一、摘要
针对输的布置问题，本文利用解析几何的方法，分别建立了有共用管及没有共用管的数学模型，利用数学软件Mathematica求出相应最省费用。
问题一，我们分三种情况分别对共用管（设其单价为万元/千米）和非共用管（设其单价为万元/千米）给出管线的方案及相应费用：(1)没有共用管。我们将问题转化为“求直线一侧两点到该直线某一点（车站)的距离之和最短”的原理，建立数学模型一，得到最优的布置方案：车站的坐标为(,)，最省费用为： (2)有共用管但=。通过建立模型二，我们对函数求偏导数，讨论得出:当时采用共用管，其最省费用为：万元；否则不用共用管，用模型一求解。(3)有共用管。设，通过证明我们可以得出1 问题三与问题二解法类似，而且共用管不会建设在城区。通过建立模型可得出共用管线和非共用管线的交点为（6.37,0.14），城区管线与郊区管线的交点坐标为（15,7.28）时，管线布置的最省费用为252.32万元。 关键词：输费用 最值 偏导数 附加费 二、问题重述 某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。 1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。 2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估算结果如下表所示： 3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。 三、问题分析 问题一分析： 要使管线建设费用最省，只需考虑输送线路最短，我们对问题分了三种情况讨论：（1）没有共用管线，此时只要求出两炼油厂分别到车站距离之和最小即可，（2）有共用管线，且共用管线的费用和非共用管线的价格相同，这时和（1）的情况相同，都是属于路线的最短问题；（3）有共用管线，但共用管线和非共用管线的费用不同，此时我们应该把铺设费用考虑进去。在现实问题中，目标函数在定义内必有最大值或最小值，若目标函数是可导的，且在定义域内只有一个驻点，即可断定这个驻点也是最值点。 问题二分析： 因存在拆迁和工程补偿费等附加费用，而三家工程咨询公司资质与估算结果存在差异问题，我们进行了相关资料[5]的查询，对具有甲级资质和乙资质的工程咨询公司的可信度分别设为0.9、0.7，从而得出了在城区管线的附加费用。通过建立平面直角坐标系，我们可以计算出各个点之间的距离。然后建立总的数学模型，通过求函数的最小值。最后得出管线布置的方案与相应的费用。 问题三分析： 问题三是在问题二的模型的基础上调整的，从而得出管线的布置方案及费用。 四、模型假设 （1）将两炼油厂和车站看作平面上的一个点； （2）地面是平坦的； （3）输是以直线铺设的，不用绕过任何障碍物； （4）铁路是一条水平的直线； （5）管线的单价在短期时间不会变更。 五、符号说明 A: A炼油厂的位置； B: B炼油厂的位置； E: 车站的位置； P: 输分叉点； CD: 铁路线； : A炼油厂到铁路的距离； : B炼油厂到铁路的距离； : A炼油厂到郊区与城区分界线的水平距离； : A炼油厂到B炼油厂的水平距离； : 输分叉点分别到炼油厂A、B和车站之间的距离之和； : 具有甲级资质工程咨询公司的可信度； : 具有乙资质的工程咨询公司的可信度; : 共用管的单价； : 非共用管的单价； : 输送A厂的成品油的管道的单价； : 输送B厂的成品油的管道的单价； q : 附加费用； Q：总费用。 六、模型建立与求解 问题一的数学模型： 模型一： 当没有共用管时，利用拓扑原理把输的路线布置如图(一)所示，AEB即为输的布置路线。以C点为原点，CD所在直线为x轴，CA所在直线为y轴，建立直角坐标系如图（一）所示,则A（0，），B（，） 作出B点关于直线CD对称点（，） 易见△≌△，所以,那么,又因为三点在同一条直线上，所以最短，即最短。因此要使得两炼油厂分别到车站的距离之和的最小，可将车站选址在E点处，如图(一)所示： 两点之间的距离就是最短距离， 即 （1） 因此管线最小总费用为： 由△∽△, 有： 所以 故车站的位置坐标为(,)，此时管线所需费用最少为：万元。 模型二： 当有共用管线，且共用管线的费用和非共用管线的费用相同时，这时求出共用管线和非共用管线的交点分别到炼油厂A、B和车站之间的距离之和最短即可。此时输的布置如图(二)所示，AP、PE、PB即为输的布置路线。建立直角坐标系如图（二）所示。 记点A（0，），B（，）； 设输交叉点P（x,y）,则E（x,0） 由图（二）可知，求共用管线和非共用管线的交点分别到A、B炼油厂和车站E的总管线费用最小这一问题，即为求++最小的问题。 所以管线总长度表达式为： （2） 对函数求偏导得： 令， ，联立方程组，解得： （3） 由于函数的定义域为 所以 （4） 解不等式（4），可得 因此要建立共用管道的，两炼油厂的水平距离必须满足 （a）当的范围满足时，采用建立共用管道方案， 此时把（3）代进（2）解得输线的总长度为： = 所以管线最小总费用为（万元） （b）当的范围不满足时，不必要建立共用管道，此时可采用模型一求解。 因此当有共用管道，且共用的价格和非共用管道的价格相同时，只有确定共用管道与非共用管道的交点为（，），同时两炼油厂的水平距离必须满足，这样布置管道路线才会使得管线总费用最小，其最小值为万元 模型三： 当有共用管，并且共用管与非共用管的费用不同即时，我们在求出各个点之间距离的基础上，乘上它们相对应的管线费用，求出此函数的最小值即可。 所以整个输的总费用为： （5） 求其最小值，对函数求偏导数，可得： 令 ， 联立方程组，解得： （6） 由定义域，可求得： （a）当k=1时，即是共用管道与非共用管道的费用相同，那么就回到模型二了； （b）当k>2时，即共用管道的费用是非共用管道的两倍，这样还不如直接采用 非共用管道； （c）当k<1时，这时采用共用管道作为输道，根本没必要用共用管道 因此要建立共用管道，两炼油厂的水平距离不仅要满足，共用管道的单价与非共用管道的单价的比例还要满足1 把（6）代入（5）式用数学软件Mathematica解得， 总费用为（万元） 因此当有共用管道，且非共用管道与共用管道的价格不同，同时两炼油厂的水平距离满足，共用管道的单价与非共用管道的单价的比例满足1 所有管线的铺设费用相同，但铺设在城区的管线需要加收附加费。根据费用最省的原则，我们尽量减少在城区铺设管线，设计了如图（三）所示的管道路线AP、PE、PF、FB。建立如图（三）所示的平面直角坐标系。 其中a=5千米，b=8千米，CD==20千米，c=15千米，因此分别得出各点的坐标，,，， 先对于附加费用进行估计，由于聘请的三间公司资质不同，估算值不同，为此采用构造模糊隶属函数的量化方法。假设具有甲级资质的咨询公司的可信度为m，具有乙级资质的咨询公司的可信度为n。 根据期望公式可得， 附加费用为： = 由相关资料[5]，假设具有甲级资质和乙资质的工程咨询公司的可信度分别为0.9、0.7，得出 需要加收的附加费为： (万元) （1）如果建立共用管线 管道AP、PF、FB的总费用为： (7) 求其最小值，对函数求偏导数，得： （8） 当时 分别令，联立方程组，用数学软件解得， 把代进（7）解得， （万元） （2）如果不建立共用管时，管道总费用为： (9) 对函数求偏导，得 当时 分别令，联立方程组，用数学软件解得， 把代进（9），解得 （万元） 因为<,所以选择有共用管道的设计方案，同时也验证了模型二的讨论。 因此当共用管与非共用管的交点与A厂的水平距离为5.45千米，到铁路的距离为1.85千米，输与郊区和城区分界线的交点到铁路的距离为7.37千米，这样布置管道线是最优的。按照这布置可求得管线的总费用为283.25万元。 问题三的数学模型： 由于输送A厂、B厂成品油的管线铺设费与公用管的费用各不相同，而附加费与问题二的相同，因此只要把问题二的数学模型改进即可。 （1）如果建立共用管道时，总管道费用函数表达式为： （10） 求其最小值，对函数求偏导数，得： = =+ （11） = 当,时 分别令=0， =0， =0联立方程组，解得： 因此总管线的费用为： (万元) （2）如果没有建立共用管道时，总管道费用的函数表达式： 同理，解得此时的总费用为252.53万元大于252.32万元，所以选择有建设共用管的方案，同时也验证了模型三的讨论。 因此，当共用管与非共用管的交点与A厂的水平距离为6.37千米，到铁路的距离为0.14千米，输线与郊区和城区分界线的交点到铁路的距离为7.28千米，这样布置管道线是最优的。按照这布置可求得管线的总费用为252.56万元。 七、模型评价与改进 模型的优点： 1、本模型将管线费用最省这一问题转化为求目标函数的最值问题，简单易解，图示直观。 2、本模型通用性较强。 3、在确定备选方案时，本模型先粗后精、逐步逼近，从而使得出最优方案的速度大为加快。 4、利用拓扑原理把管道铺设的原理图化为几何图形。 5、通过对不同方案的数据分析，使模型更加完美。 模型的缺点： 1、由于原题提供的信息较少，所以本模型对许多因素的衡量都比较简单，这样并不是很全面、精确。关于这一点，我们将在模型的改进中作进一步讨论。 2、模型中忽略了很多实际中的因素，在实际的运用中会存在一定的误差； 模型的改进方向： 为了使模型更加全面，模型的建立还可以进一步考虑各项技术指标和经济条件等因素影响下的求解，如：①管道的最佳工艺方案；②LpR 3BP@At ③工程的主要设备材料及其来源；③PRz/i_nru- ③ A__BUST f< 要进行实地踏勘，了解沿线的地貌，选定一条或多条线路等。 这些因素都对建设管线的费用具有一定的影响，现实生活中我们是不能忽略的。 八、模型推广与应用 我们的模型为解决费用的最值问题建立了一个很好的解决方案，他可应用于最短路线的选择，例如：如何在不同区域之间开发道路，使道路的施工收益最大等这一系列问题中。如果对模型进行适当的改进，还可以直接用于诸如运输公司之间的道路选择，能源的输送等一系列的现实问题中。运用这个模型，不仅能够为人类节省大量的时间与精力，它还可以给人们带来极为可观的经济效益。下载本文
请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。工程咨询公司 公司一 公司二 公司三 附加费用（万元/千米） 21 24 20
