一、单选题
1．若M ，N 是U 的非空子集，M N M ⋂=，则（）
A ．M N ⊆
B ．N M ⊆
C ．U M N
=ðD ．U N M
=ð【正确答案】A
【分析】根据集合的交集结果可得集合的包含关系即可一一判断.【详解】因为M N M ⋂=，所以M N ⊆，A 正确，B 错误；因为M ，N 是U 的非空子集，所以U M N ≠ð，U N M ≠ð，C,D 错误，故选:A.
2．已知12i z =-，且a z
a z
+⋅为实数，则实数=a （）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
【正确答案】A
【分析】先通过复数运算化简复数，然后根据复数为实数的条件建立a 的方程求解【详解】因为12i 32(2)i
(12i)5a z a a a a z a a
++---+==⋅+为实数，所以2a =-.故选：A
3．石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具.如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个直径为60cm 的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为100cm ，碾滚最外侧正上方为点A ，若人推动拉杆绕碾盘转动一周，则点A 距碾盘的垂直距离约为（
）
A ．15cm
B ．cm
C ．(30-cm
D ．45cm
【正确答案】A
【分析】根据题意求出人推动拉杆绕碾盘转动一周，点A 所转过的角度进而确定点A 所在位置，利用角度和半径即可求出点A 到碾盘的垂直距离.
【详解】由题意碾滚最外侧滚过的距离为2100cm 200cm ππ⨯=，碾滚的周长为230cm 60cm ππ⨯=，所以碾滚滚过
20010
603
ππ=圈，即滚过了1036033601203⨯︒=⨯︒+︒，所以点A 距
碾盘的垂直距离为()3030cos 18012015cm -⨯︒-︒=.故选：A.
4．在ABC 中，60B O ︒=，是ABC 的外心，若2OB =，则AO AC ∙=
（
）
A ．
3
2
B ．3
C ．6
D ．【正确答案】C
【分析】取AC 中点H ，连接OH ，由已知及正弦定理可求OAH ∠，AC ，再根据平面向量的数量积运算求解即可．
【详解】如图，取AC 中点H ，连接OH ，
则OH AC ⊥，60AOH B ︒∠==，所以30OAH ︒∠=，在ABC 中，60B ︒=，2r OB ==，由正弦定理得2sin AC
r B
=，
所以2sin 22AC r B ==⨯=
所以cos 26AO AC AO AC OAH =∠=⨯= ，
故选：C ．
5．已知正实数,x y 满足12
1x y
+=，则22xy x y --的最小值为（）A ．2
B ．4
C ．8
D ．9
【正确答案】C
【分析】化简已知式可得222xy x y x y --=+，因为()()12212x y x y x y ⎛⎫
+⋅=++ ⎪⎝⎭
，由基本不等式
求解即可.
【详解】()()122221222xy x y xy x y xy x y
x y ⎛⎫
--=⋅-+=⋅+-+ ⎪⎝⎭=2422y x x y x y +-+=+，
而()(
)1242124428x y x y x y x y y x ⎛⎫+⋅=++=+
+≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4121x y
y x x y
⎧=⎪⎪
⎨⎪+=⎪⎩，即2,4x y ==取等.
故选：C.
6．“m =0是“直线()12110mx m l y +-+=：与直线()22110l mx m y +--=：之间的距离为2”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据平行线间的距离公式可得0m =或4
5
m =，进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.
【详解】两条平行线间的距离
2d =
=，即2540m m -=，解得0m =或45
m =，
即“0m =”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件.故选：A.
7．已知点F 是抛物线2:2(0)M y px p =>的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线分别与拋物线交于点,A B 和,C D ，且2AF BF AB =，则四边形ACBD 面积的最小值为（）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
【正确答案】B
【分析】首先根据焦半径公式表示条件，再利用直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示条件，可求得p ，再利用弦长公式表示四边形的面积，利用基本不等式求最值.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
12p AF x =+，22
p
BF x =+，12AB x x p =++，
所以1212222p p x x x x p ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，即()2
12121222p x x p x x x x p +++=++，①
设直线AB :2p y k x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，联立抛物线方程22y px =，
得()
22222
204
k p k x pk p x -++=，得1222p x x p k +=+，2124p x x =
，②，将②代入①得，1p =所以222222p AB p k k
=+
=+，因为直线AB 与CD 垂足，则22
2222CD p pk k =+=+，则四边形ACBD 面积()2211222222S AB CD k k ⎛⎫
=
=++ ⎪⎝⎭2211424228k k k k ⎛⎫
=++≥+⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭
，当1k =±时，等号成立，
所以四边形ACBD 面积的最小值是8.
故选：B 8．设
a =
，31
sin 460b =
，61ln 60
c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）
A ．c a b <<
B ．c b a <<
C ．b <<【正确答案】C 【分析】构造函数()ln(1)si 3 n 4f x x x =+-，求导确定单调区间，得到c b >，再构造函数 ()ln(1)3 g x x = -+，求导确定单调区间得到a c >，得到答案.【详解】设()ln(1)si 3n 4f x x x =+-，1 03x <<，则13()cos 14f x x x '= -+，103x <<，31141x <<+，33cos 44x <，故()0f x '>，()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 故()(0)0f x f >=，当1 03x <<时，3ln(1)4 x x +>恒成立， 令110,603x ⎛⎫= ∈ ⎪⎝⎭，则6131 ln sin 60460 >，即c b >； 设()ln(1) g x x = -+，1040x << ，则1()1g x x '==+， 又22113)8x -=-+=-， 故1x - ⎛ ⎝ 上单调递减，111040x -+>+>，故()0g x '>，则函数()g x 在10,40⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，即()(0)0g x g >=， 故当1040x << ln(1)x >+恒成立， 令110,6040x ⎛⎫= ∈ ⎪⎝⎭ 61ln 60=，即a c >，综上所述.b 9．一批产品中有3个正品，2个次品.现从中任意取出2件产品，记事件A ：“2个产品中至少有一个正品”，事件B ：“2个产品中至少有一个次品”，事件C ：“2个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件A 与事件 B 为互斥事件B ．事件B 与事件 C 是相互事件C ．()()P AB P C = D ．()2 3 P C A = 【正确答案】CD 【分析】根据事件的相关概念可判断ABC ，计算出()P C A 可判断D.【详解】因为事件A 与事件B 可以同时发生，故A 错误； 事件B 包含事件C ，所以事件B 与事件C 不是相互事件，故B 错误；因为AB C =，所以()()P AB P C =，故C 正确； ()()()()()1132 2 5112 32325 C C C 2 C C C 3 C P AC P C P C A P A P A ====+，故 D 正确；故选：CD 10．在△ABC 中，已知a ＝2b ，且111 tan tan sin A B C +=，则（） A ．a ，c ，b 成等比数列 C = C ．若a ＝4，则ABC S =△ D ．A ，B ，C 成等差数列【正确答案】ABC 【分析】首先根据三角恒等变换，将已知条件化简得2c ab =，再结合条件2a b =，再依次判断选项即可得到答案.【详解】因为111 tan tan sin A B C +=，所以 ()sin cos cos sin cos cos sin sin 1 sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B B A B A C A B A B A B A B C +++==== ，即2sin sin sin C A B =，即2c ab =. 对选项A ，因为2c ab =，所以a 、c 、b 成等比数列，故A 正确； 对选项B ，因为2a b =，222c ab b ==，即c =，所以::2a b c = 即sin :sin :sin 2A B C =B 正确； 对选项C ，若4a =，则2b =，c = 则2 2 2 42cos 8 B +-= = ， 因为0πB <<，所以sin 8 B =. 故1428 ABC S = ⨯⨯=△，故C 正确.对选项D ，若A 、B 、C 成等差数列，则2B A C =+.又因为πA B C ++=，则π 3 B = . 因为::2a b c =2a k =，b k =，c =，0k >， 则() 2 2 2 21cos 82 k k B + -= = ≠，故D 错误. 故选：ABC 11．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足()1402n n n a S S n -+=≥，11 4 a =，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为() 141n a n n = +C ．数列{}n a 不是递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎩⎭ 为递增数列【正确答案】CD 【分析】确定()11402n n n n S S S S n ---+=≥得到1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 是首项为4，公差为4的等差数列，得到14n S n =即n a 的通项公式，再依次判断每个选项得到答案. 【详解】()1402n n n a S S n -+=≥，则()11402n n n n S S S S n ---+=≥，即()1 1142n n n S S --=≥，故1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 是首项为4，公差为4的等差数列，故14n n S =，即14n S n =，()()111144244441n n n a S S n n n n n -=-=-⨯ ⨯=-≥--，114a =.对选项A ：14n S n =，错误；对选项B ：()()1,1 41241n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩ ，错误；对选项C ：114a =，218 a =-，故数列{}n a 不是递增数列，正确；对选项D ： 14n n S =，故数列1n S ⎧⎫⎨⎩⎭ 为递增数列，正确；故选：CD.12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为线段1CC ，CD ，CB 上的动点（E ，F ，G 均不与点C 重合），则下列说法正确的是（ ） A ．存在点E ，F ，G ，使得1A E ⊥平面EFG B ．存在点E ，F ，G ，使得FEG EF C EGC π ∠+∠+∠=C ．当1A C ⊥平面EFG 时，三棱锥1A EFG -与C -EFG 体积之和的最大值为1 2 D ．记C E ，C F ，C G 与平面EFG 所成的角分别为α，β，γ，则222sin sin sin 1 αβγ++=【正确答案】ACD 【分析】以点D 为原点建立空间直角坐标系，设(](),,,,,0,1CF a CG b CE c a b c ===∈，对于A ，当BD FG 时，易证得1FG A E ⊥，则要使1A E ⊥平面EFG ，只需1A E EF ⊥即可，利用向量法即可得出结论；对于B ，要使FEG EFC EGC π∠+∠+∠=，只需要FEG FEC GEC ∠=∠+∠即可，判断FEG ∠和FEC GEC ∠+∠是否相等，即可；对于C ，根据1A C ⊥平面EFG ，可得,,a b c 的关系，由113A EFG C EF G G V V AC S --+=⋅ ，只要求出EFG S 的最大值即可；对于D ，利用等体积法求出C 到平 面EFG 的距离d ，分别求出sin ,sin ,sin αβγ，即可判断. 【详解】解：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，设(](),,,,,0,1CF a CG b CE c a b c ===∈，对于A ，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以1AA BD ⊥， 又因1,AC BD AC AA A ⊥⋂=， 所以BD ⊥平面11AAC C ， 又1A E ⊂平面11AAC C ，所以1BD A E ⊥， 当BD FG 时，1FG A E ⊥，此时CF CG =， 要使1A E ⊥平面EFG ，只需1A E EF ⊥即可， ()()()11,0,1,0,1,0,0,1,A F a E c -， 则()()11,1,1,0,,A E c EF a c =--=-- ， 则()1 10A E EF a c c ⋅=---= ，即2a c c =-，当14 a =时，12c =， 故存在点E ，F ，G ，使得1A E ⊥平面EFG ，故A 正确； 对于B ，,22 EFC FEC EGC GEC ππ∠=-∠∠=-∠，则FEG EFC EGC FEG FEC GEC π∠+∠+∠=+∠-∠-∠， 要使FEG EFC EGC π∠+∠+∠=， 只需要FEG FEC GEC ∠=∠+∠ 即可， EF EG === 2222222cos a c b c a b FEG +++-+∠ ， cos FEC GEC ∠= ∠= 则sin FEC GEC ∠=∠， 故()2cos FEC GEC ∠+∠=因为0ab >，所以()cos cos FEC GEC FEG ∠+∠≠∠， 所以FEG FEC GEC ∠≠∠+∠， 所以不存在点E ，F ，G ，使得FEG EFC EGC π∠+∠+∠=，故B 错误； 对于C ，因为 1A C ⊥平面EFG ， 所以1133 EFG EFG A EFG C EFG V V AC S S --+=⋅= ，()()()()()11,0,1,0,1,0,0,1,,,1,0,0,1,0A F a E c G b C -， 则()()()1,,0,,0,,1,1,1 FG b a EG b c A C ==-=-- ，则11 00A C FG b a A C EG b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，所以a b c ==，要使EFG S 最大，则 1a b c ===，此时EFG S = 所以体积之和的最大值为12，故C 正确； 对于D ，由B ， sin FEG ∠=， 则1sin 2EFG S EF EG FEG =⋅⋅⋅∠= 因为16 E FCG V abc -=，所以C 到平面EFG 的距离d 满足1136 EFG d S abc ⋅= ，所以 d =所以 sin CE α==， sin d CF β= sin d CG γ==，所以2222222 22222222 sin sin sin 1a b a c c b a b a c c b αβγ++++++==，故D 正确.故选：ACD. 三、填空题 13．已知一组样本数据12310,,x x x x ，且222212310185x x x x ++++=，平均数4x =，则该组数据 的方差s 2＝________； 【正确答案】2.5 【分析】利用平均数求得所有数据的和，代入方差公式中，结合已知可得方差. 【详解】由题意知1231041040x x x x +++=⨯= ， 又 2 s =222212310444410x x x x -+-+-++- （）（）（）（）= 2222123101231081610 10 x x x x x x x x ++++-++++⨯ =185840161010 -⨯+⨯=18.5-32+16=2.5.故答案为2.5. 本题考查了平均数与方差的定义及利用公式求值，考查了运算能力，属于基础题. 14．已知双曲线()2222:10x y C b a a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且倾斜角为4π的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若2//BF OA ，则C 的离心率为______. 【分析】首先根据题意，设出直线的方程，之后与双曲线的渐近线联立，分别求出A ，B 两点的坐标，之后根据题中条件2//BF OA ，得出A 是1F B 的中点，根据中点坐标公式，得出其坐标间的关系，借助双曲线中,,a b c 的关系，求得该双曲线的离心率. 【详解】设直线l 的方程为y x c =+，两条渐近线的方程分别为b y x a =-和b y x a =，分别联立方程组，求得(,),(,)ac bc ac bc A B a b a b b a b a -++--，由2//BF OA ，O 为12F F 的中点得A 是1F B 的中点，所以有2ac ac c b a a b -+=--+，整理得3b a =， 结合双曲线中,,a b c 的关系，可以的到c e a == 故答案为15．已知圆()()()222111:220C x y r r -+-=>，圆()()()22 2222:110,C x y r r +++=>圆1C 与圆2C 相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12rr 为_________.【正确答案】72 25 【分析】根据题意作出如下图形： 由圆方程求出圆心连线斜率为：1k =，计算出圆心距121232C C r r ==+，再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形12EC C 中列方程求得124r r =，联立方程即可求出1325 r =，2122r =【详解】根据题意作出如下图形： AB 为两圆的公切线，切点分别为A,B. 当公切线AB 与直线12C C 平行时，公切线AB 斜率不为7，即12r r ≠不妨设12 r r <过1C 作AB 的平行线交2AC 于点E ，则：221EC r r =-，1AB EC =且1//AB EC ()()221212212132C C r r =+++==+, 直线12C C 的斜率为：21 121 k += =+，所以直线AB 与直线12C C 的夹角正切为.173 tan 174 α-==+在直角三角形12EC C 中， 2134EC EC =，所以1214 3 EC r r =-，又2 2 2 1212EC EC C C +=,整理得：()()2 2221211243r r r r r r ⎛⎫ -+-=+ ⎪⎝⎭ ， 解得：124r r = ，又12r r =+ ，解得：15 r = ，25r =， 所以12rr = 725525 ⨯= .本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题． 16．已知函数()1 ln f x x m x x =--有三个零点，则实数m 的取值范围是______． 【正确答案】() 2,+∞【分析】求导得到导函数，构造21y x mx =-+，确定0∆>，排除2m <-的情况，确定函数的单调性，确定()10f =，()10f x >，()20f x <，根据零点存在定理得到答案. 【详解】()1ln f x x m x x =--，()0,x ∈+∞，()22211 1m x mx f x x x x -+'=+-=， 设21y x mx =-+，24m ∆=-， 当0∆≤时，210y x mx =-+≥恒成立，即()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，不满足；故0∆>，即m>2或2m <-， 当2m <-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立， ()f x 单调递增，不满足，故m>2， 现证明m>2时满足条件： 设方程的两个解为1x ，2x ，不妨取12x x <，1212 1 x x x x m =⎧⎨+=⎩，1201x x <<<， 当()10,x x ∈和()2,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数单调递增；当()12,x x x ∈时，()0f x '<，函数单调递减； ()10f =，故()10f x >，()20f x <， 当x 趋近0时，()f x 趋近-∞，当x 趋近+∞时，()f x 趋近+∞，故()f x 在()10,x 和()2,x +∞上分别有一个零点，满足条件.综上所述：实数m 的取值范围是()2,+∞.故答案为.() 2,+∞关键点睛：本题考查了利用导数解决函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据∆的大小分类讨论m 的取值范围是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要灵活掌握.四、解答题 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且114 a =，116 n n t a S +=+（*N ,n t ∈为常数）．(1)若数列{}n a 为等比数列，求t 的值； (2)若4t >-，1lg n n b a +=，数列{}n b 前n 项和为n T ，当且仅当6n =时n T 取最小值，求实数t 的取值范围． 【正确答案】(1)4t =(2) 15742 t <<-【分析】（1）先根据和项与通项关系求项之间递推关系，再根据等比数列定义确定21 2a a =，代入2a ， 解得t 的值； （2）结合（1）中结论，根据等比数列定义求得() 1 1 *1242 2N 16 n n n t a a n --++=⨯= ∈，从而得到数列{}n b 是等差数列，根据等差数列前n 项和取最小值等价于项60b <且70b >，代入得不等式，由此 解得实数t 的取值范围．【详解】（1）因为116 n n t a S +=+，所以当2n ≥时，116 n n t a S -=+ ，两式相减，得1n n n a a a +-=，则12n n a a +=， 因为数列{}n a 为等比数列，则公比为2，又114 a =，所以2112 2a a = =， 又2141616t t a S +=+=，所以41162 t +=，解得4t =，所以4t =. （2）由（1）得()122n n a a n +=≥，所以数列{}n a 是从第二项起，2416 t a +=，公比为2的等比数列，所以() 1 1 *1242 2N 16 n n n t a a n --++=⨯= ⋅∈，所以()1144lg lg 2lg 1lg 21616n n n t t b a n -+=++⎛⎫ =⋅=+- ⎪⎝⎭ ，故数列{}n b 是等差数列， 因为数列{}n b 前n 项和为n T ，当且仅当6n =时，n T 取最小值，所以60b <且70b >，即780,0lg lg a a <>，所以701a <<且81a >，所以56 44021,211616 t t ++<⋅<⋅>，即0821,11t t <+<+>，所以15742 t - <<-. 18．已知平面向量()cos ,sin a x x = ，() cos ,2sin b x x x =- ，记()f x a b =⋅ ， (1)对于π0,2x ⎡⎤ ∀∈⎢⎥⎣⎦ ，不等式()m f x n ≤≤（其中m ，R n ∈）恒成立，求m n -的最大值． (2)若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1f B =，a ，b ，c 成等比数列，求 11 tan tan A C +的值． 【正确答案】(1)32 - (2)3 【分析】（1）化简得到()π3sin 262f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，确定π1sin 2,162x ⎛ ⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝ ⎭⎣⎦得到12m ≤，2n ≥， 得到最值.（2）计算得到π 3B = ，确定2b ac =，化简得到11sin tan tan sin sin B A C A C +=，根据正弦定理结合等比 数列性质得到答案. 【详解】（1）()()() 22 cos ,2sin 2c s cos sin co os ,s n s i f x x x x x x x x x x ⋅=-=+1cos 2π3 1sin 2sin 22262x x x -⎛ ⎫=+ =-++ ⎪⎝ ⎭， π0,2x ⎡⎤ ∈⎢⎥⎣⎦，则ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()m f x n ≤≤恒成立，故1 2 m ≤ ，2n ≥，当2n =，12 m = 时，m n -有最大值为32-. （2）()1π3sin 262f B B ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭==，即π1sin 262B ⎛ ⎫+= ⎪⎝ ⎭， ()0,πB ∈，ππ13π2,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故π5π266 B +=，π 3B =，a ，b ，c 成等比数列，则2b ac =， ()sin 11cos cos sin cos cos sin sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C C A C A B A C A C A C A C A C +++=+===2 b a c === 19．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11B D 上动点． (1)证明：CP 平面1A BD ； (2)当直线BP 与平面11A BCD 所成的角正弦值为6 时，求点D 到平面1A BP 的距离．【正确答案】(1)证明见解析 【分析】（1）确定BD 平面11B CD ，1A B 平面11B CD 得到平面1A BD 平面11B CD ，得到证明.（2）建立空间直角坐标系，确定平面11A BCD 的一个法向量为()10,1,1n = ，得到1a =，再确定法向量，再根据距离的向量公式计算得到答案. 【详解】（1）11BD B D ∥，BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，故BD 平面11B CD ；同理可得：1A B 平面11B CD ； 1A B BD B ⋂=，且1,A B BD ⊂平面1A BD ，故平面1A BD 平面11B CD ； CP ⊂11B CD ，故CP 平面1A BD ； （2）如图所示：以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()12,0,2A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，设(),,2P a a ，[]0,2a ∈，()0,0,0D ，设平面11A BCD 的法向量为()1,,n m n p = ，则11120 220n CB m n A B n p ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ， 取1n =得到()10,1,1n = ，()2,2,2BP a a =-- ， BP 与平面11A BCD 所成的角正弦值为： 111cos ,n BP n BP n BP ⋅== ⋅ 1a =或3a =-（舍），设平面1A BP 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，则2121 2200n A B y z n A P x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取1y =得到()21,1,1= n ， 则点D 到平面1A BP 的距离2 2 3DB n d n ⋅== . 20．甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表： 次数 同学第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 甲807882869593—乙 76 81 80 85 96 94 (1)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；(2)从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X 表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X 的分布列及数学期望EX ； (3)从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y 表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望EY 与（2）中EX 的大小.（结论不要求证明）【正确答案】(1) 413 (2)X 的分布列为X 123 P 15 35 15 所以13110 ()12325555 E X =⨯+⨯+⨯= =.(3)()() E X E Y >【分析】（1）根据表格中的数据，代入古典概型的概率计算公式即可求解； （2）根据题意先求出所有X 的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解； （3）根据题意先求出所有Y 的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，计算出期望与（2）中期望即可求解； 【详解】（1）由题意可知：甲、乙两名同学共进行的13次测试中，测试成绩超过90分的共4次，由古典概型的概率计算公式可得4 13 P = ，所以从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率 413 P = .（2）由题意可知：从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，这4次测试成绩达到优秀的次数X 的可能取值为1，2，3， 则31 33 46C C 131(1)C 155 P X ⨯=== =；223346C C 333(2)C 155P X ⨯====；313346C C 131(3)C 155P X ⨯====，所以X 的分布列为X 123 P 153515 所以13110()12325555 E X =⨯+⨯+⨯==.（3）由题意可知：从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，这3次测试成绩达到优秀的次数Y 的可能取值为0，1，2，3， 则303437C C 111(0)C 3535P Y ⨯====；213437 C C 3412(1)C 3535P Y ⨯====；123437C C 3618(2)C 3535P Y ⨯====；033437C C 144(3)C 3535 P Y ⨯====；所以Y 的分布列为Y 0123P 135 12 351835435所以11218412()0123353535357E Y =⨯+⨯+⨯+⨯，()()E X E Y >. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b + =>>的一个焦点为1(1,0)F -，其左顶点为A ，上顶点为B ，且1F 到直线AB 的距离为||7 OB （O 为坐标原点）．(1)求C 的方程； (2)若椭圆2222:(01)x y E a b λλλ+=>≠且，则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆E 是椭圆C 的3倍相似椭圆，直线:l y kx m =+与椭圆C ，E 交于四点（依次为M ，N ，P ，Q ，如图），且2PQ NQ MQ += ，证明：点(,)T k m 在定曲线上． 【正确答案】(1)22 143 x y +=； (2)证明见解析. 【分析】（1）由已知条件推导出2227(1)a b a +=-，221b a =-，由此能求出椭圆C 的方程． （2）分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元，可证明线段NP 、MQ 中点相同，然后结合2PQ NQ MQ += 可得3MQ PN =，由此可证明. 【详解】（1）()(),0,0,A a B b - ， ∴直线AB 的方程为1x y a b +=-，即0bx ay ab -+=， 1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为 d = ，2227(1)a b a ∴+=-， 又221b a =-，解得2a =，b =∴椭圆C 的方程为：22143 x y +=．（2）椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为22 1129 x y +=，设N ，P ，M ，Q 各点坐标依次为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，4(x ，4)y ， 将y kx m =+代入椭圆C 方程，得：222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->，(*) 122834km x x k +=-+，2122 41234m x x k -=+， 12x x ∴-=将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=， 342834km x x k ∴+=-+，234243634m x x k -=+，34x x -=1234x x x x ∴+=+， ∴线段NP ，MQ 中点相同，MN PQ ∴=， 由2PQ NQ MQ += 可得NM PN = ， 3P MQ N ∴=，所以3412||3||x x x x -=-， 3=化简得221294k m +=，满足(*)式，∴2244193m k -=，即点(,)k m 在定曲线2244193 y x -=上．22．已知函数()ln f x x =，2()(0)g x x ax a =->. （1）讨论函数()()()h x f x g x =+的极值点； （2）若()1212,x x x x <是方程3()1()0g x f x x x -+=的两个不同的正实根，证明.22124x x a +> 【正确答案】（1）当a ∈，()h x 无极值点；当)a ∈+∞，()h x 的极大值点为4 a ， （2）证明见解析.【分析】（1）令2()()()ln h x f x g x x x ax =+=+-，对()h x 求导后按判别式分类讨论求极值点； （2）通过层层分析和转化，将要证的不等式“22124x x a +>”最终转化为：“求证：当1x >时， 12ln 0x x x -+<”.【详解】（1）2()()()ln h x f x g x x x ax =+=+-，函数()h x 的定义域为(0,)+∞， 2121()2x ax h x x a x x -+'=+-=，28a ∆=-， ①当a ∈，即0∆≤时，()0h x '≥恒成立，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，无极值点； ②当)a ∈+∞，即0∆>时，方程2210x ax -+=有两个根3x ，4x ，解得34 a x =， 44 a x +=且340x x <<， 当0,4a x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭ 时，()0h x '>，函数()h x 单调递增； 当x ⎫⎪⎪⎝⎭ ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭ 时，()0h x '>，函数()h x 单调递增. 所以，函数()h x （2）方程3()1()0g x f x x x -+=即方程2ln 0a x x +=，设2()ln a k x x x =+，(0,0)x a >>233122()a x a k x x x x -'=-=，(0)a >∴()k x 在 上递减，在)+∞上递增，依题意知()k x 有两个零点， ∴0k < ，即02a a <，解得102e a <<，且121222ln 0ln 0a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得212212ln ln a a x x x x -= -，设21(1)x t t x =>，∴22211ln a a t x t x =-，∴21211ln a x t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，要证明22124x x a +>，只需证()22114t x a +>，只需证() 221114ln a t a t t ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，只需证()22211112ln t t t ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，只需证22212ln 0t t t -+<，记1()2ln (1)q x x x x x =-+>，2 2221(1)()10(1)x q x x x x x -'=--=-<>，∴()q x 在(1,)+∞上递减，∴()(1)0 q x q <=∴12ln 0x x x -+<，故22212ln 0t t t -+<，即22124x x a +>. 思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.下载本文
