由量纲定理 得
∴, ,
，其中是未定函数 .
第二章(2)（2008年10月9日
15．速度为的风吹在迎风面积为的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车获得的功率与、S、的关系.
解: 设、、S、的关系为， 其量纲表达式为:
[P]=, []=,[]=,[]=,这里是基本量纲.
量纲矩阵为：
A=
齐次线性方程组为：
它的基本解为
由量纲定理得 ， ， 其中是无量纲常数.
16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.
解：设,,, 的关系为,,,=0.其量纲表达式为[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T-2,其中L，M，T是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组Ay=0 ，即
的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)
由量纲定理 得 . ，其中是无量纲常数.
16．雨滴的速度与空气密度、粘滞系数、特征尺寸和重力加速度有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度的表达式.
解：设,,,， 的关系为.其量纲表达式为
[]=LM0T-1，[]=L-3MT0，[]=MLT-2（LT-1L-1）-1L-2=MLL-2T-2T=L-1MT-1，[]=LM0T0 ，[]=LM0T-2
其中L，M，T是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组Ay=0 即
的基本解为
得到两个相互的无量纲量
即 . 由 , 得
, 其中是未定函数.
20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期.
解：设阻尼摆周期,摆长, 质量,重力加速度，阻力系数的关系为
其量纲表达式为：
， 其中，，是基本量纲.
量纲矩阵为
A=
齐次线性方程组
的基本解为
得到两个相互的无量纲量
∴, ,
∴ ，其中是未定函数 .
考虑物理模拟的比例模型，设和不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为,；,;,. 又
当无量纲量时， 就有 .
第三章1（2008年10月14日）
2.在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
解：设购买单位重量货物的费用为,其它假设及符号约定同课本．
对于不允许缺货模型，每天平均费用为：
令 ， 解得
由 ， 得
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．
对于允许缺货模型，每天平均费用为：
令 ， 得到驻点：
与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．
2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数，销售速率为常数，．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一段时间只销售不生产，画出贮存量的图形.设每次生产准备费为，单位时间每件产品贮存费为，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论和的情况.
解：由题意可得贮存量的图形如下：
O
贮存费为
又
, 贮存费变为
于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为
.
, 得
易得函数取得最小值，即最优周期为：
. 相当于不考虑生产的情况.
. 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.
第四章（2008年10月28日）
2.某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用原料1千克, 原料5千克；一件乙产品用原料2千克, 原料4千克.现有原料20千克, 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？
解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S
则此问题的数学模型为：
max S=20x+30y
s.t.
这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解
可行域为：由直线：x+2y=20, :5x+4y＝70
y
以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.
直线：20x+30y=c在可行域内
平行移动.
易知：当过与的交点时， x
S取最大值.
由 解得
此时 ＝20＝350（元）
2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：
| 货物 | 体积 （立方米/箱） | 重量 （百斤/箱） | 利润 （百元/箱） |
| 甲 | 5 | 2 | 20 |
| 乙 | 4 | 5 | 10 |
解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为,,所获利润为则问题的数学模型可表示为
这是一个整线性规划问题.
用图解法求解.
可行域为：由直线
及组成
直线 在此凸四边形区域内平行移动.
易知：当过与的交点时，取最大值
由 解得
.
3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.
解：设安排生产甲型微波炉件,乙型微波炉件,相应的利润为S.
则此问题的数学模型为： max S=3x +2y
s.t.
这是一个整线性规划问题
用图解法进行求解
可行域为：由直线：2x+3y=100, :4x+2y＝120
及x=6,y=12组成的凸四边形区域.
直线：3x+2y=c在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当过与的交点时, S取最大值.
由 解得
.
＝3＝100.
第五章2（2008年11月14日）
6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.
解: 设给药速率为
(1)快速静脉注射: 设给药量为 则
(2)恒速静脉滴注(持续时间为): 设滴注速率为解得
(3) 口服或肌肉注射:
3种情况下的血药浓度曲线如下：
t
4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为
初始兵力相同.
(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.
(2) 若甲方在战斗开始后有后备以不变的速率增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.
解:用表示甲、乙交战双方时刻t的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:
现求(1)的解: (1)的系数矩阵为
.
再由初始条件，得
又由
其解为
(1)
即乙方取胜时的剩余兵力数为
又令
注意到.
(2) 若甲方在战斗开始后有后备以不变的速率增援.则
相轨线为
此相轨线比书图11中的轨线上移了乙方取胜的条件为
第六章（2008年11月20日）
1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic规律，而单位时间捕捞量为常数h．
(1)分别就，，这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．
(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．
解：设时刻t的渔场中鱼的数量为，则由题设条件知：变化规律的数学模型为
记
(1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性：
由，得 ．
即
，
(1)的解为：
①当，，(1)无实根，此时无平衡点；
②当，，(1)有两个相等的实根，平衡点为.
， 不能断定其稳定性.
但 及 均有 ，即．不稳定；
③当，时，得到两个平衡点：
，
易知： ， ， ，
平衡点不稳定，平衡点稳定
(2)最大持续产量的数学模型为
即 ，
易得 此时 ，
但这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．
要获得最大持续产量，应使渔场鱼量，且尽量接近，但不能等于．
第八章（2008年12月9日）
1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.
越海方案的最优经济效益
解：目标层
建筑就 业
岸间商 业
当地商业
收入
省时
准则层
修隧道
建桥梁
设渡轮
方案层
2.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？
答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.
3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次？试给出一致性指标的定义以及n阶正负反阵A为一致阵的充要条件.
答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次； 一致性指标的定义为：．n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为：A的最大特征根=n．
7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.
5
解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton图.其一个有向Hamilton圈为3.所以此竞赛图是双向连通的.
等都是完全路径.
此竞赛图的邻接矩阵为
令，各级得分向量为
， ，
，
由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.
第九章（2008年12月23日）
一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数是一随机变量，其概率分布如下表：
| 售出报纸数（百份） | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 概率 | 0．05 | 0.1 | 0.25 | 0.35 | 0.15 | 0.1 |
解：设每天订购百份纸，则收益函数为:
收益的期望值为G(n) = +
现分别求出 =时的收益期望值.
G(0)=0；G(1)=×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45;
G(2)= ();
G(3)=()
G(4)=() G(5)=
当报童每天订300份时，收益的期望值最大.
《数学模型》作业解答
第一章（2008年9月9日）
4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.
解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB与CD的对称轴为轴，用中心点的转角表示椅子的位置.将相邻两脚A、B与地面距离之和记为;C、D与地面距离之和记为.并旋转.于是，设就得到.
数学模型：设是上的非负连续函数.若,有,且,则,使.
模型求解:令 .就有 .再由的连续性,得到是一个连续函数. 从而是上的连续函数.由连续函数的介值定理：,使.即,使.
又因为,有.故.
8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻的人口为,单位时间内人口的增量与成正比（其中为最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较.
解：现考察某地区的人口数，记时刻的人口数为（一般是很大的整数）,且设为连续可微函数.又设.任给时刻及时间增量,因为单位时间内人口增长量与成正比, 假设其比例系数为常数.则到内人口的增量为：
.
两边除以,并令,得到
解为
如图实线所示，
指数模型
当充分大时
它与Logistic模型相近.
Logistic模型
o t
9．为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面
或反面思考.试尽可能迅速回答下面问题：
（1）某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿.
次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经
过路径中的同一地点.为什么？
（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者
进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是支球队比赛呢？
（3）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻
不一定相同.甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约10天到达乙站.问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？
（4）某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的
妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭早一班火车于5：30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子象往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常
提前了10分钟.问他步行了多长时间？
（5）一男孩和一女孩分别在离家2 km和1 km且方向相反的两所学校上学，每天
同时放学后分别以4 km/h和2 km/h的速度步行回家.一小狗以6 km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程？
如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处？
解：（1）方法一：以时间为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程为纵坐标，
第一天的行程可用曲线（）表示 ，第二天的行程可用曲线（）表示，（）（）是连续曲线必有交点,
两天都在时刻经过地点. x
d
方法二：设想有两个人， ()
一人上山，一人下山，同一天同
时出发，沿同一路径,必定相遇. ()
t
早8 晚5
方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为(即t时刻走的路程为),同样设从山顶到山下旅店的路函数为,并设山下旅店到山顶的距离为(>0).由题意知：,,.令,则有，，由于,都是时间t的连续函数,因此也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,,使,即.
（2）36场比赛，因为除冠外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. 队需赛场，若，则需赛轮.
（3）不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是8：00，8：10，8：20，……
那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是8：09，8：19，8：29……
（4）步行了25分钟.设想他的妻子驾车遇到他后，先带他前往车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车多跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻应该是5：55.
（5）放学时小狗奔跑了3 km.孩子上学到学校时小狗的位置不定（可在任何位置），因为设想放学时小狗在任何位置开始跑，都会与孩子同时到家.之所以出现位置不定的结果，是由于上学时小狗初始跑动的那一瞬间，方向无法确定.
10. 某人第一天上午9：00从甲地出发，于下午6：00到达乙地.第二天上午9：00他又从乙地出发按原路返回，下午6：00回到甲地.试说明途中存在一点，此人在两天中同一时间到达该处.若第二天此人是下午4：00回到甲地，结论将如何？
答：（方法一）我们以甲地为始点记路程,设从甲地到乙地的路程函数为(即t时刻走的路程为),同样设从乙地到甲地的路函数为,并设甲地到乙地的距离为(>0).由题意知：,,. 令
,则有，
由于,都是时间t的连续函数,因此也是时间t的连续函数,由连续函数的介值定理,,使,即. 若第二天此人是下午4：00回到甲地,则结论仍然正确,这是因为，.
（方法二）此题可以不用建模的方法,而变换角度考虑：设想有两个人，一人从甲地到乙地,另一人从乙地到甲地,同一天同时出发,沿同一路径,必定相遇.若第二天此人是下午4：00回到甲地,则结论仍然正确.
