一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．已知i为虚数单位，则i2016=（　　）

A．1    B．﹣1    C．i    D．﹣i

2．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5}，则（∁UA）∪B=（　　）

A．{1}    B．{3}    C．{1，3，5，6}    D．{1，3}

3．已知A与B是两个事件，P（B）=，P（AB）=，则P（A|B）=（　　）

A．    B．    C．    D．

4．函数f（x）=的定义域为（　　）

A．（﹣∞，1]    B．[1，+∞）    C．（，1]    D．（，+∞）

5．已知实数x，y满足，若z=2x+y的最大值为3，则实数a的值为（　　）

A．1    B．2    C．﹣1    D．﹣

6．设D为△ABC所在平面内一点， =﹣+，若=λ（λ∈R），则λ=（　　）

A．2    B．3    C．﹣2    D．﹣3

7．函数f（x）=2cos（2x+θ）sinθ﹣sin2（x+θ）（θ为常数，且θ≠，k∈Z）图象的一个对称中心的坐标为（　　）

A．（﹣，0）    B．（0，0）    C．（，0）    D．（θ，0）

8．函数y=的图象大致为（　　）

A．    B．    C．    D．

9．执行如图所示的程序框图，那么输出的S的值为（　　）

A．﹣1    B．4    C．    D．

10．若函数f（x）=|x|+（a＞0）没有零点，则a的取值范围是（　　）

A．    B．（2，+∞）    C．    D．（0，1）∪（2，+∞）

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．若“∀x∈[﹣，]，m≤tanx+1”为真命题，则实数m的最大值为______．

12．若函数f（x）=|x+1|+|x+a|的最小值为1，则实数a的值为______．

13．从2名语文老师，2名数学老师，4名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文老师、数学老师、英语老师都至少有一人的选派方法种数为______．（用数字作答）

14．圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球（半径为r）组成一个几何体，则该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若r=1，则该几何体的体积为______．

15．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1的渐近线与椭圆C2： +=1（a＞b＞0）交于第一、二象限内的两点分别为A、B，若△OAB的外接圆的圆心为（0， a），则双曲线C1的离心率为______．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD=2，BA=3，AD=，∠C=45°．

（1）求∠B的大小；

（2）求△ABD的面积及边AC的长．

17．一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了n个学生的成绩（满分为100分）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；

（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，设X表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）内的学生个数，求X的数学期望及方差．

18．如图，在四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=120°，AB=AA1=2，AC∩BD=O，E、F分别是线段A1D、BC1的中点，延长D1A1到点G，使得D1A1=AG．

（1）证明：GB∥平面DEF；

（2）求直线GD与平面DEF所成角的正弦值．

19．数列{an}满足a1=1，a2=，{anan+1}是公比为的等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=3a2n+2n﹣7，Sn是数列{bn}的前n项和，求Sn以及Sn的最小值．

20．已知抛物线C：y2=2px（p≠0）的焦点F在直线2x+y﹣2=0上．

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知点P是抛物线C上异于坐标原点O的任意一点，抛物线在点P处的切线分别与x轴、y轴交于点B，E，设=λ，求证：λ为定值；

（3）在（2）的条件下，直线PF与抛物线C交于另一点A，请问：△PAB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．

21．已知函数f（x）=x﹣1﹣a（x﹣1）2﹣lnx（a∈R）．

（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数g（x）=f（x）﹣x+1有一个极小值点和一个极大值点，求a的取值范围；

（3）若存在k∈（1，2），使得当x∈（0，k]时，f（x）的值域是[f（k），+∞），求a的取值范围．注：自然对数的底数e=2.71828…

 参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．已知i为虚数单位，则i2016=（　　）

A．1    B．﹣1    C．i    D．﹣i

【考点】虚数单位i及其性质．

【分析】利用i4=1，即可得出．

【解答】解：∵i4=1，

∴i2016=i4×504=1，

故选：A．

2．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，4，5}，B={1，3，5}，则（∁UA）∪B=（　　）

A．{1}    B．{3}    C．{1，3，5，6}    D．{1，3}

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】根据全集U求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．

【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，4，5}，

∴∁UA={1，3，6}，

∵B={1，3，5}，

则（∁UA）∪B={1，3，5，6}．

故选：C．

3．已知A与B是两个事件，P（B）=，P（AB）=，则P（A|B）=（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】条件概率与事件．

【分析】由条件概率的计算公式，代入数据计算可得答案．

【解答】解：由条件概率的计算公式，可得P（B|A）===

故选：D．

4．函数f（x）=的定义域为（　　）

A．（﹣∞，1]    B．[1，+∞）    C．（，1]    D．（，+∞）

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．

【解答】解：要使函数f（x）有意义，则，

即0＜2x﹣1≤1，即1＜2x≤2，

解得＜x≤1，

故函数的定义域是（，1]，

故选：C

5．已知实数x，y满足，若z=2x+y的最大值为3，则实数a的值为（　　）

A．1    B．2    C．﹣1    D．﹣

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到a的值．

【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：

由z=2x+y得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，则由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时直线y=﹣2x+z的截距最大，

此时z最大，为2x+y=16

由，

解得，即A（2，﹣1），

此时点A在x+y=a，

即2﹣1=a，

解得a=1，

故选：A．

6．设D为△ABC所在平面内一点， =﹣+，若=λ（λ∈R），则λ=（　　）

A．2    B．3    C．﹣2    D．﹣3

【考点】平行向量与共线向量．

【分析】D为△ABC所在平面内一点， =﹣+，可得B，C，D三点共线．若=λ（λ∈R），可得=﹣，化简与=﹣+比较，即可得出．

【解答】解：∵D为△ABC所在平面内一点， =﹣+，

∴B，C，D三点共线．

若=λ（λ∈R），∴=﹣，

化为： =+，

与=﹣+比较，可得： =﹣， =，解得λ=﹣3．

则λ=﹣3．

故选：D．

7．函数f（x）=2cos（2x+θ）sinθ﹣sin2（x+θ）（θ为常数，且θ≠，k∈Z）图象的一个对称中心的坐标为（　　）

A．（﹣，0）    B．（0，0）    C．（，0）    D．（θ，0）

【考点】三角函数中的恒等变换应用．

【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=﹣2sin2x，由奇函数的对称性结合选项可得．

【解答】解：由三角函数公式化简可得：

f（x）=2cos（2x+θ）sinθ﹣sin2（x+θ）

=2cos（2x+θ）sinθ﹣sin[（2x+θ）+θ]

=2cos（2x+θ）sinθ﹣sin（2x+θ）cosθ﹣cos（2x+θ）sinθ

=cos（2x+θ）sinθ﹣sin（2x+θ）cosθ

=sin（θ﹣2x﹣θ）=﹣2sin2x，

满足f（﹣x）=﹣f（x）即函数为奇函数，图象关于原点对称．

故选：B．

8．函数y=的图象大致为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】函数的图象．

【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的变化趋势，即可判断．

【解答】解：∵f（﹣x）=﹣=﹣f（x），

∴y=为奇函数，

∴图象关于原点对称，

当x→+∞时，y→0，

当0＜x＜时，y＞0，

故选：A．

9．执行如图所示的程序框图，那么输出的S的值为（　　）

A．﹣1    B．4    C．    D．

【考点】程序框图．

【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．

【解答】解：由题意，模拟执行程序，可得

S=﹣1，k=1

满足条件k＜2016，S=4，k=2

满足条件k＜2016，S=，k=3

满足条件k＜2016，S=，k=4

满足条件k＜2016，S=﹣1，k=5

…

观察规律可知，S的取值周期为4，由2016=504×4，可知

满足条件k＜2016，S=，k=2015

满足条件k＜2016，S=，k=2016

不满足条件k＜2016，退出循环，输出S的值为．

故选：D．

10．若函数f（x）=|x|+（a＞0）没有零点，则a的取值范围是（　　）

A．    B．（2，+∞）    C．    D．（0，1）∪（2，+∞）

【考点】函数的零点与方程根的关系．

【分析】根据函数f（x）没有零点，等价为函数y=与y=﹣|x|的图象没有交点，在同一坐标系中画出它们的图象，即可求出a的取值范围．

【解答】解：令|x|+=0得=﹣|x|，

令y=，则x2+y2=a，表示半径为，圆心在原点的圆的上半部分，

y=﹣|x|，表示以（0，）端点的折线，在同一坐标系中画出它们的图象：如图，

根据图象知，由于两曲线没有公共点，故圆到折线的距离小于1，或者圆心到折线的距离大于半径，

∴a的取值范围为（0，1）∪（2，+∞）

故选：D．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．若“∀x∈[﹣，]，m≤tanx+1”为真命题，则实数m的最大值为　0　．

【考点】全称命题．

【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．

【解答】解：“∀x∈[﹣，]，m≤tanx+1”为真命题，

可得﹣1≤tanx≤1，

∴0≤tanx+1≤2，

实数m的最大值为：0

故答案为：0．

12．若函数f（x）=|x+1|+|x+a|的最小值为1，则实数a的值为　0或2　．

【考点】函数的最值及其几何意义．

【分析】函数f（x）=|x+1|+|x+a|的几何意义是点x与点﹣1的距离及点x与点﹣a的距离之和，从而解得．

【解答】解：∵函数f（x）=|x+1|+|x+a|的几何意义是：

点x与点﹣1的距离及点x与点﹣a的距离之和，

故函数f（x）=|x+1|+|x+a|的最小值为|﹣1+a|=1，

故a=0或2，

故答案为：0或2．

13．从2名语文老师，2名数学老师，4名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文老师、数学老师、英语老师都至少有一人的选派方法种数为　44　．（用数字作答）

【考点】排列、组合的实际应用．

【分析】根据题意，按4种情况讨论，分别求出每种情况下的选派方法数目，最后由分步计数原理计算可得答案

【解答】解：根据题意，按4种情况讨论：

①、2名语文老师，2名数学老师，1名英语老师，有C41=4种，

②、1名语文老师，2名数学老师，2名英语老师，有C21C42=12种，

③、2名语文老师，1名数学老师，2名英语老师，有C21C42=12种，

④，1名语文老师，1名数学老师，3名英语老师，有C21C21C43=16种，

则一共有4+12+12+16=44种选派方法，

故答案为：44

14．圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球（半径为r）组成一个几何体，则该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若r=1，则该几何体的体积为　　．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：上面是半球、下面是圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由球体、锥体体积公式求出几何体的体积．

【解答】解：由三视图知几何体是一个组合体：上面是半球、下面是圆锥，

且球的半径是1，圆锥的底面半径是1，高为2，

∴几何体的体积V==，

故答案为：．

15．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：﹣=1的渐近线与椭圆C2： +=1（a＞b＞0）交于第一、二象限内的两点分别为A、B，若△OAB的外接圆的圆心为（0， a），则双曲线C1的离心率为　　．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】由双曲线C1：﹣=1，可得渐近线为y=x，与椭圆方程联立解得A，利用两点之间的距离公式可得： =a，解得．利用双曲线C1的离心率=即可得出．

【解答】解：由双曲线C1：﹣=1，可得渐近线为y=x，

联立，解得A，

则=a，

化为：b2﹣4ab+a2=0，

解得=2﹣．

∴双曲线C1的离心率==．

故答案为：．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD=2，BA=3，AD=，∠C=45°．

（1）求∠B的大小；

（2）求△ABD的面积及边AC的长．

【考点】余弦定理的应用．

【分析】（1）直接利用余弦定理化简求解即可．

（2）利用三角形的面积以及正弦定理求解即可．

【解答】解：（1）在△ABD中，由余弦定理，得

=．…

又0°＜∠B＜180°，所以∠B=60°．…

（2）．…

在△ABC中，由正弦定理，得，

即．解得．…

17．一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了n个学生的成绩（满分为100分）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；

（2）在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，设X表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）内的学生个数，求X的数学期望及方差．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（1）利用频率分布直方图，结合频率=，能求出样本容量n和频率分布直方图中x、y的值．

（2）由题意，分数在[80，90）内的有4人，分数在[90，100]内的有2人，成绩是80分以上（含80分）的学生共6人．从而抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生人数X的所有可能的取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的数学期望及方差．

【解答】解：（1）由题意可知，样本容量，

，

（1）．…

注：（1）中的每一列式与计算结果均为．

（2）由题意，分数在[80，90）内的有4人，

分数在[90，100]内的有2人，成绩是80分以上（含80分）的学生共6人．

从而抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生人数X的所有可能的取值为1，2，3．…

，

，

．…

所以，，

．…

18．如图，在四棱锥ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=120°，AB=AA1=2，AC∩BD=O，E、F分别是线段A1D、BC1的中点，延长D1A1到点G，使得D1A1=AG．

（1）证明：GB∥平面DEF；

（2）求直线GD与平面DEF所成角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）设AC，BD交点为O，以O为原点建立空间直角坐标系，根据各数量关系求出和平面DEF的法向量的坐标，只需证明即可得出GB∥平面DEF；

（2）求出，计算cos＜＞，于是直线GD与平面DEF所成角的正弦值等于|cos＜＞|．

【解答】证明：（1）以O为坐标原点，分别以为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标O﹣xyz．

∵在菱形ABCD中，AB=AD=BC=2，∠ABC=120°，

∴BD=2，，O为AC和BD的中点．

又AA1⊥平面ABCD，AA1=2．

∴B（1，0，0），D（﹣1，0，0），，，D1（﹣1，0，2）．

∵E、F分别是线段A1D、BC1的中点，

∴，．

∵，∴．

于是，，．

设平面DEF的一个法向量=（x，y，z）．

则，∴．

令y=﹣1，得，．∴=（，﹣1，﹣）．

∴=0，∴．

又GB⊄平面DEF，∴GB∥平面DEF．

（2）=，

∴=﹣2，||=2，||=．

∴cos＜＞==﹣．

直线GD与平面BEF所成的角的正弦值为|cos＜＞|=．

19．数列{an}满足a1=1，a2=，{anan+1}是公比为的等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn=3a2n+2n﹣7，Sn是数列{bn}的前n项和，求Sn以及Sn的最小值．

【考点】数列递推式；数列与函数的综合．

【分析】（1）可求得；从而可得隔项成等比数列，从而分别求通项公式；

（2）化简，从而利用拆项求和法求Sn，讨论其单调性从而求最小值．

【解答】解：（1）∵{anan+1}是公比为的等比数列，

∴，

即；

∴a1，a3，a5，a7，…，a2k﹣1，…是公比为的等比数列；

a2，a4，a6，a8，…，a2k，…是公比为的等比数列．

当n为奇数时，设n=2k﹣1（k∈N*），

=；

当n为偶数时，设n=2k（k∈N*），

=；

综上，．

（2）．

Sn=b1+b2+b3+…+bn=

=

=．

即．

当n≥3时，∵（n﹣3）2﹣6和都是关于n的增函数，

∴当n≥3时，Sn是关于n的增函数，即S3＜S4＜S5＜…．

∵，，，

∴S1＞S2＞S3；

∴．

20．已知抛物线C：y2=2px（p≠0）的焦点F在直线2x+y﹣2=0上．

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知点P是抛物线C上异于坐标原点O的任意一点，抛物线在点P处的切线分别与x轴、y轴交于点B，E，设=λ，求证：λ为定值；

（3）在（2）的条件下，直线PF与抛物线C交于另一点A，请问：△PAB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．

【分析】（1）抛物线C的焦点在x轴上，求出p=2．由此能求出抛物线C的方程．

（2）由点P是C上异于坐标原点O的任意一点，设．设切线BP的方程为．由，得：ky2﹣4y﹣kt2+4t=0，由此利用根的判别式、切线方程，结合已知条件能证明λ为定值．

（3）设直线FP的方程为x=my+1，由，得：，由此利用韦达定理、弦长公式得到S△PAB=，令，则f（t）为偶函数，只需研究函数f（t）在t＞0时的最小值即可．利用导数性质能求出结果．

【解答】解：（1）由题意，抛物线C的焦点在x轴上．…

在方程2x+y﹣2=0中，令y=0，得x=1．…

于是，．解得p=2．

所以，抛物线C的方程为y2=4x．…

证明：（2）由点P是C上异于坐标原点O的任意一点，设．

 设切线BP的斜率为k，则切线BP的方程为．

由，消去x并整理得：ky2﹣4y﹣kt2+4t=0．…

由k≠0，考虑到判别式△=16﹣4k（﹣kt2+4t）=0．

可得4（kt﹣2）2=0．所以kt﹣2=0．故切线BP的斜率．…

切线BP的方程为，即．

在中，令x=0，得．所以点E的坐标为；

在中，令y=0，得．所以点B的坐标为．…

所以，．

所以．故，为定值．…

解：（3）由直线FP过点F（1，0），

设直线FP的方程为x=my+1．

由，消去x得：．

由韦达定理，得yAyP=﹣4．所以．…

于是=…

令，则f（t）为偶函数，只需研究函数f（t）在t＞0时的最小值即可．

当t＞0时，，

．

当时，f'（t）＜0，f（t）为减函数；

当时，f'（t）＞0，f（t）为增函数．…

所以，当t＞0时，函数f（t）在时取最小值．

因为f（t）为偶函数，当t＜0时，函数f（t）在时取最小值．…

当时，点P的坐标为；当时，点P的坐标为．

综上，△PAB的面积存在最小值，

此时点P的坐标为或．…

21．已知函数f（x）=x﹣1﹣a（x﹣1）2﹣lnx（a∈R）．

（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数g（x）=f（x）﹣x+1有一个极小值点和一个极大值点，求a的取值范围；

（3）若存在k∈（1，2），使得当x∈（0，k]时，f（x）的值域是[f（k），+∞），求a的取值范围．注：自然对数的底数e=2.71828…

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）求出g（x）的导数，得到关于a的不等式组，解出验算即可；

（3）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围确定函数的单调区间，得到关于a的不等式，解出即可．

【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．

当a=0时，．…

f'（x）＜0⇔0＜x＜1；  f'（x）＞0⇔x＞1．

所以，函数f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）．…

（2）g（x）=﹣a（x﹣1）2﹣lnx，则．…

令h（x）=2ax2﹣2ax+1（x＞0），若函数g（x）有两个极值点，

则方程h（x）=0必有两个不等的正根，设两根为x1，x2，

于是…

解得a＞2．…

当a＞2时，h（x）=0有两个不相等的正实根，设为x1，x2，不妨设x1＜x2，

则．

当0＜x＜x1时，h（x）＞0，g'（x）＜0，g（x）g'（x）＞0

在（0，x1）上为减函数；

当x1＜x＜x2时，h（x）＜0，g（x）在（x1，x2）上为增函数；

当x＞x2时，h（x）＞0，g'（x）＜0，函数g（x）在（x2，+∞）上为减函数．

由此，x=x1是函数g（x）的极小值点，x=x2是函数g（x）的极大值点．符合题意．

综上，所求实数a的取值范围是（2，+∞）．…

（3）．…

①当a≤0时，．

当0＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上为减函数；

当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上为增函数．

所以，当x∈（0，k]（1＜k＜2）时，f（x）min=f（1）=0＜f（k），f（x）的值域是[0，+∞）．

不符合题意．…

②当a＞0时，．

（ i）当，即时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

整理得．…

令，当时，，

所以F（a）在上为增函数，

所以，当时，．

可见，当时，恒成立．

故若，当x∈（0，k]（1＜k＜2）时，函数f（x）的值域是[f（k），+∞）．

所以满足题意．…（ ii）当，即时，，当且仅当x=1时取等号．

所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．从而f（x）在（0，k]上为减函数．符合题意．…

（ iii）当，即时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

又，所以a＞1﹣ln2．此时，．

综上，a＞1﹣ln2．

所以实数a的取值范围是（1﹣ln2，+∞）．…

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