一．结论开放型

例1  关于函数f（x）＝4 sin（2 x＋）（xR），下列命题：

① 由f（x1）＝f（x2）＝0可得x1－x2 必为  的整数倍；

② y＝f（x）的表达式可改写为y＝4 cos（2 x－）；

③ y＝f（x）的图象关于（－，0）对称；

④ y＝f（x）的图象关于直线x＝－对称．

其中正确的命题的序号是______________．（注：把你认为正确的命题的序号都填上．）

【分析】处理本题时没有捷径可走，只能一一分析．

对于①，利用sin  ＝0 ＝k  （kZ）求解；

对于②，要考察sin（2 x＋）能否变为cos（2 x－），可选用能“变名”的诱导公式（如“－ ”等）进行试验；

对于③、④，注意一般的结论：y＝A·sin（ x＋ ）或y＝A cos（ x＋  ）的函数图象与x 轴交点就是其对称中心，过图象的最高点或最低点且与x 轴垂直的直线就是图象的对称轴．

【解答】检验①，由f（x1）＝0，得2 x1＋＝k1 ，

所以x1＝－．

同理由f（x2）＝0，得x2＝－，（其中k1，k2 Z）．所以x1－x2＝· ，

而不能保证是整数，因此①不正确．

检验②，f（x）＝4 sin（2 x＋）＝4 cos[－（2 x＋）]＝4 cos（－2 x）＝4 cos（2 x－），

故②正确．

检验③，由sin（2 x＋）＝0，得2 x＋＝k  （k Z），x＝－，

取k＝0得x＝－，

所以f（x）图象与x 轴的一个交点为（－，0），即f（x）图象关于（－，0）成中心对称，因此③正确．

检验④，由③正确可知④错误．

【点评】本题主要考查三角函数图象的对称性和诱导公式等．此类多选填空题对基础知识的准确性、系统性要求较要．

二．是否存在型。

例2. 已知，问是否存在，使得等式成立？并说明理由。

解：假设存在u使得等式成立，则将两边平方得： 

整理得： 

因为， 

所以，而，左右显然矛盾。

所以不存在满足，使得等式成立。

例3. 是否存在角α、β，其中，使得两个等式同时成立，若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由。

解：假设存在α、β满足已知两个等式，则已知条件化为： 

得：即

因为，所以或

（1）当时，由（2）得： 

当注意到时，解得： 

（2）当时，由（2）得： 

当注意到时，解得： 

综上知，存在或，，使得两个等式同时成立。

三．图象信息型。

例4（1）、（2002上海）函数的大致图象是----------------------（     ）

π

y                  y                  y                  y   

π                                    π                 π

-π         

       o  π  x     -π   o  π  x    -π    o  π  x    -π    o  π  x

-π                                   -π               -π

       (A)                (B)                 (C)                (D)

（2）、（2002北京）已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么不等式的解集是---------------------------------------------------（     ）

(A)               y

(B) 

(C)                  0    1   2    3   x

(D) 

（3）、函数y=－x·cosx的部分图象是(    )

答案：

（1）、C     （2）、B. 

（3）解析：函数y=－xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x∈(0,)时，y＜0.

答案：D

四．新定义型

例5．设函数f (x)的图象与直线x =a，x =b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，已知函数y＝sinnx在[0，]上的面积为（n∈N*），（i）y＝sin3x在[0,]上的面积为　　　；（ii）y＝sin（3x－π）＋1在[，]上的面积为　　   　.

 [答案]： 

[解析]：本题是一道很好的理性思维信息开放性定义型题，能很好地考查学生分析思维能力.

    由题意得： 

    为一个半周期结合图象分析其面积为.

五．图象的凹凸型。

例6如图12所示，半径为2的⊙Ｍ切直线ＡＢ于Ｏ，射线ＯＣ从ＯＡ出发绕着Ｏ点顺时针旋转到ＯＢ．旋转过程中，ＯＣ交⊙Ｍ于Ｐ．记∠ＰＭＯ为ｘ、弓形ＰｎＯ的面积为Ｓ=ｆ（ｘ），那么ｆ（ｘ）的图象是图13中的（　　）．

图12                                   图13

解：易得弓形ＰｎＯ的面积为Ｓ=2（ｘ-ｓｉｎｘ）．由于ｙ１＝ｘ是直线，每当ｘ增加一个单位增量Δｘ，ｙ１的对应增量Δｙ不变；而ｙ２＝ｓｉｎｘ是正弦曲线，在［0，π］上是凸的，在［π，2π］上是凹的，故每当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，ｙ２对应的增量Δｙｉ（ｉ=1，2，3，…）在［0，π］上越来越小，在［π，2π］上是越来越大，故当ｘ增加一个单位增量Δｘ时，对应的Ｓ的变化，开始时在ｘ∈［0，π］上其增量ΔＳｉ（ｉ＝1，2，3，…）越来越大，经过ＯＣ⊥ＡＢ后，即在ｘ∈［π，2π］上，则越来越小，故Ｓ关于ｘ的函数图象，开始时在［0，π］上是凹的，后来在［π，2π］上是凸的，故选Ａ．

A          B          C         D 

分析：

六．知识迁移型

例8、已知x,2y∈，a∈R,且求cos(x+2y)的值。

5分析与解：此题直接求解困难较大。但观察式子（1），（2）可得变形： x3+sinx=2a,(2y)3+sin2y=-2a,由这式子使我们联想到函数f(v)=v3+sinv

 由（1）得，f(x)=2a; 由（2）得，f(2y)=-2a;由f(v)在上，为单调的奇函数。故f(x)=-f(2y)=f(-2y),又x,2y∈,∴x=-2y,∴x+2y=o,从而cos(x+2y)=0。下载本文