一、选择题（共10题）
1. 已知函数 ，则“，使 ”是“”的
．充分不必要条件 ．必要不充分条件
．充分必要条件 ．既不充分又不必要条件
2. 集合 ， 是 的一个子集．当 时，若有 且 ，则称 为集合 的一个“孤立元素”，那么 中无孤立元素的四元子集的个数是
． ． ． ．
3. 设 ，则“”是“”的
．充分而不必要条件 ．必要而不充分条件
．充要条件 ．既不充分也不必要条件
4. 已知集合 ，，且 ，则 满足
． ． ． ．
5. 函数 的值域是
． ． ． ．
6. 如图 为全集，，， 是 的子集，则图中的阴影部分所示的集合是
． ．
． ．
7. 已知 ，函数 与 在同一点处取得相同的最小值，那么 在 上的最大值是
． ． ． ．
8. 已知 ：“，”，：“（，且 ）的图象不经过第一象限”，则 是 的
．充分不必要条件 ．必要不充分条件
．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件
9. 已知实数 ，， 满足 ，那么“”是“”成立的
．充分不必要条件 ．必要不充分条件
．充分必要条件 ．既不充分也不必要条件
10. 设 为全集，，， 是 的三个非空子集且 ，则下面论断正确的是
． ．
． ．
二、填空题（共6题）
11. 设命题 ：实数 满足 ，其中 ；命题 ：实数 满足 ，且 是 的必要非充分条件，则实数 的取值范围是 ．
12. 已知 ，，若 ，则实数 的取值范围是 ．
13. 若集合 中只有一个元素，则实数 的取值范围是 ．
14. 已知集合 ，如果 ，那么实数 的取值集合为 ．
15. 已知集合 ，集合 ，若“”是“”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ；若“”是“”的必要不充分条件，则实数 的取值范围是 ．
16. 已知 ： 或 ，： 或 ．若 是 的必要条件，则实数 的取值范围为 ．
三、解答题（共6题）
17. 已知集合 ，，．
(1) 求 ，；
(2) 若 ，求实数 的取值范围．
18. 设全集 ，集合 ，．
(1) 当 时，求 ，．
(2) 若 ，求 的取值范围．
19. 已知命题 ：实数 满足 ，命题 ：实数 满足 ．
(1) 若 ，且 与 均为真命题，求实数 的取值范围．
(2) 若 ，且 为 的充分不必要条件，求实数 的取值范围，
20. 设集合 ，．
(1) 若 ，求实数 的取值范围．
(2) 若 ，求实数 的取值范围．
21. 已知数集 具有性质 ；对任意的 ， 与 两数中至少有一个属于 ．
(1) 分别判断数集 与 是否具有性质 ，并说明理由；
(2) 证明：，且 ；
(3) 证明：当 时，．
22. 已知 ，非空集合 ．
(1) 若 是 的必要条件，求 的取值范围．
(2) 是否存在实数 ，使 是 的充要条件．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】B
【解析】 ，开口向上，要满足“，使 ”成立，
只需保证 ，此时，，即 ，而“”是“”的必要不充分条件．
【知识点】充分条件与必要条件
2. 【答案】C
【解析】由题意可知，一个集合中由相邻数字构成的元素都不是“孤立元素”，例如 ， 在 中无“孤立元素”的四元子集可分为两类：第一类是子集中的四个元素为相邻的四个数字，有 ，， 三个；第二类是子集中的四个元素为两组，每一组的两个元素为相邻的两个数字，有 ，， 三个共有 个．
【知识点】包含关系、子集与真子集
3. 【答案】A
【解析】不等式 的解集为 ，
由 可以推出 反之不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件．
故选A．
【知识点】充分条件与必要条件
4. 【答案】A
【解析】 ，则由 ，得 ．
【知识点】交、并、补集运算
5. 【答案】B
【知识点】函数的值域的概念与求法
6. 【答案】A
【知识点】集合基本运算的Venn图示
7. 【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值
8. 【答案】A
【知识点】充分条件与必要条件
9. 【答案】A
【解析】因为实数 ，， 满足 ，
若“”，则 ，“”成立；
若“”，则 ，但“”不一定成立．
故“”是“”成立的充分不必要条件．
【知识点】充分条件与必要条件
10. 【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算
二、填空题（共6题）
11. 【答案】
【知识点】充分条件与必要条件
12. 【答案】
【解析】因为 ，，且 ，
所以 解得 ，即 ．
【知识点】交、并、补集运算
13. 【答案】
【解析】由 得： 且 ，
因为 图象关于 对称，
所以当整数解为 时， 解得：，
当整数解为 时， 无解．
综上所述：．
【知识点】元素和集合的关系
14. 【答案】
【解析】因为 ，
所以 或 ，即 或 ．
当 时，，符合题意；
当 时，，符合题意；
当 时，，不满足集合中元素的互异性，舍去．
所以 的取值集合为 ．
【知识点】元素和集合的关系
15. 【答案】 ；
【解析】根据题意，集合 ，其几何意义为如图正方形 及其内部区域，集合 ，其几何意义为圆 的圆周及其内部区域，
而圆 的圆心为 ，半径 ，
若“”是“”的充分不必要条件，则正方形 在圆 的内部，必有 ，此时 的取值范围为 ；
若“”是“”的必要不充分条件，则圆 在正方形 的内部，必有 ，
此时 的取值范围为 ．
【知识点】充分条件与必要条件
16. 【答案】
【解析】因为 ： 或 ，所以 ．
因为 是 的必要条件，所以 ，
所以 解得 ．
【知识点】充分条件与必要条件
三、解答题（共6题）
17. 【答案】
(1) 因为 ，，
所以 ．
又 ，
所以 ．
(2) 若 ，则需 或 ，解得 或 ．
所以实数 的取值范围为 ．
【知识点】交、并、补集运算
18. 【答案】
( 时，，
因为 ，
所以 ，．
(2) 由（）知 ，
① 时，，则 ；
② 时，，
若 ，则 即 ；
③ 时，，
若 ，则 即 ，
综上所述， 的取值范围是 ．
【知识点】交、并、补集运算
19. 【答案】
(1) 若 ，则命题 ，解得：，
因为 与 为真命题，且 ，
所以 ，
故 范围为 ．
(2) 若 ，则 ，则命题 为 ，
因为 ，，
所以 且等号不能同时成立，
解得：，经验证合题，
所以 的范围是 ．
【知识点】复合命题的概念与真假判断、充分条件与必要条件
20. 【答案】
(，，
若 ，则 ，得 即 ．
(2) 若 ，得 或 ，即 或 ．
【知识点】交、并、补集运算
21. 【答案】
( 不具有； 具有．
(2) 因为 具有性质 ，
所以 与 中至少有一个属于 ，
由于 ，
所以 ，
故 ，从而 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
故 ，
由 具有性质 可知 ，
又因为 ，
所以 ，，，，
从而 ，
所以 ．
(3) 由（）知，当 时，有 ，，即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
由 具有性质 可知 ，
由 ，得 ，且 ，
所以 ，
所以 ．
【知识点】元素和集合的关系
22. 【答案】
(1) 若 是 的必要条件，则 是 的充分条件；
所以 ，
即
解得 ，
所以 的取值范围是 ．
( 是 的充分条件时，，
所以
解得 ，
由（）知， 是 的必要条件时，，
由此知 是 的充要条件时， 的值不存在．
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