杭州高级中学2015届高考模拟
数学（理科）试题卷
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若函数，，则“”是“”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2．若椭圆C1：与双曲线C2：的四个交点，恰好是一个正方形的四个顶点，则双曲线C2的离心率是 ( )
A. B. C. D.
3．已知某锥体的正视图和侧视图如图1， 其体积为，则该锥体的俯视图可以是 ( )
图1
A. B. C. D.
4．设函数图象的一条对称轴方程是 （ ）
A． B． C． D．
5．已知数列的通项，，若，则实数可能等于 （ )
A． B． C． D．
6．已知异面直线成角，为空间中一点，则过与都成角的平面 （ ）
A．有且只有一个 B．有且只有两个 C．有且只有三个 D．有且只有四个
7．若过点作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于( )
A． B． C． D．
8．设二次函数在上至少有一个零点，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分）
9．已知，且，则 ， ， ．
10．设是椭圆上的一点， 是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 ．
11．已知函数为偶函数，且其最小值为，则 ， ．
12．已知向量的夹角为，，向量，的夹角为，，则与的夹角正弦值为 ， ．
13．数列（），则数列中的最大项为______________．
14．已知，，若恒成立，则的取值范围是 ．
15．已知线段是半径为的球的直径，两点在球的球面上，，，，则四面体的体积的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分15分）在△ABC中，分别是角A，B，C的对边，且满足．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值．
17．（本题满分15分）如图，已知矩形是圆柱的轴截面，在上底面的圆周上，相交于点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）已知圆锥和圆锥的侧面展开图恰好拼成一个半径为的圆，直线与平面所成角的正切值为，求的度数．
18．（本题满分15分）设函数，且，
（Ⅰ）就的取值情况，讨论关于的方程在上的解；
（Ⅱ）若可变动的实数满足，求的最小值．
19．（本小题满分15分）已知是抛物线上的一点，以点和点为直径的圆交直线于两点．直线与平行，且直线交抛物线于两点．
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程．
20．（本题满分14分）设数列定义为，，．
（Ⅰ）证明：存在正实数，使得成等差数列；
（Ⅱ）求实数的取值范围，使得当时，．
2015年杭州高级中学高三月考数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若函数，，则“”是“”的 ( A )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C．充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2．若椭圆C1：与双曲线C2：的四个交点，恰好是一个正方形的四个顶点，则双曲线C2的离心率是 ( C )
A. B. C. D.
3．已知某锥体的正视图和侧视图如图1，
其体积为，则该锥体的俯视图可以是
图1
A. B. C. D.
3．C
4．设函数图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
4．D
5．已知数列的通项，，若，则实数可能等于（ )．
A． B． C． D．
答案：C .
则，所以
，经检验只有符合题意。
6．已知异面直线成角，为空间中一点，则过与都成角的平面（ ）
A．有且只有一个 B．有且只有两个
C．有且只有三个 D．有且只有四个
6．B
7． 若过点作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于 ( C )．
A． B． C． D．
答案：C.
解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为，面积为过的直线的倾斜角为。
当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，
，
此时正方形的面积。
同理，当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，；当过点的直线为正方形的对边所在的直线时，.
8．设二次函数在上至少有一个零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
解法1 由已知得，设为二次函数在上的零点，则有，变形
，
于是，因为是减函数，上述式子在时取等号，故的最小值为。
解法2 把等式看成关于的直线方程，利用直线上一点（）到原点的距离大于原点到直线的距离，即（以下同上）。
二、填空题（本大题共7小题，第9-12题每题6分，第13-15题每题4分，共36分）
9．已知，且，则 ， ， ．
9．，， 提示：，所以，
，，故，
10．设是椭圆上的一点， 是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 ．
10．
11．已知函数为偶函数，且其最小值为，则
； ．
11． 提示：为偶函数，，可得，
，则可得
，由图像得
12． 已知向量的夹角为，，向量，的夹角为，，则与的夹角正弦值为 ， ．
12．，或
13． 数列（），则数列中最大项的值为______________。
13． 提示：，得，
数列中最大项的值为
14．已知，，若恒成立，则的取值范围是 ．
14．A 提示：设，则，
所以直线过定点，
要使恒成立，则定点在区域内，
所有，解得
15．已知线段是半径为的球的直径，两点在球的球面上，，，，则四面体的体积的取值范围是 ．
15． 提示：过作平面交于点，则，
因为，所以
三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分15分）在△ABC中，分别是角A，B，C的对边，且满足，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值；
16．解：（Ⅰ）由得
则
所以……………6分
（Ⅱ）由得
即
得
与联立得 则
所以
…………15分
17．（本题满分15分）如图，已知矩形是圆柱的轴截面，在上底面的圆周上，相交于点．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）已知圆锥和圆锥的侧面展开图恰好拼成一个半径为的圆，直线与平面所成角的正切值为，求的度数
17．（Ⅰ）证明：∵N在圆上，∴DN⊥NC，又∵ DA⊥平面DNC，NC平面DNC
∴ NC⊥DA，∴ NC⊥平面AND， 又 NC平面ANC ，∴ 平面ADN⊥平面ACN
（Ⅱ）设圆锥底面半径为，则，∴
∴，，
∵ AD//BC，∴ AD与平面ANC所成角的正切值也为
过D作DH⊥AN于H，∵ 平面ADN⊥平面ANC，∴ DH⊥平面ANC
∴DAH为AD与平面ANC所成的角，∴
∴ DN＝，∴
∴
（建系做参照评分）
18．（本题满分15分）设函数，且，
（Ⅰ）就的取值情况，讨论关于的方程在上的解；
（Ⅱ）若可变动的实数满足，求的最小值．
18．（Ⅰ）由得
若是方程的解，则，此时方程为，解为或
若是方程的解，则，此时方程为，解为或
设，
若方程在上有唯一解，
则或得，此时方程的解为
若方程在上有两解，
则则解得
此时方程的解为.....................7分
（Ⅱ）由得
得
所以，得，
所以
故当时，取最小值......................15分
19．（本小题满分15分）已知是抛物线上的一点，以点和点为直径的圆交直线于两点。直线与平行，且直线交抛物线于两点。
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程。
19． (Ⅰ)设，圆方程为
令，得
………6分
(Ⅱ)设直线的方程为，则
得
，
因为，所以，则
所以，解得或………9分
当或，点到直线距离为………10分
由题意，圆心到直线距离等于到直线的距离
所以，………12分
而，消去得
方程左边关于递增，观察得………13分
此时，直线方程为………14分
综上，直线方程为或。………15分
20．（本题满分14分）设数列定义为，，．
（Ⅰ）证明：存在正实数，使得成等差数列；
（Ⅱ）求实数的取值范围，使得当时，．
20．（Ⅰ），，
当成等差数列时，，即，
当时，有，则
设，则，
在上有零点
所以存在正实数，使得成等差数列
（Ⅱ）由题意，有
则，显然
所以，
当时
，
因为当时，
所以解得
下面证明当时，对任意整数，有
所以，
故当时，数列递减
因此
即当时，对任意整数，有下载本文
