已知：。

求：零输入响应、零状态响应和全响应。

【解】：(1) 求零输入响应

在零输入情况下，。此时微分方程为齐次方程，其特征根为：。零输入响应可写为

由初始条件确定待定系数和。

故零输入响应为：                    

(2) 求零状态响应

零状态响应是假设系统的初始状态为零，仅由激励引起的响应。于是有

但是，有可能不为零。就零状态响应本身而言，它包含齐次解和特解。此题的零状态响应可写为

先求式中的特解。因为激励信号为（可以认为激励信号为常数），设特解为

   或写为   

将及代入原微分方程中，在时，有

因此，式可该写为

式中的待定系数由确定，而的值由系统的状态从到的跳变量决定。根据微分方程及激励信号列写冲激平衡阵列如下（方程右边的冲激函数为：2(t)）：

y''(t)：2(t)     y''(t)：    2(t)

3y'(t)：     y'(t)：    2(t)

2y(t)：       y(t)：

由此可看出，的值从到有跳变，跳变量为2。由于此跳变完全是由激励引起的，所以，。的值从到无跳变，所以，。

利用和式，可得

将求得的值代入式中，得  

(3) 求全响应

因为，所以

2.  已知某系统的微分方程为  

试求其冲激响应。[答案：]

【解】：                       

为确定待定系数，需要两个起始条件。

根据微分方程及激励信号列写冲激平衡阵列如下（方程右边的冲激函数为：：）

y''(t)：3‘(t)-13(t)         y''(t)：    3‘(t) - 13(t)    

5 y'(t)：15(t)     y'(t)：    3(t) - 13(t)

6 y(t)：       y(t)：  3(t) 

由此可看出，的值从到有跳变，跳变量为-13，所以。的值从到跳变量为3，所以。

利用和式，可得

将求得的值代入式中，得

或写为                 

3.  设描述系统的微分方程为： 

试求此系统的冲激响应。[答案：]

【解】：                       

利用冲激平衡法，求 

y''(t)：‘(t)-2(t)         y''(t)：    ‘(t) - 2(t)    

4 y'(t)：4(t)     y'(t)：    (t) - 2(t)

3 y(t)：       y(t)： (t) 

由此可看出，的值从到的跳变量为-2，所以；的值从到跳变量为1，所以。

利用和式，可得

将求得的值代入式中，得  

4.  设描述系统的微分方程为：，

试求其阶跃响应g(t)。

【解】：根据微分方程可求得特征根为：。因为激励，所以，可设特解为：。将代入方程中，得：

所以 

为确定待定系数，需要两个起始条件。

将代入原方程中，此时零状态响应是，原方程可改写为：

根据方程两边冲激平衡的原则，可判断出在有跳变，且跳变量是1，所以，；在无跳变，所以，。

根据式及、，可得：

故                  

或写为：            

也可以先求出冲激响应，再利用冲激响应与阶跃响应之间的关系求解

 因为                    

所以

或写为           

5.  (1) 已知某系统的阶跃响应为，求此系统的冲激响应。

(2) 已知某系统的冲激响应为，求此系统的阶跃响应。

【解】：(1) 根据冲激响应与阶跃响应的关系，既有

所以，可得

(2) 根据阶跃响应与冲激响应的关系，既

所以，可得  

6. 已知某连续系统的冲激响应，激励信号，求系统的零状态响应。

【解】：因为，所以

7. 求在下列情况下系统的零状态响应。

(1)，； (2)， 

【解】：因为  

（1）   

（2）   

8.  某系统的单位冲激响应为，已知激励信号，求零状态响应。

【解】：因为  

所以

9.  在下图所示的系统中，已知两个子系统的冲激响应分别为，。试求整个系统的冲激响应。

【解】：根据题图，有

所以

提示：直通通路的冲激响应为。下载本文